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Theorem sylow3lem2 19410
Description: Lemma for sylow3 19415, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup 𝐾 in the group action acting on all of 𝐺 is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2 (𝜑𝐻 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.h . 2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
2 sylow3lem2.n . . . . 5 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
32ssrab3 4040 . . . 4 𝑁𝑋
4 sseqin2 4175 . . . 4 (𝑁𝑋 ↔ (𝑋𝑁) = 𝑁)
53, 4mpbi 229 . . 3 (𝑋𝑁) = 𝑁
6 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 mptexg 7171 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
10 rnexg 7841 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
13 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
1413oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
1514, 13oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
1612, 15mpteq12dv 5196 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
1716rneqd 5893 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
1917, 18ovmpoga 7509 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
206, 8, 11, 19syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
2120adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ 𝑢𝑁) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
22 slwsubg 19392 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
25 sylow3.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
28 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
2925, 26, 27, 28, 2conjnmz 19042 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑢𝑁) → 𝐾 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3024, 29sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ 𝑢𝑁) → 𝐾 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3121, 30eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ 𝑢𝑁) → (𝑢 𝐾) = 𝐾)
32 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) → 𝑢𝑋)
33 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → (𝑢 𝐾) = 𝐾)
3420adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3533, 34eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → 𝐾 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3635eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
37 ovex 7390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 + 𝑤) ∈ V
38 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) → (𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) ↔ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3938rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) → (∃𝑧𝐾 𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) ↔ ∃𝑧𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
4028rnmpt 5910 . . . . . . . . . . . 12 ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝐾 𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)}
4137, 39, 40elab2 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ↔ ∃𝑧𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
42 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4443ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝐺 ∈ Grp)
45 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑢𝑋)
4625subgss 18929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾𝑋)
4847ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝐾𝑋)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑧𝐾)
5048, 49sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑧𝑋)
5125, 26, 27grpaddsubass 18837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑧𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) = (𝑢 + (𝑧 𝑢)))
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) = (𝑢 + (𝑧 𝑢)))
5342, 52eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑢 + (𝑧 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤))
5425, 27grpsubcl 18827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑢𝑋) → (𝑧 𝑢) ∈ 𝑋)
5544, 50, 45, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑧 𝑢) ∈ 𝑋)
56 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑤𝑋)
5725, 26grplcan 18809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑧 𝑢) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑢 + (𝑧 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑧 𝑢) = 𝑤))
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → ((𝑢 + (𝑧 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑧 𝑢) = 𝑤))
5953, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑧 𝑢) = 𝑤)
6025, 26, 27grpsubadd 18835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋𝑢𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑧 𝑢) = 𝑤 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑧))
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → ((𝑧 𝑢) = 𝑤 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑧))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) = 𝑧)
6362, 49eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)
6463rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → (∃𝑧𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
6541, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)
67 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑤 + 𝑢) → (𝑢 + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
6867oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 + 𝑢) → ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
69 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢) ∈ V
7068, 28, 69fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾 → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
7166, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
7243ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Grp)
73 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝑢𝑋)
74 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝑤𝑋)
7525, 26grpass 18757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
7672, 73, 74, 73, 75syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) 𝑢) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
7825, 26grpcl 18756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑤𝑋) → (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋)
7972, 73, 74, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋)
8025, 26, 27grppncan 18838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋𝑢𝑋) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) 𝑢) = (𝑢 + 𝑤))
8172, 79, 73, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) 𝑢) = (𝑢 + 𝑤))
8271, 77, 813eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤))
83 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) ∈ V
8483, 28fnmpti 6644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) Fn 𝐾
85 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) Fn 𝐾 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
8684, 66, 85sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
8782, 86eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
8887ex 413 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾 → (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
8965, 88impbid 211 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
9036, 89bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
9190anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
9291ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) → ∀𝑤𝑋 ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
932elnmz 18965 . . . . . 6 (𝑢𝑁 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)))
9432, 92, 93sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) → 𝑢𝑁)
9531, 94impbida 799 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑋) → (𝑢𝑁 ↔ (𝑢 𝐾) = 𝐾))
9695rabbi2dva 4177 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑁) = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾})
975, 96eqtr3id 2790 . 2 (𝜑𝑁 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾})
981, 97eqtr4id 2795 1 (𝜑𝐻 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  cprime 16547  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  SubGrpcsubg 18922   pSyl cslw 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-slw 19313
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19411
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