Theorem meaunle 46914

Description: The measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (c) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaunle.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaunle.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaunle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meaunle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaunle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meaunle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif2 4418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	fveq2i 6839	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
5		meaunle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
6		meaunle.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
7		meaunle.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	5, 6	dmmeasal 46902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
9		meaunle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		saldifcl2 46778	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
11	8, 9, 7, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
12		disjdif 4413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
14	5, 6, 7, 11, 13	meadjun 46912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
15	4, 14	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	5, 6, 11	meaxrcl 46911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
17	5, 6, 9	meaxrcl 46911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
18	5, 6, 7	meaxrcl 46911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
19		difssd 4078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
20	5, 6, 11, 9, 19	meassle 46913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐵))
21	16, 17, 18, 20	xleadd2d 45779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
22	15, 21	eqbrtrd 5108	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ≤ cle 11175   +_𝑒 cxad 13056  SAlgcsalg 46758  Meascmea 46899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-xadd 13059  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-salg 46759  df-sumge0 46813  df-mea 46900

This theorem is referenced by: (None)