Theorem elab2 3639

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
elab2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
elab2.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
elab2.3	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
elab2	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elab2.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elab2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		elab2.3	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}
4	2, 3	elab2g 3637	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839

This theorem is used by:  elint  4916  opabidw  5502  opabid  5503  oprabidw  7474  oprabid  7475  soseq  8203  tfrlem3a  8412  fsetfcdm  8910  cardprclem  10087  iunfictbso  10220  aceq3lem  10226  dfac5lem4  10232  kmlem9  10264  domtriomlem  10547  ltexprlem3  11150  ltexprlem4  11151  reclem2pr  11160  reclem3pr  11161  supsrlem  11223  supaddc  12311  supadd  12312  supmul1  12313  supmullem1  12314  supmullem2  12315  supmul  12316  01sqrexlem6  15443  infcvgaux2i  16056  mertenslem1  16082  mertenslem2  16083  4sqlem12  17163  conjnmzb  19496  sylow3lem2  19872  mdetunilem9  22965  txuni2  23914  xkoopn  23938  met2ndci  24871  2sqlem8  27783  2sqlem11  27786  madef  28252  eulerpartlemt  35073  eulerpartlemr  35076  eulerpartlemn  35083  acwer1prclem  35851  onprcf1acwevdlem1  36045  subfacp1lem3  36114  subfacp1lem5  36116  dfttc4lem1  37494  dfttc4lem2  37495  rdgssun  38493  finxpsuclem  38512  heiborlem1  38937  heiborlem6  38942  heiborlem8  38944  cllem0  44759  brpermmodel  46188  fsetsnf  48326  fsetsnfo  48328  cfsetsnfsetf  48333  cfsetsnfsetf1  48334  cfsetsnfsetfo  48335