Theorem omlfh1N 39258

Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 31554 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh1N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39242	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		omlfh1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		omlfh1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		omlfh1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latledi 18443	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
7	1, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
8	7	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	2, 4	latjcl 18405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
15	2, 5	latmcom 18429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
17		omlol 39240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
19	2, 5	latmcl 18406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	2, 5	latmcl 18406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	9, 10, 12, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
24	2, 4, 5, 23	oldmj1 39221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
26	2, 4, 5, 23	oldmm1 39217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
27	18, 10, 11, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	2, 4, 5, 23	oldmm1 39217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
29	18, 10, 12, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
30	27, 29	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
31	25, 30	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
32	16, 31	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
33	32	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
34		omlop 39241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
36	2, 23	opoccl 39194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
37	35, 10, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
38	2, 23	opoccl 39194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
39	35, 11, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
40	2, 4	latjcl 18405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
41	9, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
42	2, 23	opoccl 39194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
43	35, 12, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
44	2, 4	latjcl 18405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
45	9, 37, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	2, 5	latmcl 18406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
47	9, 41, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
48	2, 5	latmassOLD 39229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
49	18, 14, 10, 47, 48	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
50	49	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
51		omlfh1.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
52	2, 23, 51	cmt2N 39250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	52	3adant3r3 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
54		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
55	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 39254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
56	54, 10, 39, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
57	53, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
58	57	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
59	58	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
60	59	3impa 1109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
61	2, 23, 51	cmt2N 39250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
62	61	3adant3r2 1184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
63	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 39254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
64	54, 10, 43, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
65	62, 64	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
66	65	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
67	66	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
68	67	3impa 1109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
69	60, 68	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
70	2, 5	latmmdiN 39234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
71	18, 10, 41, 45, 70	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
72	71	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
73	2, 5	latmmdiN 39234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
74	18, 10, 39, 43, 73	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
75	74	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
76	69, 72, 75	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
77	76	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
78	2, 5	latmcl 18406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
79	9, 39, 43, 78	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
80	2, 5	latm12 39230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
81	18, 14, 10, 79, 80	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
82	81	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
83	50, 77, 82	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
84	2, 4, 5, 23	oldmj1 39221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
85	18, 11, 12, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
86	85	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
87		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
88	2, 23, 5, 87	opnoncon 39208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
89	35, 14, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
90	86, 89	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (0.‘𝐾))
91	90	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)))
92	2, 5, 87	olm01 39236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
93	18, 10, 92	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
94	91, 93	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
95	94	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
96	33, 83, 95	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾))
97	2, 4	latjcl 18405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
98	9, 20, 22, 97	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
99	2, 5	latmcl 18406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
100	9, 10, 14, 99	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
101	2, 3, 5, 23, 87	omllaw3 39245	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
102	54, 98, 100, 101	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
103	102	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
104	8, 96, 103	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
105	104	eqcomd 2736	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  occoc 17235  joincjn 18279  meetcmee 18280  0.cp0 18389  Latclat 18397  OPcops 39172  cmccmtN 39173  OLcol 39174  OMLcoml 39175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-oposet 39176  df-cmtN 39177  df-ol 39178  df-oml 39179

This theorem is referenced by:  omlfh3N  39259  omlmod1i2N  39260