Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonct 45395
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonct.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonct.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
vonct (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 5062 . . . . 5 𝑥𝐴 {𝑥} = 𝐴
21eqcomi 2741 . . . 4 𝐴 = 𝑥𝐴 {𝑥}
32fveq2i 6891 . . 3 ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥})
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}))
5 nfv 1917 . . 3 𝑥𝜑
6 vonct.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
76vonmea 45276 . . 3 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 eqid 2732 . . 3 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
96adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10 vonct.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
1110sselda 3981 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
129, 11snvonmbl 45388 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13 vonct.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 sndisj 5138 . . . 4 Disj 𝑥𝐴 {𝑥}
1514a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 {𝑥})
165, 7, 8, 12, 13, 15meadjiun 45168 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
179, 11vonsn 45393 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
1817mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
1918fveq2d 6892 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)))
207, 8dmmeasal 45154 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
2120, 13, 12saliuncl 45025 . . . . 5 (𝜑 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
221, 21eqeltrrid 2838 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
235, 22sge0z 45077 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)) = 0)
2419, 23eqtrd 2772 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
254, 16, 243eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3947  {csn 4627   ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  cfv 6540  (class class class)co 7405  ωcom 7851  m cmap 8816  cdom 8933  Fincfn 8935  cr 11105  0cc0 11106  Σ^csumge0 45064  volncvoln 45240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-pws 17391  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-phl 21170  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-tng 24084  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-cncf 24385  df-clm 24570  df-cph 24676  df-tcph 24677  df-rrx 24893  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-salg 45011  df-sumge0 45065  df-mea 45152  df-ome 45192  df-caragen 45194  df-ovoln 45239  df-voln 45241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator