Theorem meaunle 45180

Description: The measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (c) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaunle.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaunle.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaunle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meaunle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaunle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meaunle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif2 4477	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	fveq2i 6895	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
5		meaunle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
6		meaunle.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
7		meaunle.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	5, 6	dmmeasal 45168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
9		meaunle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		saldifcl2 45044	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
11	8, 9, 7, 10	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
12		disjdif 4472	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
14	5, 6, 7, 11, 13	meadjun 45178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
15	4, 14	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	5, 6, 11	meaxrcl 45177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
17	5, 6, 9	meaxrcl 45177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
18	5, 6, 7	meaxrcl 45177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
19		difssd 4133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
20	5, 6, 11, 9, 19	meassle 45179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐵))
21	16, 17, 18, 20	xleadd2d 44037	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
22	15, 21	eqbrtrd 5171	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ≤ cle 11249   +_𝑒 cxad 13090  SAlgcsalg 45024  Meascmea 45165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-salg 45025  df-sumge0 45079  df-mea 45166

This theorem is referenced by: (None)