Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlspjN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omlspjN 38126
Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlspj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlspj.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omlspj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlspj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlspj.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlspjN ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋)
Proof of Theorem omlspjN
StepHypRef Expression
1 omllat 38107 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 38106 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
433ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
5 simp2r 1200 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 omlspj.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 omlspj.o . . . . . . 7 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
86, 7opoccl 38059 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
94, 5, 8syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 omlspj.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
116, 10latmcom 18415 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
122, 9, 5, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
13 eqid 2732 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
146, 7, 10, 13opnoncon 38073 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (0.β€˜πΎ))
154, 5, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (0.β€˜πΎ))
1612, 15eqtrd 2772 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
1716oveq2d 7424 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)))
18 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OML)
19 simp2l 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp3 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
21 eqid 2732 . . . . . 6 (cmβ€˜πΎ) = (cmβ€˜πΎ)
226, 21cmtidN 38122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
2318, 5, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
246, 7, 21cmt3N 38116 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ))
2518, 5, 5, 24syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ))
2623, 25mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
27 omlspj.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
28 omlspj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
296, 27, 28, 10, 21omlmod1i2N 38125 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ))
3018, 19, 9, 5, 20, 26, 29syl132anc 1388 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ))
31 omlol 38105 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OL)
336, 28, 13olj01 38090 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
3432, 19, 33syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
3517, 30, 343eqtr3d 2780 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  occoc 17204  joincjn 18263  meetcmee 18264  0.cp0 18375  Latclat 18383  OPcops 38037  cmccmtN 38038  OLcol 38039  OMLcoml 38040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-oposet 38041  df-cmtN 38042  df-ol 38043  df-oml 38044
This theorem is referenced by:  doca2N  39992  djajN  40003
  Copyright terms: Public domain W3C validator