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Theorem meaiuninclem 46495
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of increasing measurable sets (with uniformly bounded measure) then the measure of the union is the union of the measure. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninclem.b (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiuninclem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛,𝑥   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝑀,𝑛,𝑥   𝑖,𝑁,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥   𝑖,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem meaiuninclem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninclem.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
2 meaiuninclem.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 0xr 11308 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11315 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
7 meaiuninclem.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
9 eqid 2737 . . . . . . 7 dom 𝑀 = dom 𝑀
10 meaiuninclem.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1110ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
128, 9, 11meaxrcl 46476 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
138, 11meage0 46490 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
14 meaiuninclem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
16 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝜑𝑛𝑍))
17 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
1916simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑛𝑍)
20 rspa 3248 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
22123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
23 rexr 11307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
255a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
26 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
28273ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
2922, 24, 25, 26, 28xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
3016, 17, 21, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
31303exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)))
3231rexlimdv 3153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞))
3315, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
344, 6, 12, 13, 33elicod 13437 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
35 meaiuninclem.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3634, 35fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶(0[,)+∞))
37 rge0ssre 13496 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
3936, 38fssd 6753 . . 3 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ)
401peano2uzs 12944 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
4140adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
4210ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑀)
4341, 42syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑀)
44 meaiuninclem.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
458, 9, 11, 43, 44meassle 46478 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
4635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
47 fvexd 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
4846, 47fvmpt2d 7029 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
49 2fveq3 6911 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
5049cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
5135, 50eqtri 2765 . . . . . 6 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
52 2fveq3 6911 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀‘(𝐸𝑚)) = (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
53 fvexd 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
5451, 52, 41, 53fvmptd3 7039 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆‘(𝑛 + 1)) = (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
5548, 54breq12d 5156 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑆𝑛) ≤ (𝑆‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1)))))
5645, 55mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ≤ (𝑆‘(𝑛 + 1)))
5748eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑆𝑛))
5857breq1d 5153 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
5958ralbidva 3176 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6059biimpd 229 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6160adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6261reximdva 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6314, 62mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥)
641, 2, 39, 56, 63climsup 15706 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
65 nfv 1914 . . . . . 6 𝑛𝜑
66 nfv 1914 . . . . . 6 𝑥𝜑
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
68 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝑛) ∈ V
6968difexi 5330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
71 meaiuninclem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7271fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7367, 70, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
757, 9dmmeasal 46467 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
7675adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
77 fzoct 45395 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁..^𝑛) ≼ ω
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
7910adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
80 fzossuz 45392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁..^𝑛) ⊆ (ℤ𝑁)
811eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑁) = 𝑍
8280, 81sseqtri 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁..^𝑛) ⊆ 𝑍
8382sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖𝑍)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑍)
8579, 84ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
8685adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
8776, 78, 86saliuncl 46338 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
88 saldifcl2 46343 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ dom 𝑀)
8976, 11, 87, 88syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ dom 𝑀)
9074, 89eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀)
918, 9, 90meaxrcl 46476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
928, 90meage0 46490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐹𝑛)))
93 difssd 4137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
9474, 93eqsstrd 4018 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
958, 9, 90, 11, 94meassle 46478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9691, 12, 6, 95, 33xrlelttrd 13202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) < +∞)
974, 6, 91, 92, 96elicod 13437 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
98 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑖)))
9998breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥))
10099cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
101100biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
102101adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
103 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑍𝑖𝑍))
104103anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
105 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑖))
106105sumeq1d 15736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
10798, 106eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)) ↔ (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚))))
108104, 107imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))))
109 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑍𝑛𝑍))
110109anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑛𝑍)))
111 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁...𝑚) = (𝑁...𝑛))
112111iuneq1d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
113111iuneq1d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))
114112, 113eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → ( 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖) ↔ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖)))
115110, 114imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖)) ↔ ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))))
116 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑛 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑛))
117116cbviunv 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
11965, 1, 10, 71iundjiun 46475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
120119simplld 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
122 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
123 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
124121, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
125 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
126125cbviunv 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖)
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖))
128118, 124, 1273eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖))
129115, 128chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))
13067, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
132 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
133125, 132sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1))))
134104, 133imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))))
135134, 44chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
13684, 135syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
137136adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
138131, 137iunincfi 45099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
139129, 138eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
140139fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)))
141 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖(𝜑𝑛𝑍)
142 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
143142, 81eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑖𝑍)
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑖𝑍)
145 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
146145eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀 ↔ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀))
147104, 146imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)))
148147, 90chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
149144, 148syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
150149adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
151 fzct 45390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁...𝑛) ≼ ω
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁...𝑛) ≼ ω)
153144ssd 45085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁...𝑛) ⊆ 𝑍)
154119simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
155145cbvdisjv 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖))
156154, 155sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖))
157 disjss1 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁...𝑛) ⊆ 𝑍 → (Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖) → Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)))
158153, 156, 157sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
160141, 8, 9, 150, 152, 159meadjiun 46481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)) = (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))))
161 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁...𝑛) ∈ Fin)
162 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐹𝑛)) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
163162eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞)))
164104, 163imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))))
165164, 97chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
166144, 165syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
167166adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
168161, 167sge0fsummpt 46405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))) = Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)))
169 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐹𝑖)) = (𝑀‘(𝐹𝑚)))
170169cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚))
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
172168, 171eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
173140, 160, 1723eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
174108, 173chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
175 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐹𝑚)) = (𝑀‘(𝐹𝑛)))
176175cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)))
178174, 177eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)))
179178breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
180179ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
181180biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
182181imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
183102, 182syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
184183ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
185184reximdv 3170 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
18614, 185mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
18765, 66, 2, 1, 97, 186sge0reuzb 46463 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = sup(ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))), ℝ, < ))
18898cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
18935, 188eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
190189a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖))))
191178mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖))) = (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
192190, 191eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
193192rneqd 5949 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑆 = ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
194193supeq1d 9486 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = sup(ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))), ℝ, < ))
195187, 194eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
196195eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
1971uzct 45068 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
198197a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
19965, 7, 9, 90, 198, 154meadjiun 46481 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
200199eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
201119simplrd 770 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
202201fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
203196, 200, 2023eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
20464, 203breqtrd 5169 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  [,)cico 13389  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cli 15520  Σcsu 15722  SAlgcsalg 46323  Σ^csumge0 46377  Meascmea 46464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465
This theorem is referenced by:  meaiuninc  46496
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