Theorem cmt4N 39698

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 31666 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmt2.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
cmt2.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmt4N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem cmt4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cmt2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
3		cmt2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
4	1, 2, 3	cmt2N 39696	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶( ⊥ ‘𝑌)))
5		omlop 39687	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2	opoccl 39640	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	6, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3	cmt3N 39697	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌)))
11	9, 10	syld3an3 1412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌)))
12	4, 11	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  occoc 17228  OPcops 39618  cmccmtN 39619  OMLcoml 39621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-lat 18398  df-oposet 39622  df-cmtN 39623  df-ol 39624  df-oml 39625

This theorem is referenced by:  cmtbr2N  39699  omlfh3N  39705