Theorem vonct 47702

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonct.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonct.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
vonct	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5019	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2	1	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
3	2	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}))
5		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		vonct.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	6	vonmea 47583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10		vonct.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
11	10	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12	9, 11	snvonmbl 47695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13		vonct.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
14		sndisj 5095	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
16	5, 7, 8, 12, 13, 15	meadjiun 47475	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
17	9, 11	vonsn 47700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
18	17	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
19	18	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)))
20	7, 8	dmmeasal 47461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
21	20, 13, 12	saliuncl 47332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
22	1, 21	eqeltrrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
23	5, 22	sge0z 47384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)
24	19, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
25	4, 16, 24	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ↑_m cmap 8847   ≼ cdom 8971  Fincfn 8973  ℝcr 11199  0cc0 11200  Σ^{^}csumge0 47371  volncvoln 47547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-prod 16073  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-pws 17620  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-abv 21066  df-staf 21096  df-srng 21097  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lmhm 21297  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-phl 21932  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-tng 24903  df-nrg 24904  df-nlm 24905  df-cncf 25199  df-clm 25384  df-cph 25489  df-tcph 25490  df-rrx 25706  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-salg 47318  df-sumge0 47372  df-mea 47459  df-ome 47499  df-caragen 47501  df-ovoln 47546  df-voln 47548

This theorem is used by: (None)