Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlspjN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omlspjN 38765
Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlspj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlspj.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omlspj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlspj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlspj.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlspjN ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋)
Proof of Theorem omlspjN
StepHypRef Expression
1 omllat 38746 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 38745 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
433ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
5 simp2r 1197 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 omlspj.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 omlspj.o . . . . . . 7 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
86, 7opoccl 38698 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
94, 5, 8syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 omlspj.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
116, 10latmcom 18462 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
122, 9, 5, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
146, 7, 10, 13opnoncon 38712 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (0.β€˜πΎ))
154, 5, 14syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (0.β€˜πΎ))
1612, 15eqtrd 2768 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
1716oveq2d 7442 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)))
18 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OML)
19 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
21 eqid 2728 . . . . . 6 (cmβ€˜πΎ) = (cmβ€˜πΎ)
226, 21cmtidN 38761 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
2318, 5, 22syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
246, 7, 21cmt3N 38755 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ))
2518, 5, 5, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ(cmβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ))
2623, 25mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)
27 omlspj.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
28 omlspj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
296, 27, 28, 10, 21omlmod1i2N 38764 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(cmβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ))
3018, 19, 9, 5, 20, 26, 29syl132anc 1385 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ))
31 omlol 38744 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OL)
336, 28, 13olj01 38729 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
3432, 19, 33syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑋)
3517, 30, 343eqtr3d 2776 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  occoc 17248  joincjn 18310  meetcmee 18311  0.cp0 18422  Latclat 18430  OPcops 38676  cmccmtN 38677  OLcol 38678  OMLcoml 38679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-oposet 38680  df-cmtN 38681  df-ol 38682  df-oml 38683
This theorem is referenced by:  doca2N  40631  djajN  40642
  Copyright terms: Public domain W3C validator