MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmphmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmphmph 23283
Description: Compactness is a topological property-that is, for any two homeomorphic topologies, either both are compact or neither is. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmphmph (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))

Proof of Theorem cmphmph
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 23271 . 2 (𝐽𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2 n0 4345 . . 3 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3 eqid 2732 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2732 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4hmeof1o 23259 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾)
6 f1ofo 6837 . . . . . 6 (𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾𝑓: 𝐽onto 𝐾)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽onto 𝐾)
8 hmeocn 23255 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
94cncmp 22887 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Comp)
1093expb 1120 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Comp)
1110expcom 414 . . . . 5 ((𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
127, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
1312exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
142, 13sylbi 216 . 2 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
151, 14sylbi 216 1 (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  c0 4321   cuni 4907   class class class wbr 5147  ontowfo 6538  1-1-ontowf1o 6539  (class class class)co 7405   Cn ccn 22719  Compccmp 22881  Homeochmeo 23248  chmph 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-top 22387  df-topon 22404  df-cn 22722  df-cmp 22882  df-hmeo 23250  df-hmph 23251
This theorem is referenced by:  ptcmpfi  23308  xrcmp  24455  reheibor  36695
  Copyright terms: Public domain W3C validator