Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlspjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlspjN 36930
Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlspj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlspj.l = (le‘𝐾)
omlspj.j = (join‘𝐾)
omlspj.m = (meet‘𝐾)
omlspj.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
omlspjN ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem omlspjN
StepHypRef Expression
1 omllat 36911 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 36910 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
433ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
5 simp2r 1201 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌𝐵)
6 omlspj.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 omlspj.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
86, 7opoccl 36863 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
94, 5, 8syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
10 omlspj.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
116, 10latmcom 17813 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) 𝑌) = (𝑌 ( 𝑌)))
122, 9, 5, 11syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (( 𝑌) 𝑌) = (𝑌 ( 𝑌)))
13 eqid 2739 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
146, 7, 10, 13opnoncon 36877 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ( 𝑌)) = (0.‘𝐾))
154, 5, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌 ( 𝑌)) = (0.‘𝐾))
1612, 15eqtrd 2774 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (( 𝑌) 𝑌) = (0.‘𝐾))
1716oveq2d 7198 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = (𝑋 (0.‘𝐾)))
18 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OML)
19 simp2l 1200 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋𝐵)
20 simp3 1139 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋 𝑌)
21 eqid 2739 . . . . . 6 (cm‘𝐾) = (cm‘𝐾)
226, 21cmtidN 36926 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
2318, 5, 22syl2anc 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
246, 7, 21cmt3N 36920 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
2518, 5, 5, 24syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
2623, 25mpbid 235 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)
27 omlspj.l . . . 4 = (le‘𝐾)
28 omlspj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
296, 27, 28, 10, 21omlmod1i2N 36929 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌 ∧ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌))
3018, 19, 9, 5, 20, 26, 29syl132anc 1389 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌))
31 omlol 36909 . . . 4 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OL)
336, 28, 13olj01 36894 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 (0.‘𝐾)) = 𝑋)
3432, 19, 33syl2anc 587 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (0.‘𝐾)) = 𝑋)
3517, 30, 343eqtr3d 2782 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5040  cfv 6349  (class class class)co 7182  Basecbs 16598  lecple 16687  occoc 16688  joincjn 17682  meetcmee 17683  0.cp0 17775  Latclat 17783  OPcops 36841  cmccmtN 36842  OLcol 36843  OMLcoml 36844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-proset 17666  df-poset 17684  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-lat 17784  df-oposet 36845  df-cmtN 36846  df-ol 36847  df-oml 36848
This theorem is referenced by:  doca2N  38795  djajN  38806
  Copyright terms: Public domain W3C validator