HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cmcm4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmcm4i 30540
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjoml2.1 𝐴C
pjoml2.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cmcm4i (𝐴 𝐶 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶 (⊥‘𝐵))

Proof of Theorem cmcm4i
StepHypRef Expression
1 pjoml2.1 . . 3 𝐴C
2 pjoml2.2 . . 3 𝐵C
31, 2cmcm2i 30538 . 2 (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵))
42choccli 30252 . . 3 (⊥‘𝐵) ∈ C
51, 4cmcm3i 30539 . 2 (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶 (⊥‘𝐵))
63, 5bitri 275 1 (𝐴 𝐶 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶 (⊥‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497   C cch 29874  cort 29875   𝐶 ccm 29881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cc 10372  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132  ax-hilex 29944  ax-hfvadd 29945  ax-hvcom 29946  ax-hvass 29947  ax-hv0cl 29948  ax-hvaddid 29949  ax-hfvmul 29950  ax-hvmulid 29951  ax-hvmulass 29952  ax-hvdistr1 29953  ax-hvdistr2 29954  ax-hvmul0 29955  ax-hfi 30024  ax-his1 30027  ax-his2 30028  ax-his3 30029  ax-his4 30030  ax-hcompl 30147
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-lm 22583  df-haus 22669  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678  df-cfil 24622  df-cau 24623  df-cmet 24624  df-grpo 29438  df-gid 29439  df-ginv 29440  df-gdiv 29441  df-ablo 29490  df-vc 29504  df-nv 29537  df-va 29540  df-ba 29541  df-sm 29542  df-0v 29543  df-vs 29544  df-nmcv 29545  df-ims 29546  df-dip 29646  df-ssp 29667  df-ph 29758  df-cbn 29808  df-hnorm 29913  df-hba 29914  df-hvsub 29916  df-hlim 29917  df-hcau 29918  df-sh 30152  df-ch 30166  df-oc 30197  df-ch0 30198  df-shs 30253  df-chj 30255  df-cm 30528
This theorem is referenced by:  cmbr2i  30541  cmmdi  31361  cmdmdi  31362
  Copyright terms: Public domain W3C validator