Theorem vonct 44231

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of any countable set is zero. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonct.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonct.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
vonct.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
vonct	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem vonct

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 4990	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2	1	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
3	2	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}))
5		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		vonct.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	6	vonmea 44112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
10		vonct.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
11	10	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
12	9, 11	snvonmbl 44224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
13		vonct.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
14		sndisj 5065	. . . 4 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥})
16	5, 7, 8, 12, 13, 15	meadjiun 44004	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))))
17	9, 11	vonsn 44229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((voln‘𝑋)‘{𝑥}) = 0)
18	17	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
19	18	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)))
20	7, 8	dmmeasal 43990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
21	20, 13, 12	saliuncl 43863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
22	1, 21	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
23	5, 22	sge0z 43913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)
24	19, 23	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((voln‘𝑋)‘{𝑥}))) = 0)
25	4, 16, 24	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ∪ ciun 4924  Disj wdisj 5039   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712   ↑_m cmap 8615   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871  Σ^{^}csumge0 43900  volncvoln 44076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-pws 17160  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-phl 20831  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-tng 23740  df-nrg 23741  df-nlm 23742  df-cncf 24041  df-clm 24226  df-cph 24332  df-tcph 24333  df-rrx 24549  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-salg 43850  df-sumge0 43901  df-mea 43988  df-ome 44028  df-caragen 44030  df-ovoln 44075  df-voln 44077

This theorem is referenced by: (None)