Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbllem 46251
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
Assertion
Ref Expression
hoimbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem
StepHypRef Expression
1 hoimbllem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 hoimbllem.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3 hoimbllem.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 hoimbllem.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
5 hoimbllem.h . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
61, 2, 3, 4, 5hspdifhsp 46237 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
71vonmea 46195 . . . 4 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 hoimbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
97, 8dmmeasal 46073 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 fict 9696 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
111, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ≼ ω)
129adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
131adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
154adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615, 14ffvelcdmd 7099 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
175, 13, 14, 16hspmbl 46250 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
188eqcomi 2735 . . . . . 6 dom (voln‘𝑋) = 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
2017, 19eleqtrd 2828 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
213ffvelcdmda 7098 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
225, 13, 14, 21hspmbl 46250 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
2322, 19eleqtrd 2828 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ 𝑆)
24 saldifcl2 45949 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
2512, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
269, 11, 2, 25saliincl 45948 . 2 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
276, 26eqeltrd 2826 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  c0 4325  ifcif 4533   ciin 5002   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  ωcom 7876  Xcixp 8926  cdom 8972  Fincfn 8974  cr 11157  -∞cmnf 11296  (,)cioo 13378  [,)cico 13380  SAlgcsalg 45929  volncvoln 46159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-ac2 10506  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-ac 10159  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-prod 15908  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-rest 17437  df-0g 17456  df-topgen 17458  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-drng 20709  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cmp 23382  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-salg 45930  df-sumge0 45984  df-mea 46071  df-ome 46111  df-caragen 46113  df-ovoln 46158  df-voln 46160
This theorem is referenced by:  hoimbl  46252
  Copyright terms: Public domain W3C validator