Theorem omlfh1N 39244

Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 31597 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh1N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39228	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		omlfh1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		omlfh1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		omlfh1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latledi 18418	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
7	1, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
8	7	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	2, 4	latjcl 18380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
15	2, 5	latmcom 18404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
17		omlol 39226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
19	2, 5	latmcl 18381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	2, 5	latmcl 18381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	9, 10, 12, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
24	2, 4, 5, 23	oldmj1 39207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
26	2, 4, 5, 23	oldmm1 39203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
27	18, 10, 11, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	2, 4, 5, 23	oldmm1 39203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
29	18, 10, 12, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
30	27, 29	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
31	25, 30	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
32	16, 31	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
33	32	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
34		omlop 39227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
36	2, 23	opoccl 39180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
37	35, 10, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
38	2, 23	opoccl 39180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
39	35, 11, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
40	2, 4	latjcl 18380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
41	9, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
42	2, 23	opoccl 39180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
43	35, 12, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
44	2, 4	latjcl 18380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
45	9, 37, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	2, 5	latmcl 18381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
47	9, 41, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
48	2, 5	latmassOLD 39215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
49	18, 14, 10, 47, 48	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
50	49	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
51		omlfh1.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
52	2, 23, 51	cmt2N 39236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	52	3adant3r3 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
54		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
55	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 39240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
56	54, 10, 39, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
57	53, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
58	57	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
59	58	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
60	59	3impa 1109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
61	2, 23, 51	cmt2N 39236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
62	61	3adant3r2 1184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
63	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 39240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
64	54, 10, 43, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
65	62, 64	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
66	65	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
67	66	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
68	67	3impa 1109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
69	60, 68	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
70	2, 5	latmmdiN 39220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
71	18, 10, 41, 45, 70	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
72	71	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
73	2, 5	latmmdiN 39220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
74	18, 10, 39, 43, 73	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
75	74	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
76	69, 72, 75	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
77	76	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
78	2, 5	latmcl 18381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
79	9, 39, 43, 78	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
80	2, 5	latm12 39216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
81	18, 14, 10, 79, 80	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
82	81	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
83	50, 77, 82	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
84	2, 4, 5, 23	oldmj1 39207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
85	18, 11, 12, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
86	85	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
87		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
88	2, 23, 5, 87	opnoncon 39194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
89	35, 14, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
90	86, 89	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (0.‘𝐾))
91	90	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)))
92	2, 5, 87	olm01 39222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
93	18, 10, 92	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
94	91, 93	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
95	94	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
96	33, 83, 95	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾))
97	2, 4	latjcl 18380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
98	9, 20, 22, 97	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
99	2, 5	latmcl 18381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
100	9, 10, 14, 99	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
101	2, 3, 5, 23, 87	omllaw3 39231	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
102	54, 98, 100, 101	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
103	102	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
104	8, 96, 103	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
105	104	eqcomd 2735	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  occoc 17204  joincjn 18252  meetcmee 18253  0.cp0 18362  Latclat 18372  OPcops 39158  cmccmtN 39159  OLcol 39160  OMLcoml 39161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-lat 18373  df-oposet 39162  df-cmtN 39163  df-ol 39164  df-oml 39165

This theorem is referenced by:  omlfh3N  39245  omlmod1i2N  39246