Theorem ctvonmbl 47461

Description: Any n-dimensional countable set is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ctvonmbl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ctvonmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
ctvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem ctvonmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5027	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ctvonmbl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	vonmea 47346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmmeasal 47224	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
6		ctvonmbl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
7	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
8		ctvonmbl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	sselda 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
10	7, 9	snvonmbl 47458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
11	5, 6, 10	saliuncl 47095	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
12	1, 11	eqeltrrid 2870	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ωcom 7868   ↑_m cmap 8830   ≼ cdom 8947  Fincfn 8949  ℝcr 11114  volncvoln 47310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-ac 10116  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-prod 15981  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-rhm 20600  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-field 20880  df-abv 20962  df-staf 20992  df-srng 20993  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lmhm 21193  df-lvec 21274  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-refld 21805  df-phl 21826  df-dsmm 21932  df-frlm 21947  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cmp 23594  df-xms 24528  df-ms 24529  df-nm 24790  df-ngp 24791  df-tng 24792  df-nrg 24793  df-nlm 24794  df-clm 25273  df-cph 25378  df-tcph 25379  df-rrx 25595  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-salg 47081  df-sumge0 47135  df-mea 47222  df-ome 47262  df-caragen 47264  df-ovoln 47309  df-voln 47311

This theorem is used by: (None)