Theorem lecmtN 40356

Description: Ordered elements commute. (lecmi 32204 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecmt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lecmt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lecmt.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lecmtN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋𝐶𝑌))

Proof of Theorem lecmtN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 40342	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		omlop 40341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		lecmt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
8	6, 7	opoccl 40294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12	6, 11	latjcl 18613	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
14		lecmt.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
16	6, 14, 15	latmle1 18638	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋)
17	2, 3, 13, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋)
18	6, 15	latmcl 18614	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵)
19	2, 3, 13, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵)
20	6, 14	lattr 18618	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
21	2, 19, 3, 10, 20	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
22	17, 21	mpand 708	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
23		lecmt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
24	6, 14, 11, 15, 7, 23	cmtbr4N 40355	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
25	22, 24	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋𝐶𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  occoc 17436  joincjn 18485  meetcmee 18486  Latclat 18605  OPcops 40272  cmccmtN 40273  OMLcoml 40275

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-lat 18606  df-oposet 40276  df-cmtN 40277  df-ol 40278  df-oml 40279

This theorem is used by:  cmtidN  40357  omlmod1i2N  40360