Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonct 41479
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonct.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonct.2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
vonct.3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
vonct (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4731 . . . . 5 𝑥𝐴 {𝑥} = 𝐴
21eqcomi 2774 . . . 4 𝐴 = 𝑥𝐴 {𝑥}
32fveq2i 6378 . . 3 ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥})
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}))
5 nfv 2009 . . 3 𝑥𝜑
6 vonct.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
76vonmea 41360 . . 3 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 eqid 2765 . . 3 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
96adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10 vonct.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1110sselda 3761 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
129, 11snvonmbl 41472 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13 vonct.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 sndisj 4801 . . . 4 Disj 𝑥𝐴 {𝑥}
1514a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 {𝑥})
165, 7, 8, 12, 13, 15meadjiun 41252 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘ 𝑥𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
179, 11vonsn 41477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
1817mpteq2dva 4903 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
1918fveq2d 6379 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)))
207, 8dmmeasal 41238 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
2120, 13, 12saliuncl 41111 . . . . 5 (𝜑 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
221, 21syl5eqelr 2849 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
235, 22sge0z 41161 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ 0)) = 0)
2419, 23eqtrd 2799 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
254, 16, 243eqtrd 2803 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3732  {csn 4334   ciun 4676  Disj wdisj 4777   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  ωcom 7263  𝑚 cmap 8060  cdom 8158  Fincfn 8160  cr 10188  0cc0 10189  Σ^csumge0 41148  volncvoln 41324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-prod 14921  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-pws 16378  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-field 19019  df-subrg 19047  df-abv 19086  df-staf 19114  df-srng 19115  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lmhm 19294  df-lvec 19375  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-refld 20225  df-phl 20246  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-nm 22666  df-ngp 22667  df-tng 22668  df-nrg 22669  df-nlm 22670  df-cncf 22960  df-clm 23141  df-cph 23246  df-tcph 23247  df-rrx 23462  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-salg 41098  df-sumge0 41149  df-mea 41236  df-ome 41276  df-caragen 41278  df-ovoln 41323  df-voln 41325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator