Theorem hoimbllem 47201

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))

Assertion

Ref	Expression
hoimbllem	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbllem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		hoimbllem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		hoimbllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		hoimbllem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		hoimbllem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
6	1, 2, 3, 4, 5	hspdifhsp 47187	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
7	1	vonmea 47145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		hoimbllem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
9	7, 8	dmmeasal 47023	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		fict 9608	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
12	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
15	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
16	15, 14	ffvelcdmd 7066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	5, 13, 14, 16	hspmbl 47200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
18	8	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘𝑋) = 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
20	17, 19	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	3	ffvelcdmda 7065	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
22	5, 13, 14, 21	hspmbl 47200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
23	22, 19	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆)
24		saldifcl2 46899	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
25	12, 20, 23, 24	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
26	9, 11, 2, 25	saliincl 46898	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
27	6, 26	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  ifcif 4480  ∩ ciin 4950   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ωcom 7846  Xcixp 8879   ≼ cdom 8925  Fincfn 8927  ℝcr 11072  -∞cmnf 11214  (,)cioo 13349  [,)cico 13351  SAlgcsalg 46879  volncvoln 47109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-ac2 10420  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-prod 15934  df-rest 17451  df-topgen 17472  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-top 22951  df-topon 22968  df-bases 23003  df-cmp 23444  df-ovol 25523  df-vol 25524  df-salg 46880  df-sumge0 46934  df-mea 47021  df-ome 47061  df-caragen 47063  df-ovoln 47108  df-voln 47110

This theorem is referenced by:  hoimbl  47202