Theorem vonct 47842

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonct.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonct.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
vonct	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5021	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
3	2	fveq2i 6896	. . 3 ⊢ ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}))
5		nfv 1948	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		vonct.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	6	vonmea 47723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10		vonct.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
11	10	sselda 3912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12	9, 11	snvonmbl 47835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13		vonct.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
14		sndisj 5097	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
16	5, 7, 8, 12, 13, 15	meadjiun 47615	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
17	9, 11	vonsn 47840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
18	17	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
19	18	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)))
20	7, 8	dmmeasal 47601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
21	20, 13, 12	saliuncl 47472	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
22	1, 21	eqeltrrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
23	5, 22	sge0z 47524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)
24	19, 23	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
25	4, 16, 24	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  {csn 4587  ∪ ciun 4953  Disj wdisj 5072   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5654  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ωcom 7884   ↑_m cmap 8858   ≼ cdom 8982  Fincfn 8984  ℝcr 11209  0cc0 11210  Σ^{^}csumge0 47511  volncvoln 47687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cc 10523  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-sum 15866  df-prod 16085  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-pws 17632  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-field 20995  df-abv 21078  df-staf 21108  df-srng 21109  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lmhm 21309  df-lvec 21390  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-cnfld 21691  df-refld 21923  df-phl 21944  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-cmp 23717  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-nm 24913  df-ngp 24914  df-tng 24915  df-nrg 24916  df-nlm 24917  df-cncf 25211  df-clm 25396  df-cph 25501  df-tcph 25502  df-rrx 25718  df-ovol 25797  df-vol 25798  df-salg 47458  df-sumge0 47512  df-mea 47599  df-ome 47639  df-caragen 47641  df-ovoln 47686  df-voln 47688

This theorem is used by: (None)