Theorem cmtbr2N 40027

Description: Alternate definition of the commutes relation. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmbr2i 31948 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtbr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtbr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cmtbr2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cmtbr2.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
cmtbr2.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtbr2N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))

Proof of Theorem cmtbr2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmtbr2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cmtbr2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
3		cmtbr2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
4	1, 2, 3	cmt4N 40026	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌)))
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
6		omlop 40015	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2	opoccl 39968	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2	opoccl 39968	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	7, 11, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
14		cmtbr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		cmtbr2.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	1, 14, 15, 2, 3	cmtvalN 39985	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))))
17	5, 10, 13, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)𝐶( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))))
18		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋))
20		omllat 40016	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
22	1, 14	latjcl 18490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
23	20, 22	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
24	1, 14	latjcl 18490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
25	21, 8, 13, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
26	1, 15	latmcl 18491	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
28	1, 2	opcon3b 39970	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))))
29	7, 27, 8, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))))
30		omlol 40014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
31	30	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OL)
32	1, 14, 15, 2	oldmm1 39991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))
33	31, 23, 25, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))
34	1, 14, 15, 2	oldmj1 39995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
35	30, 34	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
36	1, 14, 15, 2	oldmj1 39995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
37	31, 8, 13, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
38	35, 37	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))))
39	33, 38	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))))
40	39	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))))
41	19, 29, 40	3bitrrd 309	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) = ((( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))) ↔ 𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))
42	4, 17, 41	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  occoc 17313  joincjn 18362  meetcmee 18363  Latclat 18482  OPcops 39946  cmccmtN 39947  OLcol 39948  OMLcoml 39949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-lat 18483  df-oposet 39950  df-cmtN 39951  df-ol 39952  df-oml 39953

This theorem is referenced by:  cmtbr3N  40028