Theorem omlspjN 39666

Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlspj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlspj.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlspj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlspj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlspj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlspjN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem omlspjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39647	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3		omlop 39646	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
5		simp2r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		omlspj.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlspj.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8	6, 7	opoccl 39599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	4, 5, 8	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		omlspj.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	6, 10	latmcom 18400	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
12	2, 9, 5, 11	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14	6, 7, 10, 13	opnoncon 39613	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) = (0.‘𝐾))
15	4, 5, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) = (0.‘𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌) = (0.‘𝐾))
17	16	oveq2d 7386	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)))
18		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OML)
19		simp2l 1201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (cm‘𝐾) = (cm‘𝐾)
22	6, 21	cmtidN 39662	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
23	18, 5, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
24	6, 7, 21	cmt3N 39656	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
25	18, 5, 5, 24	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
26	23, 25	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)
27		omlspj.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
28		omlspj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
29	6, 27, 28, 10, 21	omlmod1i2N 39665	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌))
30	18, 19, 9, 5, 20, 26, 29	syl132anc 1391	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌))
31		omlol 39645	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
32	31	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐾 ∈ OL)
33	6, 28, 13	olj01 39630	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)) = 𝑋)
34	32, 19, 33	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ (0.‘𝐾)) = 𝑋)
35	17, 30, 34	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  lecple 17198  occoc 17199  joincjn 18248  meetcmee 18249  0.cp0 18358  Latclat 18368  OPcops 39577  cmccmtN 39578  OLcol 39579  OMLcoml 39580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-proset 18231  df-poset 18250  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18369  df-oposet 39581  df-cmtN 39582  df-ol 39583  df-oml 39584

This theorem is referenced by:  doca2N  41531  djajN  41542