Theorem vonct 47467

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonct.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonct.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
vonct	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5027	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2	1	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
3	2	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}))
5		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		vonct.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	6	vonmea 47348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10		vonct.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
11	10	sselda 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12	9, 11	snvonmbl 47460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13		vonct.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
14		sndisj 5103	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
16	5, 7, 8, 12, 13, 15	meadjiun 47240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
17	9, 11	vonsn 47465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
18	17	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
19	18	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)))
20	7, 8	dmmeasal 47226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
21	20, 13, 12	saliuncl 47097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
22	1, 21	eqeltrrid 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
23	5, 22	sge0z 47149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)
24	19, 23	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
25	4, 16, 24	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ∪ ciun 4958  Disj wdisj 5078   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ωcom 7868   ↑_m cmap 8830   ≼ cdom 8947  Fincfn 8949  ℝcr 11116  0cc0 11117  Σ^{^}csumge0 47136  volncvoln 47312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-ac 10116  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15983  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-pws 17526  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-field 20882  df-abv 20964  df-staf 20994  df-srng 20995  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lmhm 21195  df-lvec 21276  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-cnfld 21575  df-refld 21807  df-phl 21828  df-dsmm 21934  df-frlm 21949  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-nm 24792  df-ngp 24793  df-tng 24794  df-nrg 24795  df-nlm 24796  df-cncf 25090  df-clm 25275  df-cph 25380  df-tcph 25381  df-rrx 25597  df-ovol 25676  df-vol 25677  df-salg 47083  df-sumge0 47137  df-mea 47224  df-ome 47264  df-caragen 47266  df-ovoln 47311  df-voln 47313

This theorem is used by: (None)