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Theorem omlfh3N 37767
Description: Foulis-Holland Theorem, part 3. Dual of omlfh1N 37766. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlfh1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlfh1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlfh1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlfh1.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlfh3N ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh3N
StepHypRef Expression
1 omlfh1.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
3 omlfh1.c . . . . . . 7 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
41, 2, 3cmt4N 37760 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
543adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
61, 2, 3cmt4N 37760 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
763adant3r2 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
85, 7anbi12d 632 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
9 simpl 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
10 omlop 37749 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
12 simpr1 1195 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 2opoccl 37702 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
15 simpr2 1196 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
161, 2opoccl 37702 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
1711, 15, 16syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
191, 2opoccl 37702 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2011, 18, 19syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2114, 17, 203jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡))
22 omlfh1.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
23 omlfh1.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
241, 22, 23, 3omlfh1N 37766 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
2524fveq2d 6847 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
26253exp 1120 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))))
279, 21, 26sylc 65 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))))
288, 27sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))))
29283impia 1118 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
30 omlol 37748 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
3130adantr 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
32 omllat 37750 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3332adantr 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
341, 22latjcl 18333 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
3533, 17, 20, 34syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
361, 22, 23, 2oldmm2 37726 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
3731, 12, 35, 36syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
381, 22, 23, 2oldmj4 37732 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3931, 15, 18, 38syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
4039oveq2d 7374 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
4137, 40eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
42413adant3 1133 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
431, 23latmcl 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
4433, 14, 17, 43syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
451, 23latmcl 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
4633, 14, 20, 45syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
471, 22, 23, 2oldmj1 37729 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
4831, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
491, 22, 23, 2oldmm4 37728 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
5031, 12, 15, 49syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
511, 22, 23, 2oldmm4 37728 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
5231, 12, 18, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
5350, 52oveq12d 7376 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
5448, 53eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
55543adant3 1133 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
5629, 42, 553eqtr4d 2783 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  occoc 17146  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  OPcops 37680  cmccmtN 37681  OLcol 37682  OMLcoml 37683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-oposet 37684  df-cmtN 37685  df-ol 37686  df-oml 37687
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