Theorem supmul 11947

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 10740). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmul

Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmul.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
2	1	simp2bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
3		suprcl 11935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1	simp3bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
6		suprcl 11935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8		recn 10961	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9		recn 10961	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10		mulcom 10957	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
12	4, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
13	5	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
16		0red 10978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
17	5	simp1d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
18	17	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
19	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20		simp1r 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
21	1, 20	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
22		breq2 5078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
23	22	rspccv 3558	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
25	24	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26		suprub 11936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
27	5, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
28	16, 18, 19, 25, 27	letrd 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
29	15, 28	exlimddv 1938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30		simp1l 1196	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
31	1, 30	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
32		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33		biid 260	. . . . . 6 ⊢ (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
34	32, 33	supmul1 11944	. . . . 5 ⊢ (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
35	7, 29, 31, 2, 34	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
36	12, 35	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
38		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
39	38	rexbidv 3226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
40	37, 39	elab 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
41	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	2	simp1d 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
43	42	sselda 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44		recn 10961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45		mulcom 10957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
46	9, 44, 45	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
47	41, 43, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
49	48	rspccv 3558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
50	31, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
51	50	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
52	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
53	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
54		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55		biid 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	54, 55	supmul1 11944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
57	43, 51, 52, 53, 56	syl31anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
59	58	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
60	37, 59	elab 3609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61		rspe 3237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
63	62	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
64	63	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
65	64	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66	58	2rexbidv 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
67	65, 66	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68		supmul.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
69	37, 67, 68	elab2 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
70	61, 69	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
71	70	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ 𝐶))
72	68, 1	supmullem2 11946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
73		suprub 11936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
74	73	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
76	71, 75	sylan9r 509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
77	60, 76	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
78	77	ralrimiv 3102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
79	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
80	18	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
81	79, 80	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
84	83	rexlimdva 3213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
85	84	abssdv 4002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
87	86	isseti 3447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
88	87	rgenw 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89		r19.2z 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
90	13, 88, 89	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91		rexcom4 3233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
92	90, 91	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
93	59	cbvexvw 2040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
94	92, 93	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95		abn0 4314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
96	94, 95	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98		suprcl 11935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
99	72, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101		brralrspcev 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
102	100, 78, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
103		suprleub 11941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
104	85, 97, 102, 100, 103	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
105	78, 104	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
106	57, 105	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
107	47, 106	eqbrtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
108		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
109	107, 108	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
110	109	rexlimdva 3213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
111	40, 110	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112	111	ralrimiv 3102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
113	41, 43	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
114		eleq1a 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
116	115	rexlimdva 3213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117	116	abssdv 4002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
118	2	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
119		ovex 7308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
120	119	isseti 3447	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
121	120	rgenw 3076	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
122		r19.2z 4425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
123	118, 121, 122	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
124		rexcom4 3233	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125	123, 124	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126		abn0 4314	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127	125, 126	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
128		brralrspcev 5134	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
129	99, 112, 128	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
130		suprleub 11941	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131	117, 127, 129, 99, 130	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
132	112, 131	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
133	36, 132	eqbrtrd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
134	68, 1	supmullem1 11945	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
135	4, 7	remulcld 11005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
136		suprleub 11941	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
137	72, 135, 136	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
138	134, 137	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
139	135, 99	letri3d 11117	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
140	133, 138, 139	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  sqrlem5  14958