Theorem ctvonmbl 47431

Description: Any n-dimensional countable set is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ctvonmbl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ctvonmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
ctvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem ctvonmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5025	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ctvonmbl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	vonmea 47316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmmeasal 47194	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
6		ctvonmbl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
7	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
8		ctvonmbl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	sselda 3937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
10	7, 9	snvonmbl 47428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
11	5, 6, 10	saliuncl 47065	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
12	1, 11	eqeltrrid 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858   ↑_m cmap 8820   ≼ cdom 8937  Fincfn 8939  ℝcr 11103  volncvoln 47280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-ac2 10451  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10105  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-prod 15963  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-rhm 20559  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-drng 20838  df-field 20839  df-abv 20921  df-staf 20951  df-srng 20952  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lmhm 21152  df-lvec 21233  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-cnfld 21532  df-refld 21764  df-phl 21785  df-dsmm 21891  df-frlm 21906  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cmp 23553  df-xms 24486  df-ms 24487  df-nm 24748  df-ngp 24749  df-tng 24750  df-nrg 24751  df-nlm 24752  df-clm 25231  df-cph 25336  df-tcph 25337  df-rrx 25553  df-ovol 25632  df-vol 25633  df-salg 47051  df-sumge0 47105  df-mea 47192  df-ome 47232  df-caragen 47234  df-ovoln 47279  df-voln 47281

This theorem is used by: (None)