Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaunle 41161
Description: The measure of the union of two sets is less or equal to the sum of the measures, Property 112C (c) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meaunle.1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaunle.2 𝑆 = dom 𝑀
meaunle.3 (𝜑𝐴𝑆)
meaunle.4 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
meaunle (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meaunle
StepHypRef Expression
1 undif2 4247 . . . . . 6 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21eqcomi 2822 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))
32fveq2i 6414 . . . 4 (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))))
5 meaunle.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
6 meaunle.2 . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
7 meaunle.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
85, 6dmmeasal 41149 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
9 meaunle.4 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
10 saldifcl2 41026 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
118, 9, 7, 10syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
12 disjdif 4243 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
145, 6, 7, 11, 13meadjun 41159 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
154, 14eqtrd 2847 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
165, 6, 11meaxrcl 41158 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
175, 6, 9meaxrcl 41158 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
185, 6, 7meaxrcl 41158 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
19 difssd 3944 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
205, 6, 11, 9, 19meassle 41160 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ≤ (𝑀𝐵))
2116, 17, 18, 20xleadd2d 40024 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
2215, 21eqbrtrd 4873 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157  cdif 3773  cun 3774  cin 3775  c0 4123   class class class wbr 4851  dom cdm 5318  cfv 6104  (class class class)co 6877  cle 10363   +𝑒 cxad 12163  SAlgcsalg 41008  Meascmea 41146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-disj 4820  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-xadd 12166  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-clim 14445  df-sum 14643  df-salg 41009  df-sumge0 41060  df-mea 41147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator