Theorem cmphmph 23713

Description: Compactness is a topological property-that is, for any two homeomorphic topologies, either both are compact or neither is. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmphmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))

Proof of Theorem cmphmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23701	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4304	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	hmeof1o 23689	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
6		f1ofo 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
8		hmeocn 23685	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9	4	cncmp 23317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Comp)
10	9	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Comp)
11	10	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
13	12	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
14	2, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))
15	1, 14	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Comp → 𝐾 ∈ Comp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4284  ∪ cuni 4860   class class class wbr 5095  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488  (class class class)co 7355   Cn ccn 23149  Compccmp 23311  Homeochmeo 23678   ≃ chmph 23679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-1o 8394  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-fin 8882  df-top 22819  df-topon 22836  df-cn 23152  df-cmp 23312  df-hmeo 23680  df-hmph 23681

This theorem is referenced by:  ptcmpfi  23738  xrcmp  24883  reheibor  37889