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Theorem omlfh3N 38117
Description: Foulis-Holland Theorem, part 3. Dual of omlfh1N 38116. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlfh1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlfh1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlfh1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlfh1.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlfh3N ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem omlfh3N
StepHypRef Expression
1 omlfh1.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
3 omlfh1.c . . . . . . 7 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
41, 2, 3cmt4N 38110 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
543adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
61, 2, 3cmt4N 38110 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
763adant3r2 1183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
85, 7anbi12d 631 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
9 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
10 omlop 38099 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
12 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 2opoccl 38052 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
15 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
161, 2opoccl 38052 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
1711, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
191, 2opoccl 38052 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2011, 18, 19syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
2114, 17, 203jca 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡))
22 omlfh1.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
23 omlfh1.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
241, 22, 23, 3omlfh1N 38116 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))
2524fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
26253exp 1119 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))))
279, 21, 26sylc 65 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))))
288, 27sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))))))
29283impia 1117 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
30 omlol 38098 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
32 omllat 38100 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
341, 22latjcl 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
3533, 17, 20, 34syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
361, 22, 23, 2oldmm2 38076 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
3731, 12, 35, 36syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
381, 22, 23, 2oldmj4 38082 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3931, 15, 18, 38syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
4039oveq2d 7421 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
4137, 40eqtr2d 2773 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
42413adant3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
431, 23latmcl 18389 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
4433, 14, 17, 43syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
451, 23latmcl 18389 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
4633, 14, 20, 45syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡)
471, 22, 23, 2oldmj1 38079 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
4831, 44, 46, 47syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
491, 22, 23, 2oldmm4 38078 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
5031, 12, 15, 49syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
511, 22, 23, 2oldmm4 38078 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
5231, 12, 18, 51syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
5350, 52oveq12d 7423 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
5448, 53eqtr2d 2773 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
55543adant3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)))))
5629, 42, 553eqtr4d 2782 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹πΆπ‘Œ ∧ 𝑋𝐢𝑍)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  occoc 17201  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  OPcops 38030  cmccmtN 38031  OLcol 38032  OMLcoml 38033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-oposet 38034  df-cmtN 38035  df-ol 38036  df-oml 38037
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