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Theorem supmul 11251
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏𝑎𝐴, 𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 10061). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
21simp2bi 1176 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
3 suprcl 11239 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
51simp3bi 1177 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
6 suprcl 11239 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8 recn 10281 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9 recn 10281 . . . . . 6 (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10 mulcom 10277 . . . . . 6 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
118, 9, 10syl2an 589 . . . . 5 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
124, 7, 11syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
135simp2d 1173 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
14 n0 4097 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
1513, 14sylib 209 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑏 𝑏𝐵)
16 0red 10299 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
175simp1d 1172 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1817sselda 3763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
197adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20 simp1r 1255 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
211, 20sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
22 breq2 4815 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
2322rspccv 3459 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2524imp 395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26 suprub 11240 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
275, 26sylan 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2816, 18, 19, 25, 27letrd 10450 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2915, 28exlimddv 2030 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30 simp1l 1254 . . . . . 6 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
311, 30sylbi 208 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
32 eqid 2765 . . . . . 6 {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33 biid 252 . . . . . 6 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)))
3432, 33supmul1 11248 . . . . 5 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1492 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
3612, 35eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37 vex 3353 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
38 eqeq1 2769 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
3938rexbidv 3199 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
4037, 39elab 3507 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
417adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
422simp1d 1172 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4342sselda 3763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44 recn 10281 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45 mulcom 10277 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
469, 44, 45syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
4741, 43, 46syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
4948rspccv 3459 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5150imp 395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
5221adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
535adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
54 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55 biid 252 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
5654, 55supmul1 11248 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
5958rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6037, 59elab 3507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
6362eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6463rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6564cbvrexv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66582rexbidv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6765, 66syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
6937, 67, 68elab2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
7061, 69sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
7170ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐴 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤𝐶))
7268, 1supmullem2 11250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
73 suprub 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7473ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7671, 75sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7760, 76syl5bi 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7877ralrimiv 3112 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7943adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
8018adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82 eleq1a 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8483rexlimdva 3178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8584abssdv 3838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86 ovex 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
8786isseti 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
8887rgenw 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89 r19.2z 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9013, 88, 89sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91 rexcom4 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9290, 91sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9359cbvexvw 2137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9492, 93sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95 abn0 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
9694, 95sylibr 225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98 suprcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101 brralrspcev 4871 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
102100, 78, 101syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
103 suprleub 11245 . . . . . . . . . . . 12 ((({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10485, 97, 102, 100, 103syl31anc 1492 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10578, 104mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10657, 105eqbrtrd 4833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10747, 106eqbrtrd 4833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
108 breq1 4814 . . . . . . . 8 (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
109107, 108syl5ibrcom 238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
110109rexlimdva 3178 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
11140, 110syl5bi 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112111ralrimiv 3112 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
11341, 43remulcld 10326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
114 eleq1a 2839 . . . . . . . 8 ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
115113, 114syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
116115rexlimdva 3178 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117116abssdv 3838 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
1182simp2d 1173 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
119 ovex 6876 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
120119isseti 3362 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
121120rgenw 3071 . . . . . . . 8 𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
122 r19.2z 4221 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
123118, 121, 122sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
124 rexcom4 3378 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125123, 124sylib 209 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126 abn0 4121 . . . . . 6 ({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127125, 126sylibr 225 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
128 brralrspcev 4871 . . . . . 6 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
12999, 112, 128syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
130 suprleub 11245 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131117, 127, 129, 99, 130syl31anc 1492 . . . 4 (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
132112, 131mpbird 248 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13336, 132eqbrtrd 4833 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13468, 1supmullem1 11249 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
1354, 7remulcld 10326 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
136 suprleub 11245 . . . 4 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
13772, 135, 136syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
138134, 137mpbird 248 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
139135, 99letri3d 10435 . 2 (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
140133, 138, 139mpbir2and 704 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  supcsup 8555  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941
This theorem is referenced by:  sqrlem5  14275
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