Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmt4N 39195
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 31605 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmt2.o = (oc‘𝐾)
cmt2.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmt4N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))

Proof of Theorem cmt4N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cmt2.o . . 3 = (oc‘𝐾)
3 cmt2.c . . 3 𝐶 = (cm‘𝐾)
41, 2, 3cmt2N 39193 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑋𝐶( 𝑌)))
5 omlop 39184 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
653ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7 simp3 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
81, 2opoccl 39137 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
101, 2, 3cmt3N 39194 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶( 𝑌) ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))
119, 10syld3an3 1407 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶( 𝑌) ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))
124, 11bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1085   = wceq 1535  wcel 2104   class class class wbr 5149  cfv 6558  Basecbs 17234  occoc 17295  OPcops 39115  cmccmtN 39116  OMLcoml 39118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-proset 18341  df-poset 18359  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-lat 18478  df-oposet 39119  df-cmtN 39120  df-ol 39121  df-oml 39122
This theorem is referenced by:  cmtbr2N  39196  omlfh3N  39202
  Copyright terms: Public domain W3C validator