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Theorem sylow3lem2 19496
Description: Lemma for sylow3 19501, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup 𝐾 in the group action acting on all of 𝐺 is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2 (𝜑𝐻 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.h . 2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
2 sylow3lem2.n . . . . 5 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
32ssrab3 4081 . . . 4 𝑁𝑋
4 sseqin2 4216 . . . 4 (𝑁𝑋 ↔ (𝑋𝑁) = 𝑁)
53, 4mpbi 229 . . 3 (𝑋𝑁) = 𝑁
6 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
87adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 mptexg 7223 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
10 rnexg 7895 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
13 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
1514, 13oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
1612, 15mpteq12dv 5240 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
1716rneqd 5938 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
1917, 18ovmpoga 7562 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
206, 8, 11, 19syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
2120adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ 𝑢𝑁) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
22 slwsubg 19478 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
25 sylow3.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
2925, 26, 27, 28, 2conjnmz 19126 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑢𝑁) → 𝐾 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3024, 29sylan 581 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ 𝑢𝑁) → 𝐾 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3121, 30eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ 𝑢𝑁) → (𝑢 𝐾) = 𝐾)
32 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) → 𝑢𝑋)
33 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → (𝑢 𝐾) = 𝐾)
3420adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3533, 34eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → 𝐾 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3635eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
37 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 + 𝑤) ∈ V
38 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) → (𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) ↔ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
3938rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) → (∃𝑧𝐾 𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) ↔ ∃𝑧𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
4028rnmpt 5955 . . . . . . . . . . . 12 ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝐾 𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)}
4137, 39, 40elab2 3673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ↔ ∃𝑧𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
42 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝐺 ∈ Grp)
45 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑢𝑋)
4625subgss 19007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
4723, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾𝑋)
4847ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝐾𝑋)
49 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑧𝐾)
5048, 49sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑧𝑋)
5125, 26, 27grpaddsubass 18913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑧𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) = (𝑢 + (𝑧 𝑢)))
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) = (𝑢 + (𝑧 𝑢)))
5342, 52eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑢 + (𝑧 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤))
5425, 27grpsubcl 18903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑢𝑋) → (𝑧 𝑢) ∈ 𝑋)
5544, 50, 45, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑧 𝑢) ∈ 𝑋)
56 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → 𝑤𝑋)
5725, 26grplcan 18885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑧 𝑢) ∈ 𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑢 + (𝑧 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑧 𝑢) = 𝑤))
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → ((𝑢 + (𝑧 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑧 𝑢) = 𝑤))
5953, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑧 𝑢) = 𝑤)
6025, 26, 27grpsubadd 18911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋𝑢𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑧 𝑢) = 𝑤 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑧))
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → ((𝑧 𝑢) = 𝑤 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑧))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) = 𝑧)
6362, 49eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑧𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)
6463rexlimdvaa 3157 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → (∃𝑧𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
6541, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)
67 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑤 + 𝑢) → (𝑢 + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
6867oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 + 𝑢) → ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
69 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢) ∈ V
7068, 28, 69fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾 → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
7166, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
7243ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Grp)
73 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝑢𝑋)
74 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝑤𝑋)
7525, 26grpass 18828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
7672, 73, 74, 73, 75syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
7776oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) 𝑢) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) 𝑢))
7825, 26grpcl 18827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑤𝑋) → (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋)
7972, 73, 74, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋)
8025, 26, 27grppncan 18914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋𝑢𝑋) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) 𝑢) = (𝑢 + 𝑤))
8172, 79, 73, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) 𝑢) = (𝑢 + 𝑤))
8271, 77, 813eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤))
83 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 + 𝑧) 𝑢) ∈ V
8483, 28fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) Fn 𝐾
85 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) Fn 𝐾 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
8684, 66, 85sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
8782, 86eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
8887ex 414 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾 → (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
8965, 88impbid 211 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
9036, 89bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ ((𝑢 𝐾) = 𝐾𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
9190anassrs 469 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
9291ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) → ∀𝑤𝑋 ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
932elnmz 19043 . . . . . 6 (𝑢𝑁 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)))
9432, 92, 93sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑋) ∧ (𝑢 𝐾) = 𝐾) → 𝑢𝑁)
9531, 94impbida 800 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑋) → (𝑢𝑁 ↔ (𝑢 𝐾) = 𝐾))
9695rabbi2dva 4218 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑁) = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾})
975, 96eqtr3id 2787 . 2 (𝜑𝑁 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾})
981, 97eqtr4id 2792 1 (𝜑𝐻 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3948  wss 3949  cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  Fincfn 8939  cprime 16608  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000   pSyl cslw 19395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-slw 19399
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19497
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