Theorem omlfh3N 35846

Description: Foulis-Holland Theorem, part 3. Dual of omlfh1N 35845. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh3N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlfh1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		omlfh1.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
4	1, 2, 3	cmt4N 35839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5	4	3adant3r3 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
6	1, 2, 3	cmt4N 35839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
7	6	3adant3r2 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
8	5, 7	anbi12d 621	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍))))
9		simpl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
10		omlop 35828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
11	10	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
12		simpr1 1174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 2	opoccl 35781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	11, 12, 13	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr2 1175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 2	opoccl 35781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	11, 15, 16	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		simpr3 1176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
19	1, 2	opoccl 35781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
20	11, 18, 19	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
21	14, 17, 20	3jca 1108	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵))
22		omlfh1.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		omlfh1.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	1, 22, 23, 3	omlfh1N 35845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
25	24	fveq2d 6503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
26	25	3exp 1099	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))))
27	9, 21, 26	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
28	8, 27	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
29	28	3impia 1097	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
30		omlol 35827	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
31	30	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
32		omllat 35829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
33	32	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
34	1, 22	latjcl 17519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
35	33, 17, 20, 34	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
36	1, 22, 23, 2	oldmm2 35805	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∨ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
37	31, 12, 35, 36	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∨ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
38	1, 22, 23, 2	oldmj4 35811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑌 ∧ 𝑍))
39	31, 15, 18, 38	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑌 ∧ 𝑍))
40	39	oveq2d 6992	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
41	37, 40	eqtr2d 2815	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
42	41	3adant3 1112	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
43	1, 23	latmcl 17520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
44	33, 14, 17, 43	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
45	1, 23	latmcl 17520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	33, 14, 20, 45	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
47	1, 22, 23, 2	oldmj1 35808	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
48	31, 44, 46, 47	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
49	1, 22, 23, 2	oldmm4 35807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
50	31, 12, 15, 49	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
51	1, 22, 23, 2	oldmm4 35807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
52	31, 12, 18, 51	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
53	50, 52	oveq12d 6994	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
54	48, 53	eqtr2d 2815	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
55	54	3adant3 1112	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
56	29, 42, 55	3eqtr4d 2824	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  occoc 16429  joincjn 17412  meetcmee 17413  Latclat 17513  OPcops 35759  cmccmtN 35760  OLcol 35761  OMLcoml 35762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-proset 17396  df-poset 17414  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-lat 17514  df-oposet 35763  df-cmtN 35764  df-ol 35765  df-oml 35766

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