Theorem supmul 12214

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 10996). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑣)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑏)

Proof of Theorem supmul

Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmul.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
2	1	simp2bi 1164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
3		suprcl 12202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1	simp3bi 1165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
6		suprcl 12202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8		recn 11217	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9		recn 11217	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10		mulcom 11213	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
12	4, 7, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
13	5	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
16		0red 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
17	5	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
18	17	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
19	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20		simp1r 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
21	1, 20	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
22		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
23	22	rspccv 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
25	24	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26		suprub 12203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
27	5, 26	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
28	16, 18, 19, 25, 27	letrd 11394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
29	15, 28	exlimddv 1968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
31	1, 30	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
32		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33		biid 264	. . . . . 6 ⊢ (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
34	32, 33	supmul1 12211	. . . . 5 ⊢ (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
35	7, 29, 31, 2, 34	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
36	12, 35	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
38		eqeq1 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
39	38	rexbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
40	37, 39	elab 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
41	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	2	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
43	42	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44		recn 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45		mulcom 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
46	9, 44, 45	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
47	41, 43, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
49	48	rspccv 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
50	31, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
51	50	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
52	21	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
53	5	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55		biid 264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	54, 55	supmul1 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
57	43, 51, 52, 53, 56	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
59	58	rexbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
60	37, 59	elab 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61		rspe 3254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
63	62	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
64	63	rexbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
65	64	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66	58	2rexbidv 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
67	65, 66	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68		supmul.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
69	37, 67, 68	elab2 3639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
70	61, 69	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
71	70	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ 𝐶))
72	68, 1	supmullem2 12213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
73		suprub 12203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
74	73	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
75	72, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
76	71, 75	sylan9r 518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
77	60, 76	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
78	77	ralrimiv 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
79	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
80	18	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
81	79, 80	remulcld 11266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82		eleq1a 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
83	81, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
84	83	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
85	84	abssdv 4018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86		ovex 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
87	86	isseti 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
88	87	rgenw 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89		r19.2z 4458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
90	13, 88, 89	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91		rexcom4 3291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
92	90, 91	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
93	59	cbvexvw 2070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
94	92, 93	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95		abn0 4337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
96	94, 95	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
97	96	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98		suprcl 12202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
99	72, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
100	99	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101		brralrspcev 5169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
102	100, 78, 101	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
103		suprleub 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
104	85, 97, 102, 100, 103	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
105	78, 104	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
106	57, 105	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
107	47, 106	eqbrtrd 5131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
108		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
109	107, 108	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
110	109	rexlimdva 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
111	40, 110	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112	111	ralrimiv 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
113	41, 43	remulcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
114		eleq1a 2857	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
115	113, 114	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
116	115	rexlimdva 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117	116	abssdv 4018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
118	2	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
119		ovex 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
120	119	isseti 3471	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
121	120	rgenw 3082	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
122		r19.2z 4458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
123	118, 121, 122	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
124		rexcom4 3291	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125	123, 124	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126		abn0 4337	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127	125, 126	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
128		brralrspcev 5169	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
129	99, 112, 128	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
130		suprleub 12208	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131	117, 127, 129, 99, 130	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
132	112, 131	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
133	36, 132	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
134	68, 1	supmullem1 12212	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
135	4, 7	remulcld 11266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
136		suprleub 12208	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
137	72, 135, 136	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
138	134, 137	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
139	135, 99	letri3d 11379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
140	133, 138, 139	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  supcsup 9413  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  01sqrexlem5  15335