Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmt4N 38856
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 31482 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmt2.o = (oc‘𝐾)
cmt2.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmt4N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))

Proof of Theorem cmt4N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cmt2.o . . 3 = (oc‘𝐾)
3 cmt2.c . . 3 𝐶 = (cm‘𝐾)
41, 2, 3cmt2N 38854 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑋𝐶( 𝑌)))
5 omlop 38845 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
81, 2opoccl 38798 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
101, 2, 3cmt3N 38855 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶( 𝑌) ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))
119, 10syld3an3 1406 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶( 𝑌) ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))
124, 11bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  Basecbs 17188  occoc 17249  OPcops 38776  cmccmtN 38777  OMLcoml 38779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18295  df-poset 18313  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-lat 18432  df-oposet 38780  df-cmtN 38781  df-ol 38782  df-oml 38783
This theorem is referenced by:  cmtbr2N  38857  omlfh3N  38863
  Copyright terms: Public domain W3C validator