Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaunle 46484
Description: The measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (c) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meaunle.1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaunle.2 𝑆 = dom 𝑀
meaunle.3 (𝜑𝐴𝑆)
meaunle.4 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
meaunle (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meaunle
StepHypRef Expression
1 undif2 4476 . . . . . 6 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21eqcomi 2745 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))
32fveq2i 6908 . . . 4 (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))))
5 meaunle.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
6 meaunle.2 . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
7 meaunle.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
85, 6dmmeasal 46472 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
9 meaunle.4 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
10 saldifcl2 46348 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
118, 9, 7, 10syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
12 disjdif 4471 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
145, 6, 7, 11, 13meadjun 46482 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
154, 14eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
165, 6, 11meaxrcl 46481 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
175, 6, 9meaxrcl 46481 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
185, 6, 7meaxrcl 46481 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
19 difssd 4136 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
205, 6, 11, 9, 19meassle 46483 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ≤ (𝑀𝐵))
2116, 17, 18, 20xleadd2d 45343 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
2215, 21eqbrtrd 5164 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  c0 4332   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  cfv 6560  (class class class)co 7432  cle 11297   +𝑒 cxad 13153  SAlgcsalg 46328  Meascmea 46469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-salg 46329  df-sumge0 46383  df-mea 46470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator