Theorem meaunle 47107

Description: The measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (c) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaunle.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaunle.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaunle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meaunle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaunle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meaunle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif2 4443	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	fveq2i 6887	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))))
5		meaunle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
6		meaunle.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
7		meaunle.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	5, 6	dmmeasal 47095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
9		meaunle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
10		saldifcl2 46971	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
11	8, 9, 7, 10	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ 𝑆)
12		disjdif 4438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
14	5, 6, 7, 11, 13	meadjun 47105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
15	4, 14	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
16	5, 6, 11	meaxrcl 47104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
17	5, 6, 9	meaxrcl 47104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
18	5, 6, 7	meaxrcl 47104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
19		difssd 4099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
20	5, 6, 11, 9, 19	meassle 47106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐵))
21	16, 17, 18, 20	xleadd2d 45972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
22	15, 21	eqbrtrd 5137	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  dom cdm 5664  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ≤ cle 11246   +_𝑒 cxad 13137  SAlgcsalg 46951  Meascmea 47092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-xadd 13140  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-salg 46952  df-sumge0 47006  df-mea 47093

This theorem is referenced by: (None)