Theorem meadif 46480

Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
meadif.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
meadif.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
meadif.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
meadif	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadif.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		undif 4435	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
5	4	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
6		meadif.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ dom 𝑀 = dom 𝑀
8		meadif.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
9	6, 7	dmmeasal 46453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10		meadif.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑀)
11		saldifcl2 46329	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑀)
12	9, 10, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑀)
13		disjdif 4425	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅)
15		meadif.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15, 1, 8	meassre 46478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ)
17		difssd 4090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
18	6, 10, 15, 17, 12	meassre 46478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
19	6, 7, 8, 12, 14, 16, 18	meadjunre 46477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
20	5, 19	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴))
21	16	recnd 11162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℂ)
22	18	recnd 11162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
23	15	recnd 11162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	addrsub 11556	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝐵) + (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵))))
25	20, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031   − cmin 11366  SAlgcsalg 46309  Meascmea 46450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-xadd 13034  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-sum 15613  df-salg 46310  df-sumge0 46364  df-mea 46451

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46487