Theorem meadif 44362

Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meadif.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
meadif.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
meadif.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
meadif	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadif.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		undif 4428	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
5	4	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
6		meadif.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
8		meadif.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
9	6, 7	dmmeasal 44335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10		meadif.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
11		saldifcl2 44211	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑀)
12	9, 10, 8, 11	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑀)
13		disjdif 4418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
15		meadif.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15, 1, 8	meassre 44360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ)
17		difssd 4079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18	6, 10, 15, 17, 12	meassre 44360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
19	6, 7, 8, 12, 14, 16, 18	meadjunre 44359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
20	5, 19	eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴))
21	16	recnd 11104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℂ)
22	18	recnd 11104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
23	15	recnd 11104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	addrsub 11493	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵))))
25	20, 24	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269  dom cdm 5620  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℝcr 10971   + caddc 10975   − cmin 11306  SAlgcsalg 44193  Meascmea 44332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-xadd 12950  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-salg 44194  df-sumge0 44246  df-mea 44333

This theorem is referenced by:  meaiininclem  44369