Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadif 45748
Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meadif.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadif.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meadif.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
meadif.b (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
meadif.s (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
meadif (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadif
StepHypRef Expression
1 meadif.s . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
2 undif 4476 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
31, 2sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
43eqcomd 2732 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
54fveq2d 6888 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
6 meadif.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 eqid 2726 . . . 4 dom 𝑀 = dom 𝑀
8 meadif.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
96, 7dmmeasal 45721 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10 meadif.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
11 saldifcl2 45597 . . . . 5 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
129, 10, 8, 11syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
13 disjdif 4466 . . . . 5 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 meadif.r . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
166, 10, 15, 1, 8meassre 45746 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
17 difssd 4127 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
186, 10, 15, 17, 12meassre 45746 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
196, 7, 8, 12, 14, 16, 18meadjunre 45745 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))))
205, 19eqtr2d 2767 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴))
2116recnd 11243 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℂ)
2218recnd 11243 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
2315recnd 11243 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℂ)
2421, 22, 23addrsub 11632 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵))))
2520, 24mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3940  cun 3941  cin 3942  wss 3943  c0 4317  dom cdm 5669  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108   + caddc 11112  cmin 11445  SAlgcsalg 45577  Meascmea 45718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-salg 45578  df-sumge0 45632  df-mea 45719
This theorem is referenced by:  meaiininclem  45755
  Copyright terms: Public domain W3C validator