Theorem omlfh1N 36554

Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 29401 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh1N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 36538	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		omlfh1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		omlfh1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		omlfh1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latledi 17691	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
7	1, 6	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
8	7	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
9	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpr1 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simpr3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	2, 4	latjcl 17653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
15	2, 5	latmcom 17677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
17		omlol 36536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
18	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
19	2, 5	latmcl 17654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	2, 5	latmcl 17654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	9, 10, 12, 21	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
24	2, 4, 5, 23	oldmj1 36517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
26	2, 4, 5, 23	oldmm1 36513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
27	18, 10, 11, 26	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	2, 4, 5, 23	oldmm1 36513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
29	18, 10, 12, 28	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
30	27, 29	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
31	25, 30	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
32	16, 31	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
33	32	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
34		omlop 36537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
35	34	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
36	2, 23	opoccl 36490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
37	35, 10, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
38	2, 23	opoccl 36490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
39	35, 11, 38	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
40	2, 4	latjcl 17653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
41	9, 37, 39, 40	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
42	2, 23	opoccl 36490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
43	35, 12, 42	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
44	2, 4	latjcl 17653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
45	9, 37, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	2, 5	latmcl 17654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
47	9, 41, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
48	2, 5	latmassOLD 36525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
49	18, 14, 10, 47, 48	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
50	49	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
51		omlfh1.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
52	2, 23, 51	cmt2N 36546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	52	3adant3r3 1181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
54		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
55	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 36550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
56	54, 10, 39, 55	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
57	53, 56	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
58	57	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
59	58	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
60	59	3impa 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
61	2, 23, 51	cmt2N 36546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
62	61	3adant3r2 1180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
63	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 36550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
64	54, 10, 43, 63	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
65	62, 64	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
66	65	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
67	66	adantrl 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
68	67	3impa 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
69	60, 68	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
70	2, 5	latmmdiN 36530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
71	18, 10, 41, 45, 70	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
72	71	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
73	2, 5	latmmdiN 36530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
74	18, 10, 39, 43, 73	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
75	74	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
76	69, 72, 75	3eqtr4d 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
77	76	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
78	2, 5	latmcl 17654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
79	9, 39, 43, 78	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
80	2, 5	latm12 36526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
81	18, 14, 10, 79, 80	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
82	81	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
83	50, 77, 82	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
84	2, 4, 5, 23	oldmj1 36517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
85	18, 11, 12, 84	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
86	85	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
87		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
88	2, 23, 5, 87	opnoncon 36504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
89	35, 14, 88	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
90	86, 89	eqtr3d 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (0.‘𝐾))
91	90	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)))
92	2, 5, 87	olm01 36532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
93	18, 10, 92	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
94	91, 93	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
95	94	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
96	33, 83, 95	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾))
97	2, 4	latjcl 17653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
98	9, 20, 22, 97	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
99	2, 5	latmcl 17654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
100	9, 10, 14, 99	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
101	2, 3, 5, 23, 87	omllaw3 36541	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
102	54, 98, 100, 101	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
103	102	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
104	8, 96, 103	mp2and 698	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
105	104	eqcomd 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  occoc 16565  joincjn 17546  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Latclat 17647  OPcops 36468  cmccmtN 36469  OLcol 36470  OMLcoml 36471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-oposet 36472  df-cmtN 36473  df-ol 36474  df-oml 36475

This theorem is referenced by:  omlfh3N  36555  omlmod1i2N  36556