Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lecmtN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lecmtN 38429
Description: Ordered elements commute. (lecmi 31110 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lecmt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lecmt.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lecmt.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lecmtN ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
Proof of Theorem lecmtN
StepHypRef Expression
1 omllat 38415 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 omlop 38414 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
543ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 lecmt.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
86, 7opoccl 38367 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
95, 3, 8syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
10 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
126, 11latjcl 18396 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
132, 9, 10, 12syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
14 lecmt.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 eqid 2732 . . . . 5 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
166, 14, 15latmle1 18421 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ 𝑋)
172, 3, 13, 16syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ 𝑋)
186, 15latmcl 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∈ 𝐡)
192, 3, 13, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∈ 𝐡)
206, 14lattr 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
212, 19, 3, 10, 20syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
2217, 21mpand 693 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
23 lecmt.c . . 3 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
246, 14, 11, 15, 7, 23cmtbr4N 38428 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
2522, 24sylibrd 258 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  occoc 17209  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  OPcops 38345  cmccmtN 38346  OMLcoml 38348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-oposet 38349  df-cmtN 38350  df-ol 38351  df-oml 38352
This theorem is referenced by:  cmtidN  38430  omlmod1i2N  38433
  Copyright terms: Public domain W3C validator