Theorem hoimbllem 45024

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))

Assertion

Ref	Expression
hoimbllem	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbllem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		hoimbllem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		hoimbllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		hoimbllem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		hoimbllem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
6	1, 2, 3, 4, 5	hspdifhsp 45010	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
7	1	vonmea 44968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		hoimbllem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
9	7, 8	dmmeasal 44846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		fict 9613	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
12	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
15	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
16	15, 14	ffvelcdmd 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	5, 13, 14, 16	hspmbl 45023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
18	8	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘𝑋) = 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
20	17, 19	eleqtrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	3	ffvelcdmda 7055	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
22	5, 13, 14, 21	hspmbl 45023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
23	22, 19	eleqtrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆)
24		saldifcl2 44722	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
25	12, 20, 23, 24	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
26	9, 11, 2, 25	saliincl 44721	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
27	6, 26	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3925  ∅c0 4302  ifcif 4506  ∩ ciin 4975   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208  dom cdm 5653  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377   ∈ cmpo 7379  ωcom 7822  Xcixp 8857   ≼ cdom 8903  Fincfn 8905  ℝcr 11074  -∞cmnf 11211  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  SAlgcsalg 44702  volncvoln 44932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-disj 5091  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-prod 15815  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-rest 17333  df-0g 17352  df-topgen 17354  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-subg 18954  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-cring 19996  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-drng 20242  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-bases 22348  df-cmp 22790  df-ovol 24880  df-vol 24881  df-salg 44703  df-sumge0 44757  df-mea 44844  df-ome 44884  df-caragen 44886  df-ovoln 44931  df-voln 44933

This theorem is referenced by:  hoimbl  45025