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Theorem meaiuninclem 43106
 Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of increasing measurable sets (with uniformly bounded measure) then the measure of the union is the union of the measure. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninclem.b (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiuninclem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛,𝑥   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝑀,𝑛,𝑥   𝑖,𝑁,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥   𝑖,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem meaiuninclem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninclem.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
2 meaiuninclem.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 0xr 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10688 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
7 meaiuninclem.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
9 eqid 2801 . . . . . . 7 dom 𝑀 = dom 𝑀
10 meaiuninclem.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1110ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
128, 9, 11meaxrcl 43087 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
138, 11meage0 43101 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
14 meaiuninclem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
16 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝜑𝑛𝑍))
17 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
1916simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑛𝑍)
20 rspa 3174 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2118, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
22123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
23 rexr 10680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
255a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
26 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 ltpnf 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
28273ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
2922, 24, 25, 26, 28xrlelttrd 12545 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
3016, 17, 21, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
31303exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)))
3231rexlimdv 3245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞))
3315, 32mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) < +∞)
344, 6, 12, 13, 33elicod 12779 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
35 meaiuninclem.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3634, 35fmptd 6859 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶(0[,)+∞))
37 rge0ssre 12838 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
3936, 38fssd 6506 . . 3 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ)
401peano2uzs 12294 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
4140adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
4210ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑀)
4341, 42syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑀)
44 meaiuninclem.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
458, 9, 11, 43, 44meassle 43089 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
4635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
47 fvexd 6664 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
4846, 47fvmpt2d 6762 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
49 2fveq3 6654 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
5049cbvmptv 5136 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
5135, 50eqtri 2824 . . . . . 6 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
52 2fveq3 6654 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀‘(𝐸𝑚)) = (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
53 fvexd 6664 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
5451, 52, 41, 53fvmptd3 6772 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆‘(𝑛 + 1)) = (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1))))
5548, 54breq12d 5046 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑆𝑛) ≤ (𝑆‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸‘(𝑛 + 1)))))
5645, 55mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ≤ (𝑆‘(𝑛 + 1)))
5748eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑆𝑛))
5857breq1d 5043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
5958ralbidva 3164 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6059biimpd 232 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6160adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6261reximdva 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥))
6314, 62mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑆𝑛) ≤ 𝑥)
641, 2, 39, 56, 63climsup 15021 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
65 nfv 1915 . . . . . 6 𝑛𝜑
66 nfv 1915 . . . . . 6 𝑥𝜑
67 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
68 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝑛) ∈ V
6968difexi 5199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
71 meaiuninclem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7271fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7367, 70, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7473adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
757, 9dmmeasal 43078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
7675adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
77 fzoct 42005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁..^𝑛) ≼ ω
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
7910adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
80 fzossuz 42001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁..^𝑛) ⊆ (ℤ𝑁)
811eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑁) = 𝑍
8280, 81sseqtri 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁..^𝑛) ⊆ 𝑍
8382sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖𝑍)
8483adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑍)
8579, 84ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
8685adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
8776, 78, 86saliuncl 42951 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀)
88 saldifcl2 42955 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ dom 𝑀)
8976, 11, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ dom 𝑀)
9074, 89eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀)
918, 9, 90meaxrcl 43087 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
928, 90meage0 43101 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐹𝑛)))
93 difssd 4063 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
9474, 93eqsstrd 3956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
958, 9, 90, 11, 94meassle 43089 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9691, 12, 6, 95, 33xrlelttrd 12545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) < +∞)
974, 6, 91, 92, 96elicod 12779 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
98 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑖)))
9998breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥))
10099cbvralvw 3399 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
101100biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
102101adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥)
103 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑍𝑖𝑍))
104103anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
105 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑖))
106105sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
10798, 106eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)) ↔ (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚))))
108104, 107imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))))
109 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑍𝑛𝑍))
110109anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑛𝑍)))
111 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁...𝑚) = (𝑁...𝑛))
112111iuneq1d 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
113111iuneq1d 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))
114112, 113eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → ( 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖) ↔ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖)))
115110, 114imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖)) ↔ ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))))
116 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑛 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑛))
117116cbviunv 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
11965, 1, 10, 71iundjiun 43086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
120119simplld 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
121120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
122 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
123 rspa 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
124121, 122, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
125 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
126125cbviunv 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖)
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖))
128118, 124, 1273eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑖))
129115, 128chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖))
13067, 1eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
131130adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
132 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
133125, 132sseq12d 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1))))
134104, 133imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))))
135134, 44chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
13684, 135syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
137136adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ⊆ (𝐸‘(𝑖 + 1)))
138131, 137iunincfi 41717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
139129, 138eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
140139fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)))
141 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖(𝜑𝑛𝑍)
142 elfzuz 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
143142, 81eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑖𝑍)
144143adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑖𝑍)
145 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
146145eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀 ↔ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀))
147104, 146imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ dom 𝑀) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)))
148147, 90chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
149144, 148syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
150149adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝑀)
151 fzct 41999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁...𝑛) ≼ ω
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁...𝑛) ≼ ω)
153144ssd 41703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁...𝑛) ⊆ 𝑍)
154119simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
155145cbvdisjv 5009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖))
156154, 155sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖))
157 disjss1 5004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁...𝑛) ⊆ 𝑍 → (Disj 𝑖𝑍 (𝐹𝑖) → Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)))
158153, 156, 157sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
159158adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → Disj 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖))
160141, 8, 9, 150, 152, 159meadjiun 43092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝐹𝑖)) = (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))))
161 fzfid 13340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑁...𝑛) ∈ Fin)
162 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐹𝑛)) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
163162eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞)))
164104, 163imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))))
165164, 97chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
166144, 165syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
167166adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝑀‘(𝐹𝑖)) ∈ (0[,)+∞))
168161, 167sge0fsummpt 43016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))) = Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)))
169 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐹𝑖)) = (𝑀‘(𝐹𝑚)))
170169cbvsumv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚))
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑖 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
172168, 171eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (Σ^‘(𝑖 ∈ (𝑁...𝑛) ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖)))) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
173140, 160, 1723eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑛)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
174108, 173chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)))
175 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐹𝑚)) = (𝑀‘(𝐹𝑛)))
176175cbvsumv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)))
178174, 177eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)))
179178breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
180179ralbidva 3164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
181180biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
182181imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑖)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
183102, 182syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
184183ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
185184reximdv 3235 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥))
18614, 185mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ 𝑥)
18765, 66, 2, 1, 97, 186sge0reuzb 43074 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = sup(ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))), ℝ, < ))
18898cbvmptv 5136 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
18935, 188eqtri 2824 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
190189a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖))))
191178mpteq2dva 5128 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖))) = (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
192190, 191eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
193192rneqd 5776 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑆 = ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))))
194193supeq1d 8898 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = sup(ran (𝑖𝑍 ↦ Σ𝑛 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘(𝐹𝑛))), ℝ, < ))
195187, 194eqtr4d 2839 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
196195eqcomd 2807 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
1971uzct 41684 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
198197a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
19965, 7, 9, 90, 198, 154meadjiun 43092 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
200199eqcomd 2807 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
201119simplrd 769 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
202201fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
203196, 200, 2023eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ, < ) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
20464, 203breqtrd 5059 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ∪ ciun 4884  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564   ≼ cdom 8494  supcsup 8892  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  [,)cico 12732  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032   ⇝ cli 14836  Σcsu 15037  SAlgcsalg 42937  Σ^csumge0 42988  Meascmea 43075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-salg 42938  df-sumge0 42989  df-mea 43076 This theorem is referenced by:  meaiuninc  43107
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