Theorem lecmtN 39702

Description: Ordered elements commute. (lecmi 31673 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecmt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lecmt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lecmt.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lecmtN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋𝐶𝑌))

Proof of Theorem lecmtN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39688	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		omlop 39687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		lecmt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
8	6, 7	opoccl 39640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12	6, 11	latjcl 18405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵)
14		lecmt.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
16	6, 14, 15	latmle1 18430	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋)
17	2, 3, 13, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋)
18	6, 15	latmcl 18406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵)
19	2, 3, 13, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵)
20	6, 14	lattr 18410	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
21	2, 19, 3, 10, 20	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
22	17, 21	mpand 696	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
23		lecmt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
24	6, 14, 11, 15, 7, 23	cmtbr4N 39701	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋(meet‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑌)) ≤ 𝑌))
25	22, 24	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋𝐶𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  occoc 17228  joincjn 18277  meetcmee 18278  Latclat 18397  OPcops 39618  cmccmtN 39619  OMLcoml 39621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-lat 18398  df-oposet 39622  df-cmtN 39623  df-ol 39624  df-oml 39625

This theorem is referenced by:  cmtidN  39703  omlmod1i2N  39706