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Theorem meaiininclem 42630
Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiininclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiininclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiininclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiininclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
meaiininclem.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
meaiininclem.r (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiininclem.g 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
meaiininclem.f 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
Assertion
Ref Expression
meaiininclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiininclem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiininclem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
2 uzss 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
4 meaiininclem.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑁)
53, 4sseqtrrdi 4021 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
65adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
7 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝐾))
86, 7sseldd 3971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛𝑍)
9 meaiininclem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
11 meaiininclem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
12 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝑀 = dom 𝑀
1311, 12dmmeasal 42596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
151, 4syl6eleqr 2928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝑍)
16 meaiininclem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1716ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1815, 17mpdan 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
2016ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
21 saldifcl2 42473 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2214, 19, 20, 21syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2322elexd 3519 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ V)
2410, 23fvmpt2d 6776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
258, 24syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
2625fveq2d 6670 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
2711adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ Meas)
2818adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
29 meaiininclem.r . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
318, 20syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
32 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝜑)
3332, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
34 elfzouz 13035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3633, 35sseldd 3971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚𝑍)
37 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑍𝑚𝑍))
3837anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑚𝑍)))
39 fvoveq1 7174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑚 + 1)))
40 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
4139, 40sseq12d 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚)))
4238, 41imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛)) ↔ ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))))
43 meaiininclem.i . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
4442, 43chvarv 2410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4532, 36, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4645adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
477, 46ssdec 41215 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
4827, 28, 30, 31, 47meadif 42623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
4926, 48eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
5049oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5129recnd 10661 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5251adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5327, 28, 30, 47, 31meassre 42621 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
5453recnd 10661 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℂ)
5552, 54nncand 10994 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
5650, 55eqtr2d 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))))
5756mpteq2dva 5157 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))))
58 nfv 1908 . . . . 5 𝑛𝜑
59 eqid 2825 . . . . 5 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
601eluzelzd 41504 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
61 difssd 4112 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐸𝐾))
6224, 61eqsstrd 4008 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
638, 62syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
6422, 9fmptd 6873 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑍⟶dom 𝑀)
6564ffvelrnda 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
668, 65syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
6727, 28, 30, 63, 66meassre 42621 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℝ)
6867recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
69 meaiininclem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7043sscond 4121 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
7140difeq2d 4102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
7271cbvmptv 5165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
739, 72eqtri 2848 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
74 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐸𝑚) = (𝐸‘(𝑛 + 1)))
7574difeq2d 4102 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
764peano2uzs 12294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
78 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
7978difexi 5228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
8173, 75, 77, 80fvmptd3 6786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺‘(𝑛 + 1)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
8224, 81sseq12d 4003 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1)))))
8370, 82mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)))
8411adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
8584, 12, 65, 19, 62meassle 42607 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝐾)))
86 eqid 2825 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
8711, 69, 4, 64, 83, 29, 85, 86meaiuninc2 42626 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
88 eqid 2825 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
894, 86, 15, 88climresmpt 41801 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))))
9087, 89mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
91 meaiininclem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
9291eqcomi 2834 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝐹
9392fveq2i 6669 . . . . . . 7 (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹)
9493a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹))
9590, 94breqtrd 5088 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀𝐹))
9658, 59, 60, 51, 68, 95climsubc1mpt 41804 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
9757, 96eqbrtrd 5084 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
98 eqid 2825 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
99 eqid 2825 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
1004, 98, 15, 99climresmpt 41801 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
10197, 100mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
102 meaiininclem.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
103102a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
104 eqidd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
1054uzct 41186 . . . . . . . . . 10 𝑍 ≼ ω
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≼ ω)
10713, 106, 65saliuncl 42469 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
10891, 107eqeltrid 2921 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom 𝑀)
109 saldifcl2 42473 . . . . . . . 8 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀𝐹 ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
11013, 18, 108, 109syl3anc 1365 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
111 disjdif 4423 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅
112111a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅)
11362iunssd 4970 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
11491, 113eqsstrid 4018 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐸𝐾))
11511, 18, 29, 114, 108meassre 42621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℝ)
116 difssd 4112 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ (𝐸𝐾))
11711, 18, 29, 116, 110meassre 42621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ)
11811, 12, 108, 110, 112, 115, 117meadjunre 42620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
119 undif 4432 . . . . . . . 8 (𝐹 ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
120114, 119sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
121120fveq2d 6670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
122104, 118, 1213eqtr3d 2868 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
123115recnd 10661 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℂ)
124117recnd 10661 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℂ)
12551, 123, 124subaddd 11007 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ↔ ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾))))
126122, 125mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)))
127 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
128 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍)
129 eldifi 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
130129ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
131 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
132130, 131eldifd 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
133 rspe 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
134128, 132, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
135 eliun 4920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
136134, 135sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
137136adantlll 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
13891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))
13924iuneq2dv 4939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
140138, 139eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
141140eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
142141ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
143137, 142eleqtrd 2919 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥𝐹)
144 elndif 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
146127, 145condan 814 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
147146ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
148 vex 3502 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
149 eliin 4921 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)))
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
151147, 150sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
152151ssd 41205 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
153 ssid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)
154153a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾))
155 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
156155sseq1d 4001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)))
157156rspcev 3626 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑍 ∧ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)) → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
15815, 154, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
159 iinss 4976 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
160158, 159syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
161160adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
162 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
163161, 162sseldd 3971 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
164 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑥
165 nfii1 4950 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
166164, 165nfel 2996 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
167 iinss2 4977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
168167adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
169 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
170168, 169sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
171 elndif 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
173172ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → (𝑛𝑍 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
174166, 173ralrimi 3220 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
175 ralnex 3240 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
176174, 175sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
177176, 135sylnibr 330 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
178177adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
179140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
180178, 179neleqtrrd 2939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥𝐹)
181163, 180eldifd 3950 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
182152, 181eqelssd 3991 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
183182fveq2d 6670 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
184126, 183eqtr2d 2861 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
185103, 184breq12d 5075 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
186101, 185mpbird 258 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294   ciun 4916   ciin 4917   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  cdom 8499  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235  ..^cfzo 13026  cli 14834  SAlgcsalg 42455  Meascmea 42593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-salg 42456  df-sumge0 42507  df-mea 42594
This theorem is referenced by:  meaiininc  42631
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