Theorem hoimbllem 47058

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))

Assertion

Ref	Expression
hoimbllem	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbllem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		hoimbllem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		hoimbllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		hoimbllem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		hoimbllem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
6	1, 2, 3, 4, 5	hspdifhsp 47044	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
7	1	vonmea 47002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		hoimbllem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
9	7, 8	dmmeasal 46880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		fict 9574	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
12	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
16	15, 14	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	5, 13, 14, 16	hspmbl 47057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
18	8	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘𝑋) = 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
20	17, 19	eleqtrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	3	ffvelcdmda 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
22	5, 13, 14, 21	hspmbl 47057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
23	22, 19	eleqtrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆)
24		saldifcl2 46756	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
25	12, 20, 23, 24	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
26	9, 11, 2, 25	saliincl 46755	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
27	6, 26	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  ∅c0 4273  ifcif 4466  ∩ ciin 4934   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ωcom 7817  Xcixp 8845   ≼ cdom 8891  Fincfn 8893  ℝcr 11037  -∞cmnf 11177  (,)cioo 13298  [,)cico 13300  SAlgcsalg 46736  volncvoln 46966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-prod 15869  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cmp 23352  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-salg 46737  df-sumge0 46791  df-mea 46878  df-ome 46918  df-caragen 46920  df-ovoln 46965  df-voln 46967

This theorem is referenced by:  hoimbl  47059