Theorem hoimbllem 47748

Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoimbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))

Assertion

Ref	Expression
hoimbllem	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoimbllem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		hoimbllem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
3		hoimbllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		hoimbllem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		hoimbllem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
6	1, 2, 3, 4, 5	hspdifhsp 47734	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
7	1	vonmea 47692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8		hoimbllem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
9	7, 8	dmmeasal 47570	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		fict 9661	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
11	1, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
12	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
15	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
16	15, 14	ffvelcdmd 7090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	5, 13, 14, 16	hspmbl 47747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
18	8	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ dom (voln‘𝑋) = 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
20	17, 19	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)
21	3	ffvelcdmda 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
22	5, 13, 14, 21	hspmbl 47747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
23	22, 19	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆)
24		saldifcl2 47446	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
25	12, 20, 23, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
26	9, 11, 2, 25	saliincl 47445	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∈ 𝑆)
27	6, 26	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  ifcif 4481  ∩ ciin 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  ωcom 7881  Xcixp 8932   ≼ cdom 8978  Fincfn 8980  ℝcr 11206  -∞cmnf 11348  (,)cioo 13483  [,)cico 13485  SAlgcsalg 47426  volncvoln 47656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-acn 10030  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-prod 16082  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cmp 23714  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-salg 47427  df-sumge0 47481  df-mea 47568  df-ome 47608  df-caragen 47610  df-ovoln 47655  df-voln 47657

This theorem is used by:  hoimbl  47749