Theorem omlfh1N 36915

Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 29553 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh1N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 36899	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		omlfh1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		omlfh1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		omlfh1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latledi 17815	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
7	1, 6	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
8	7	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
9	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	2, 4	latjcl 17777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
15	2, 5	latmcom 17801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
17		omlol 36897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
18	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
19	2, 5	latmcl 17778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	2, 5	latmcl 17778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	9, 10, 12, 21	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
24	2, 4, 5, 23	oldmj1 36878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
26	2, 4, 5, 23	oldmm1 36874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
27	18, 10, 11, 26	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	2, 4, 5, 23	oldmm1 36874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
29	18, 10, 12, 28	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
30	27, 29	oveq12d 7188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
31	25, 30	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
32	16, 31	oveq12d 7188	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
33	32	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
34		omlop 36898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
35	34	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
36	2, 23	opoccl 36851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
37	35, 10, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
38	2, 23	opoccl 36851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
39	35, 11, 38	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
40	2, 4	latjcl 17777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
41	9, 37, 39, 40	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
42	2, 23	opoccl 36851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
43	35, 12, 42	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
44	2, 4	latjcl 17777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
45	9, 37, 43, 44	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	2, 5	latmcl 17778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
47	9, 41, 45, 46	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
48	2, 5	latmassOLD 36886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
49	18, 14, 10, 47, 48	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
50	49	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
51		omlfh1.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
52	2, 23, 51	cmt2N 36907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	52	3adant3r3 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
54		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
55	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 36911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
56	54, 10, 39, 55	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
57	53, 56	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
58	57	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
59	58	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
60	59	3impa 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
61	2, 23, 51	cmt2N 36907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
62	61	3adant3r2 1184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
63	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 36911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
64	54, 10, 43, 63	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
65	62, 64	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
66	65	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
67	66	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
68	67	3impa 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
69	60, 68	oveq12d 7188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
70	2, 5	latmmdiN 36891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
71	18, 10, 41, 45, 70	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
72	71	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
73	2, 5	latmmdiN 36891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
74	18, 10, 39, 43, 73	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
75	74	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
76	69, 72, 75	3eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
77	76	oveq2d 7186	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
78	2, 5	latmcl 17778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
79	9, 39, 43, 78	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
80	2, 5	latm12 36887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
81	18, 14, 10, 79, 80	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
82	81	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
83	50, 77, 82	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
84	2, 4, 5, 23	oldmj1 36878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
85	18, 11, 12, 84	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
86	85	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
87		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
88	2, 23, 5, 87	opnoncon 36865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
89	35, 14, 88	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
90	86, 89	eqtr3d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (0.‘𝐾))
91	90	oveq2d 7186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)))
92	2, 5, 87	olm01 36893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
93	18, 10, 92	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
94	91, 93	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
95	94	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
96	33, 83, 95	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾))
97	2, 4	latjcl 17777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
98	9, 20, 22, 97	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
99	2, 5	latmcl 17778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
100	9, 10, 14, 99	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
101	2, 3, 5, 23, 87	omllaw3 36902	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
102	54, 98, 100, 101	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
103	102	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
104	8, 96, 103	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
105	104	eqcomd 2744	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  occoc 16676  joincjn 17670  meetcmee 17671  0.cp0 17763  Latclat 17771  OPcops 36829  cmccmtN 36830  OLcol 36831  OMLcoml 36832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-proset 17654  df-poset 17672  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-lat 17772  df-oposet 36833  df-cmtN 36834  df-ol 36835  df-oml 36836

This theorem is referenced by:  omlfh3N  36916  omlmod1i2N  36917