Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lecmtN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lecmtN 35144
Description: Ordered elements commute. (lecmi 28852 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lecmt.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lecmt.l = (le‘𝐾)
lecmt.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lecmtN ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑋𝐶𝑌))

Proof of Theorem lecmtN
StepHypRef Expression
1 omllat 35130 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2 1167 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
4 omlop 35129 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
543ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 lecmt.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 eqid 2765 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
86, 7opoccl 35082 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
95, 3, 8syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10 simp3 1168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
11 eqid 2765 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
126, 11latjcl 17319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
132, 9, 10, 12syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
14 lecmt.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
15 eqid 2765 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
166, 14, 15latmle1 17344 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑋)
172, 3, 13, 16syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑋)
186, 15latmcl 17320 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵)
192, 3, 13, 18syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵)
206, 14lattr 17324 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑌))
212, 19, 3, 10, 20syl13anc 1491 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑌))
2217, 21mpand 686 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑌))
23 lecmt.c . . 3 𝐶 = (cm‘𝐾)
246, 14, 11, 15, 7, 23cmtbr4N 35143 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) 𝑌))
2522, 24sylibrd 250 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑋𝐶𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  lecple 16223  occoc 16224  joincjn 17212  meetcmee 17213  Latclat 17313  OPcops 35060  cmccmtN 35061  OMLcoml 35063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17196  df-poset 17214  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-lat 17314  df-oposet 35064  df-cmtN 35065  df-ol 35066  df-oml 35067
This theorem is referenced by:  cmtidN  35145  omlmod1i2N  35148
  Copyright terms: Public domain W3C validator