Theorem cmtbr2N 39513

Description: Alternate definition of the commutes relation. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmbr2i 31671 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtbr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtbr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cmtbr2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cmtbr2.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
cmtbr2.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtbr2N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))

Proof of Theorem cmtbr2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmtbr2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cmtbr2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
3		cmtbr2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
4	1, 2, 3	cmt4N 39512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌)))
5		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
6		omlop 39501	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2	opoccl 39454	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2	opoccl 39454	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
14		cmtbr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		cmtbr2.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	1, 14, 15, 2, 3	cmtvalN 39471	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))))
17	5, 10, 13, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))))
18		eqcom 2743	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋))
20		omllat 39502	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
22	1, 14	latjcl 18362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
23	20, 22	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
24	1, 14	latjcl 18362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
25	21, 8, 13, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
26	1, 15	latmcl 18363	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
28	1, 2	opcon3b 39456	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))))
29	7, 27, 8, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))))
30		omlol 39500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OL)
32	1, 14, 15, 2	oldmm1 39477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))
33	31, 23, 25, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))
34	1, 14, 15, 2	oldmj1 39481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
35	30, 34	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
36	1, 14, 15, 2	oldmj1 39481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
37	31, 8, 13, 36	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
38	35, 37	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))))
39	33, 38	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))))
40	39	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))))
41	19, 29, 40	3bitrrd 306	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))) ↔ 𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))
42	4, 17, 41	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  occoc 17185  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354  OPcops 39432  cmccmtN 39433  OLcol 39434  OMLcoml 39435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-lat 18355  df-oposet 39436  df-cmtN 39437  df-ol 39438  df-oml 39439

This theorem is referenced by:  cmtbr3N  39514