Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbllem 41636
 Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
Assertion
Ref Expression
hoimbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem
StepHypRef Expression
1 hoimbllem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 hoimbllem.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3 hoimbllem.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 hoimbllem.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
5 hoimbllem.h . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
61, 2, 3, 4, 5hspdifhsp 41622 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
71vonmea 41580 . . . 4 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 hoimbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
97, 8dmmeasal 41458 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 fict 8834 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
111, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ≼ ω)
129adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
131adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
154adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615, 14ffvelrnd 6614 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
175, 13, 14, 16hspmbl 41635 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
188eqcomi 2834 . . . . . 6 dom (voln‘𝑋) = 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
2017, 19eleqtrd 2908 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
213ffvelrnda 6613 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
225, 13, 14, 21hspmbl 41635 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
2322, 19eleqtrd 2908 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ 𝑆)
24 saldifcl2 41335 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
2512, 20, 23, 24syl3anc 1494 . . 3 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
269, 11, 2, 25saliincl 41334 . 2 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
276, 26eqeltrd 2906 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∖ cdif 3795  ∅c0 4146  ifcif 4308  ∩ ciin 4743   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  dom cdm 5346  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  ωcom 7331  Xcixp 8181   ≼ cdom 8226  Fincfn 8228  ℝcr 10258  -∞cmnf 10396  (,)cioo 12470  [,)cico 12472  SAlgcsalg 41317  volncvoln 41544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-ac2 9607  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-disj 4844  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-ac 9259  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-prod 15016  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-rest 16443  df-0g 16462  df-topgen 16464  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-subg 17949  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cmp 21568  df-ovol 23637  df-vol 23638  df-salg 41318  df-sumge0 41369  df-mea 41456  df-ome 41496  df-caragen 41498  df-ovoln 41543  df-voln 41545 This theorem is referenced by:  hoimbl  41637
 Copyright terms: Public domain W3C validator