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Theorem meaiuninclem 43106
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of increasing measurable sets (with uniformly bounded measure) then the measure of the union is the union of the measure. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninclem.b (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiuninclem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛,𝑥   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝑀,𝑛,𝑥   𝑖,𝑁,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥   𝑖,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem meaiuninclem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninclem.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
2 meaiuninclem.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 0xr 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10688 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
7 meaiuninclem.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
9 eqid 2801 . . . . . . 7 dom 𝑀 = dom 𝑀
10 meaiuninclem.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1110ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
128, 9, 11meaxrcl 43087 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
138, 11meage0 43101 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
14 meaiuninclem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
16 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝜑𝑛𝑍))
17 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
1916simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑛𝑍)
20 rspa 3174 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2118, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
22123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
23 rexr 10680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
255a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
26 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 ltpnf 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
28273ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
2922, 24, 25, 26, 28xrlelttrd 12545 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
3016, 17, 21, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
31303exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)))
3231rexlimdv 3245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞))
3315, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
344, 6, 12, 13, 33elicod 12779 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
35 meaiuninclem.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3634, 35fmptd 6859 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶(0[,)+∞))
37 rge0ssre 12838 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
3936, 38fssd 6506 . . 3 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ)
401peano2uzs 12294 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
4140adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
4210ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑀)
4341, 42syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑀)
44 meaiuninclem.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
458, 9, 11, 43, 44meassle 43089 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
4635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
47 fvexd 6664 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
4846, 47fvmpt2d 6762 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
49 2fveq3 6654 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
5049cbvmptv 5136 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
5135, 50eqtri 2824 . . . . . 6 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
52 2fveq3 6654 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀‘(𝐸𝑚)) = (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
53 fvexd 6664 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
5451, 52, 41, 53fvmptd3 6772 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆‘(𝑛 + 1)) = (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
5548, 54breq12d 5046 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑆𝑛) ≤ (𝑆‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1)))))
5645, 55mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ≤ (𝑆‘(𝑛 + 1)))
5748eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑆𝑛))
5857breq1d 5043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
5958ralbidva 3164 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6059biimpd 232 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6160adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6261reximdva 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6314, 62mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥)
641, 2, 39, 56, 63climsup 15021 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
65 nfv 1915 . . . . . 6 𝑛𝜑
66 nfv 1915 . . . . . 6 𝑥𝜑
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
68 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝑛) ∈ V
6968difexi 5199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
71 meaiuninclem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7271fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7367, 70, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7473adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
757, 9dmmeasal 43078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
7675adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
77 fzoct 42005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁..^𝑛) ≼ ω
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
7910adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
80 fzossuz 42001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁..^𝑛) ⊆ (ℤ𝑁)
811eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑁) = 𝑍
8280, 81sseqtri 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁..^𝑛) ⊆ 𝑍
8382sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖𝑍)
8483adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑍)
8579, 84ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
8685adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
8776, 78, 86saliuncl 42951 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
88 saldifcl2 42955 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ dom 𝑀)
8976, 11, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ dom 𝑀)
9074, 89eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀)
918, 9, 90meaxrcl 43087 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
928, 90meage0 43101 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐹𝑛)))
93 difssd 4063 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
9474, 93eqsstrd 3956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
958, 9, 90, 11, 94meassle 43089 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9691, 12, 6, 95, 33xrlelttrd 12545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) < +∞)
974, 6, 91, 92, 96elicod 12779 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
98 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑖)))
9998breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥))
10099cbvralvw 3399 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
101100biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
102101adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
103 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑍𝑖𝑍))
104103anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
105 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑖))
106105sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
10798, 106eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)) ↔ (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚))))
108104, 107imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))))
109 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑍𝑛𝑍))
110109anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑛𝑍)))
111 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁...𝑚) = (𝑁...𝑛))
112111iuneq1d 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
113111iuneq1d 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))
114112, 113eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → ( 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖) ↔ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖)))
115110, 114imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖)) ↔ ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))))
116 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑛 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑛))
117116cbviunv 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
11965, 1, 10, 71iundjiun 43086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
120119simplld 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
121120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
122 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
123 rspa 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
124121, 122, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
125 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
126125cbviunv 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖)
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖))
128118, 124, 1273eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖))
129115, 128chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))
13067, 1eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
131130adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
132 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
133125, 132sseq12d 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1))))
134104, 133imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))))
135134, 44chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
13684, 135syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
137136adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
138131, 137iunincfi 41717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
139129, 138eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
140139fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)))
141 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖(𝜑𝑛𝑍)
142 elfzuz 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
143142, 81eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑖𝑍)
144143adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑖𝑍)
145 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
146145eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀 ↔ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀))
147104, 146imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)))
148147, 90chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
149144, 148syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
150149adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
151 fzct 41999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁...𝑛) ≼ ω
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁...𝑛) ≼ ω)
153144ssd 41703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁...𝑛) ⊆ 𝑍)
154119simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
155145cbvdisjv 5009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖))
156154, 155sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖))
157 disjss1 5004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁...𝑛) ⊆ 𝑍 → (Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖) → Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)))
158153, 156, 157sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
159158adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
160141, 8, 9, 150, 152, 159meadjiun 43092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)) = (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))))
161 fzfid 13340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁...𝑛) ∈ Fin)
162 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐹𝑛)) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
163162eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞)))
164104, 163imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))))
165164, 97chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
166144, 165syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
167166adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
168161, 167sge0fsummpt 43016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))) = Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)))
169 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐹𝑖)) = (𝑀‘(𝐹𝑚)))
170169cbvsumv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚))
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
172168, 171eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
173140, 160, 1723eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
174108, 173chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
175 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐹𝑚)) = (𝑀‘(𝐹𝑛)))
176175cbvsumv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)))
178174, 177eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)))
179178breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
180179ralbidva 3164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
181180biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
182181imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
183102, 182syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
184183ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
185184reximdv 3235 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
18614, 185mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
18765, 66, 2, 1, 97, 186sge0reuzb 43074 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = sup(ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))), ℝ, < ))
18898cbvmptv 5136 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
18935, 188eqtri 2824 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
190189a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖))))
191178mpteq2dva 5128 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖))) = (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
192190, 191eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
193192rneqd 5776 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑆 = ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
194193supeq1d 8898 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = sup(ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))), ℝ, < ))
195187, 194eqtr4d 2839 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
196195eqcomd 2807 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
1971uzct 41684 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
198197a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
19965, 7, 9, 90, 198, 154meadjiun 43092 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
200199eqcomd 2807 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
201119simplrd 769 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
202201fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
203196, 200, 2023eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
20464, 203breqtrd 5059 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884   ciun 4884  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564  cdom 8494  supcsup 8892  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cz 11973  cuz 12235  [,)cico 12732  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  cli 14836  Σcsu 15037  SAlgcsalg 42937  Σ^csumge0 42988  Meascmea 43075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-salg 42938  df-sumge0 42989  df-mea 43076
This theorem is referenced by:  meaiuninc  43107
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