Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlspjN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omlspjN 38643
Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlspj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlspj.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omlspj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlspj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlspj.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlspjN ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋)
Proof of Theorem omlspjN
StepHypRef Expression
1 omllat 38624 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 38623 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
433ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
5 simp2r 1197 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 omlspj.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 omlspj.o . . . . . . 7 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
86, 7opoccl 38576 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
94, 5, 8syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 omlspj.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
116, 10latmcom 18425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
122, 9, 5, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
146, 7, 10, 13opnoncon 38590 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (0.β€˜πΎ))
154, 5, 14syl2anc 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (0.β€˜πΎ))
1612, 15eqtrd 2766 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
1716oveq2d 7420 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)))
18 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OML)
19 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
21 eqid 2726 . . . . . 6 (cmβ€˜πΎ) = (cmβ€˜πΎ)
226, 21cmtidN 38639 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
2318, 5, 22syl2anc 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
246, 7, 21cmt3N 38633 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ))
2518, 5, 5, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ))
2623, 25mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
27 omlspj.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
28 omlspj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
296, 27, 28, 10, 21omlmod1i2N 38642 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ))
3018, 19, 9, 5, 20, 26, 29syl132anc 1385 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ))
31 omlol 38622 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OL)
336, 28, 13olj01 38607 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
3432, 19, 33syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
3517, 30, 343eqtr3d 2774 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  occoc 17211  joincjn 18273  meetcmee 18274  0.cp0 18385  Latclat 18393  OPcops 38554  cmccmtN 38555  OLcol 38556  OMLcoml 38557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-oposet 38558  df-cmtN 38559  df-ol 38560  df-oml 38561
This theorem is referenced by:  doca2N  40509  djajN  40520
  Copyright terms: Public domain W3C validator