Theorem hoimbllem 44058

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))

Assertion

Ref	Expression
hoimbllem	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbllem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		hoimbllem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		hoimbllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		hoimbllem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		hoimbllem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
6	1, 2, 3, 4, 5	hspdifhsp 44044	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
7	1	vonmea 44002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		hoimbllem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
9	7, 8	dmmeasal 43880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		fict 9341	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
12	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
16	15, 14	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	5, 13, 14, 16	hspmbl 44057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
18	8	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘𝑋) = 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
20	17, 19	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	3	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
22	5, 13, 14, 21	hspmbl 44057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
23	22, 19	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆)
24		saldifcl2 43757	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
25	12, 20, 23, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
26	9, 11, 2, 25	saliincl 43756	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
27	6, 26	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  ifcif 4456  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ωcom 7687  Xcixp 8643   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  SAlgcsalg 43739  volncvoln 43966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-prod 15544  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-salg 43740  df-sumge0 43791  df-mea 43878  df-ome 43918  df-caragen 43920  df-ovoln 43965  df-voln 43967

This theorem is referenced by:  hoimbl  44059