Theorem meadif 46494

Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meadif.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
meadif.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
meadif.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
meadif	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadif.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		undif 4482	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
5	4	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
6		meadif.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
8		meadif.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
9	6, 7	dmmeasal 46467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10		meadif.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
11		saldifcl2 46343	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑀)
12	9, 10, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑀)
13		disjdif 4472	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
15		meadif.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15, 1, 8	meassre 46492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ)
17		difssd 4137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18	6, 10, 15, 17, 12	meassre 46492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
19	6, 7, 8, 12, 14, 16, 18	meadjunre 46491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
20	5, 19	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴))
21	16	recnd 11289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℂ)
22	18	recnd 11289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
23	15	recnd 11289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	addrsub 11680	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵))))
25	20, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   + caddc 11158   − cmin 11492  SAlgcsalg 46323  Meascmea 46464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46501