Theorem omlfh3N 37721

Description: Foulis-Holland Theorem, part 3. Dual of omlfh1N 37720. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh3N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlfh1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		omlfh1.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
4	1, 2, 3	cmt4N 37714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5	4	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
6	1, 2, 3	cmt4N 37714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
7	6	3adant3r2 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
8	5, 7	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍))))
9		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
10		omlop 37703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
12		simpr1 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 2	opoccl 37656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr2 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 2	opoccl 37656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
19	1, 2	opoccl 37656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
20	11, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
21	14, 17, 20	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵))
22		omlfh1.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		omlfh1.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	1, 22, 23, 3	omlfh1N 37720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
25	24	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
26	25	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))))
27	9, 21, 26	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
28	8, 27	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
29	28	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
30		omlol 37702	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
31	30	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
32		omllat 37704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
33	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
34	1, 22	latjcl 18328	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
35	33, 17, 20, 34	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
36	1, 22, 23, 2	oldmm2 37680	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∨ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
37	31, 12, 35, 36	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∨ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
38	1, 22, 23, 2	oldmj4 37686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑌 ∧ 𝑍))
39	31, 15, 18, 38	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑌 ∧ 𝑍))
40	39	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
41	37, 40	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
42	41	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
43	1, 23	latmcl 18329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
44	33, 14, 17, 43	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
45	1, 23	latmcl 18329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	33, 14, 20, 45	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
47	1, 22, 23, 2	oldmj1 37683	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
48	31, 44, 46, 47	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
49	1, 22, 23, 2	oldmm4 37682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
50	31, 12, 15, 49	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
51	1, 22, 23, 2	oldmm4 37682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
52	31, 12, 18, 51	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∨ 𝑍))
53	50, 52	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))
54	48, 53	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
55	54	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)) = ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
56	29, 42, 55	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  occoc 17141  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  OPcops 37634  cmccmtN 37635  OLcol 37636  OMLcoml 37637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-oposet 37638  df-cmtN 37639  df-ol 37640  df-oml 37641

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