Theorem ctvonmbl 45176

Description: Any n-dimensional countable set is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ctvonmbl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ctvonmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
ctvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem ctvonmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5056	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ctvonmbl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	vonmea 45061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmmeasal 44939	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
6		ctvonmbl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
7	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
8		ctvonmbl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	sselda 3978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
10	7, 9	snvonmbl 45173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
11	5, 6, 10	saliuncl 44810	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
12	1, 11	eqeltrrid 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3944  {csn 4622  ∪ ciun 4990   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ωcom 7838   ↑_m cmap 8803   ≼ cdom 8920  Fincfn 8922  ℝcr 11091  volncvoln 45025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-ac2 10440  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-acn 9919  df-ac 10093  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-prod 15832  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-drng 20267  df-field 20268  df-subrg 20310  df-abv 20374  df-staf 20402  df-srng 20403  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lmhm 20582  df-lvec 20663  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-cnfld 20879  df-refld 21091  df-phl 21112  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cmp 22820  df-xms 23755  df-ms 23756  df-nm 24020  df-ngp 24021  df-tng 24022  df-nrg 24023  df-nlm 24024  df-clm 24508  df-cph 24614  df-tcph 24615  df-rrx 24831  df-ovol 24910  df-vol 24911  df-salg 44796  df-sumge0 44850  df-mea 44937  df-ome 44977  df-caragen 44979  df-ovoln 45024  df-voln 45026

This theorem is referenced by: (None)