MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul 12135
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup๐ด) ยท (sup๐ต) = sup(๐ด ยท ๐ต), where ๐ด ยท ๐ต is shorthand for {๐‘Ž ยท ๐‘ โˆฃ ๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ต} and is defined as ๐ถ below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 10928). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
supmul.2 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
supmul (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ฃ)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
21simp2bi 1147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
3 suprcl 12123 . . . . . 6 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
51simp3bi 1148 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
6 suprcl 12123 . . . . . 6 ((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
75, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
8 recn 11149 . . . . . 6 (sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„‚)
9 recn 11149 . . . . . 6 (sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„‚)
10 mulcom 11145 . . . . . 6 ((sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„‚ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )))
118, 9, 10syl2an 597 . . . . 5 ((sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )))
124, 7, 11syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )))
135simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
14 n0 4310 . . . . . . 7 (๐ต โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1513, 14sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
16 0red 11166 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
175simp1d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
1817sselda 3948 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
197adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
20 simp1r 1199 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
211, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
22 breq2 5113 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
2322rspccv 3580 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
2524imp 408 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
26 suprub 12124 . . . . . . . 8 (((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
275, 26sylan 581 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
2816, 18, 19, 25, 27letrd 11320 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
2915, 28exlimddv 1939 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
30 simp1l 1198 . . . . . 6 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
311, 30sylbi 216 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
32 eqid 2733 . . . . . 6 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}
33 biid 261 . . . . . 6 (((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” ((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
3432, 33supmul1 12132 . . . . 5 (((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ))
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ))
3612, 35eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ))
37 vex 3451 . . . . . . 7 ๐‘ค โˆˆ V
38 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†” ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)))
3938rexbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)))
4037, 39elab 3634 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
417adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
422simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
4342sselda 3948 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
44 recn 11149 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
45 mulcom 11145 . . . . . . . . . . 11 ((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )))
469, 44, 45syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )))
4741, 43, 46syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )))
48 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘Ž))
4948rspccv 3580 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
5150imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
5221adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
535adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
55 biid 261 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
5654, 55supmul1 12132 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ))
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ))
58 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
5958rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6037, 59elab 3634 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
61 rspe 3231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
62 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘))
6362eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6463rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6564cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
66582rexbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6765, 66bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
6937, 67, 68elab2 3638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
7061, 69sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ถ)
7170ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ถ))
7268, 1supmullem2 12134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ))
73 suprub 12124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
7473ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7671, 75sylan9r 510 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7760, 76biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7877ralrimiv 3139 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
7943adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
8018adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8179, 80remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
82 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
8483rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
8584abssdv 4029 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โŠ† โ„)
86 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ V
8786isseti 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)
8887rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)
89 r19.2z 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9013, 88, 89sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
91 rexcom4 3270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9290, 91sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9359cbvexvw 2041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
95 abn0 4344 . . . . . . . . . . . . . 14 ({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9694, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ…)
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ…)
98 suprcl 12123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
101 brralrspcev 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
102100, 78, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
103 suprleub 12129 . . . . . . . . . . . 12 ((({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โŠ† โ„ โˆง {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
10485, 97, 102, 100, 103syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
10578, 104mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
10657, 105eqbrtrd 5131 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
10747, 106eqbrtrd 5131 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
108 breq1 5112 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ (๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
109107, 108syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
110109rexlimdva 3149 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
11140, 110biimtrid 241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
112111ralrimiv 3139 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
11341, 43remulcld 11193 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
114 eleq1a 2829 . . . . . . . 8 ((sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
115113, 114syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
116115rexlimdva 3149 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
117116abssdv 4029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โŠ† โ„)
1182simp2d 1144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
119 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โˆˆ V
120119isseti 3462 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)
121120rgenw 3065 . . . . . . . 8 โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)
122 r19.2z 4456 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
123118, 121, 122sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
124 rexcom4 3270 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
125123, 124sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
126 abn0 4344 . . . . . 6 ({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
127125, 126sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ‰  โˆ…)
128 brralrspcev 5169 . . . . . 6 ((sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
12999, 112, 128syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
130 suprleub 12129 . . . . 5 ((({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โŠ† โ„ โˆง {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
131117, 127, 129, 99, 130syl31anc 1374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
132112, 131mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
13336, 132eqbrtrd 5131 . 2 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
13468, 1supmullem1 12133 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
1354, 7remulcld 11193 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„)
136 suprleub 12129 . . . 4 (((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
13772, 135, 136syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
138134, 137mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
139135, 99letri3d 11305 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” ((sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))))
140133, 138, 139mpbir2and 712 1 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  supcsup 9384  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  01sqrexlem5  15140
  Copyright terms: Public domain W3C validator