Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonct 43500
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonct.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonct.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
vonct (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4951 . . . . 5 𝑥𝐴 {𝑥} = 𝐴
21eqcomi 2807 . . . 4 𝐴 = 𝑥𝐴 {𝑥}
32fveq2i 6658 . . 3 ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥})
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}))
5 nfv 1915 . . 3 𝑥𝜑
6 vonct.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
76vonmea 43381 . . 3 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 eqid 2798 . . 3 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
96adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10 vonct.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
1110sselda 3917 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
129, 11snvonmbl 43493 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13 vonct.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 sndisj 5025 . . . 4 Disj 𝑥𝐴 {𝑥}
1514a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 {𝑥})
165, 7, 8, 12, 13, 15meadjiun 43273 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
179, 11vonsn 43498 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
1817mpteq2dva 5129 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
1918fveq2d 6659 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)))
207, 8dmmeasal 43259 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
2120, 13, 12saliuncl 43132 . . . . 5 (𝜑 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
221, 21eqeltrrid 2895 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
235, 22sge0z 43182 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)) = 0)
2419, 23eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
254, 16, 243eqtrd 2837 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3883  {csn 4528  ∪ ciun 4885  Disj wdisj 4999   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  dom cdm 5523  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ωcom 7573   ↑m cmap 8407   ≼ cdom 8508  Fincfn 8510  ℝcr 10543  0cc0 10544  Σ^csumge0 43169  volncvoln 43345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-ac2 9892  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9545  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-prod 15272  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-pws 16735  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-ghm 18369  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-cring 19314  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-dvr 19450  df-rnghom 19484  df-drng 19518  df-field 19519  df-subrg 19547  df-abv 19602  df-staf 19630  df-srng 19631  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lmhm 19808  df-lvec 19889  df-sra 19958  df-rgmod 19959  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-cnfld 20113  df-refld 20316  df-phl 20337  df-dsmm 20443  df-frlm 20458  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-cmp 22033  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-nm 23230  df-ngp 23231  df-tng 23232  df-nrg 23233  df-nlm 23234  df-cncf 23524  df-clm 23709  df-cph 23814  df-tcph 23815  df-rrx 24030  df-ovol 24109  df-vol 24110  df-salg 43119  df-sumge0 43170  df-mea 43257  df-ome 43297  df-caragen 43299  df-ovoln 43344  df-voln 43346 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator