Theorem omlspjN 39768

Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlspj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlspj.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlspj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlspj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlspj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlspjN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem omlspjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39749	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3		omlop 39748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
4	3	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
5		simp2r 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		omlspj.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlspj.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8	6, 7	opoccl 39701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	4, 5, 8	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		omlspj.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	6, 10	latmcom 18424	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
12	2, 9, 5, 11	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
13		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14	6, 7, 10, 13	opnoncon 39715	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) = (0.‘𝐾))
15	4, 5, 14	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) = (0.‘𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (0.‘𝐾))
17	16	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)))
18		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OML)
19		simp2l 1207	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp3 1145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
21		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (cm‘𝐾) = (cm‘𝐾)
22	6, 21	cmtidN 39764	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
23	18, 5, 22	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
24	6, 7, 21	cmt3N 39758	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
25	18, 5, 5, 24	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
26	23, 25	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)
27		omlspj.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28		omlspj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
29	6, 27, 28, 10, 21	omlmod1i2N 39767	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌))
30	18, 19, 9, 5, 20, 26, 29	syl132anc 1397	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌))
31		omlol 39747	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
32	31	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OL)
33	6, 28, 13	olj01 39732	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)) = 𝑋)
34	32, 19, 33	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)) = 𝑋)
35	17, 30, 34	3eqtr3d 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  occoc 17223  joincjn 18272  meetcmee 18273  0.cp0 18382  Latclat 18392  OPcops 39679  cmccmtN 39680  OLcol 39681  OMLcoml 39682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-oposet 39683  df-cmtN 39684  df-ol 39685  df-oml 39686

This theorem is referenced by:  doca2N  41633  djajN  41644