Theorem omlspjN 37202

Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlspj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlspj.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlspj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlspj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlspj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlspjN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem omlspjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 37183	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3		omlop 37182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
4	3	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
5		simp2r 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		omlspj.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlspj.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8	6, 7	opoccl 37135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	4, 5, 8	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		omlspj.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	6, 10	latmcom 18096	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
12	2, 9, 5, 11	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14	6, 7, 10, 13	opnoncon 37149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) = (0.‘𝐾))
15	4, 5, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) = (0.‘𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (0.‘𝐾))
17	16	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)))
18		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OML)
19		simp2l 1197	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (cm‘𝐾) = (cm‘𝐾)
22	6, 21	cmtidN 37198	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
23	18, 5, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
24	6, 7, 21	cmt3N 37192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
25	18, 5, 5, 24	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
26	23, 25	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)
27		omlspj.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28		omlspj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
29	6, 27, 28, 10, 21	omlmod1i2N 37201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌))
30	18, 19, 9, 5, 20, 26, 29	syl132anc 1386	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌))
31		omlol 37181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
32	31	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OL)
33	6, 28, 13	olj01 37166	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)) = 𝑋)
34	32, 19, 33	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)) = 𝑋)
35	17, 30, 34	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  occoc 16896  joincjn 17944  meetcmee 17945  0.cp0 18056  Latclat 18064  OPcops 37113  cmccmtN 37114  OLcol 37115  OMLcoml 37116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-lat 18065  df-oposet 37117  df-cmtN 37118  df-ol 37119  df-oml 37120

This theorem is referenced by:  doca2N  39067  djajN  39078