Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadif 45867
Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meadif.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadif.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
meadif.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
meadif.b (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
meadif.s (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
meadif (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadif
StepHypRef Expression
1 meadif.s . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
2 undif 4482 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
31, 2sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
43eqcomd 2734 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
54fveq2d 6901 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
6 meadif.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 eqid 2728 . . . 4 dom 𝑀 = dom 𝑀
8 meadif.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
96, 7dmmeasal 45840 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10 meadif.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
11 saldifcl2 45716 . . . . 5 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
129, 10, 8, 11syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
13 disjdif 4472 . . . . 5 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 meadif.r . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
166, 10, 15, 1, 8meassre 45865 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
17 difssd 4131 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
186, 10, 15, 17, 12meassre 45865 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
196, 7, 8, 12, 14, 16, 18meadjunre 45864 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))))
205, 19eqtr2d 2769 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴))
2116recnd 11273 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℂ)
2218recnd 11273 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
2315recnd 11273 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℂ)
2421, 22, 23addrsub 11662 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵))))
2520, 24mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4323  dom cdm 5678  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138   + caddc 11142  cmin 11475  SAlgcsalg 45696  Meascmea 45837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-salg 45697  df-sumge0 45751  df-mea 45838
This theorem is referenced by:  meaiininclem  45874
  Copyright terms: Public domain W3C validator