MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul 12185
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup๐ด) ยท (sup๐ต) = sup(๐ด ยท ๐ต), where ๐ด ยท ๐ต is shorthand for {๐‘Ž ยท ๐‘ โˆฃ ๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ต} and is defined as ๐ถ below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 10978). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
supmul.2 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
supmul (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ฃ)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
21simp2bi 1146 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
3 suprcl 12173 . . . . . 6 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
42, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
51simp3bi 1147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
6 suprcl 12173 . . . . . 6 ((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
75, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
8 recn 11199 . . . . . 6 (sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„‚)
9 recn 11199 . . . . . 6 (sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„‚)
10 mulcom 11195 . . . . . 6 ((sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„‚ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )))
118, 9, 10syl2an 596 . . . . 5 ((sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )))
124, 7, 11syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )))
135simp2d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
14 n0 4346 . . . . . . 7 (๐ต โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1513, 14sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
16 0red 11216 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
175simp1d 1142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
1817sselda 3982 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
197adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
20 simp1r 1198 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
211, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
22 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
2322rspccv 3609 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
2524imp 407 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
26 suprub 12174 . . . . . . . 8 (((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
275, 26sylan 580 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
2816, 18, 19, 25, 27letrd 11370 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
2915, 28exlimddv 1938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
30 simp1l 1197 . . . . . 6 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
311, 30sylbi 216 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
32 eqid 2732 . . . . . 6 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}
33 biid 260 . . . . . 6 (((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” ((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
3432, 33supmul1 12182 . . . . 5 (((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ))
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท sup(๐ด, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ))
3612, 35eqtrd 2772 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ))
37 vex 3478 . . . . . . 7 ๐‘ค โˆˆ V
38 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†” ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)))
3938rexbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)))
4037, 39elab 3668 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
417adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
422simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
4342sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
44 recn 11199 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
45 mulcom 11195 . . . . . . . . . . 11 ((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )))
469, 44, 45syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )))
4741, 43, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )))
48 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘Ž))
4948rspccv 3609 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
5150imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
5221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
535adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
54 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
55 biid 260 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
5654, 55supmul1 12182 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ))
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ))
58 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
5958rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6037, 59elab 3668 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
61 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
62 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘))
6362eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6463rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6564cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
66582rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
6765, 66bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
6937, 67, 68elab2 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
7061, 69sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ถ)
7170ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ถ))
7268, 1supmullem2 12184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ))
73 suprub 12174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
7473ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7671, 75sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7760, 76biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
7877ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
7943adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
8018adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8179, 80remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
82 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
8483rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
8584abssdv 4065 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โŠ† โ„)
86 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ V
8786isseti 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)
8887rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)
89 r19.2z 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9013, 88, 89sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
91 rexcom4 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9290, 91sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9359cbvexvw 2040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
95 abn0 4380 . . . . . . . . . . . . . 14 ({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
9694, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ…)
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ…)
98 suprcl 12173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
101 brralrspcev 5208 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
102100, 78, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
103 suprleub 12179 . . . . . . . . . . . 12 ((({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โŠ† โ„ โˆง {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
10485, 97, 102, 100, 103syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
10578, 104mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
10657, 105eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
10747, 106eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
108 breq1 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ (๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
109107, 108syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
110109rexlimdva 3155 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ค = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
11140, 110biimtrid 241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
112111ralrimiv 3145 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
11341, 43remulcld 11243 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
114 eleq1a 2828 . . . . . . . 8 ((sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
115113, 114syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
116115rexlimdva 3155 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„))
117116abssdv 4065 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โŠ† โ„)
1182simp2d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
119 ovex 7441 . . . . . . . . . 10 (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โˆˆ V
120119isseti 3489 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)
121120rgenw 3065 . . . . . . . 8 โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)
122 r19.2z 4494 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
123118, 121, 122sylancl 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
124 rexcom4 3285 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
125123, 124sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
126 abn0 4380 . . . . . 6 ({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž))
127125, 126sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ‰  โˆ…)
128 brralrspcev 5208 . . . . . 6 ((sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
12999, 112, 128syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
130 suprleub 12179 . . . . 5 ((({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โŠ† โ„ โˆง {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
131117, 127, 129, 99, 130syl31anc 1373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
132112, 131mpbird 256 . . 3 (๐œ‘ โ†’ sup({๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด ๐‘ง = (sup(๐ต, โ„, < ) ยท ๐‘Ž)}, โ„, < ) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
13336, 132eqbrtrd 5170 . 2 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
13468, 1supmullem1 12183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
1354, 7remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„)
136 suprleub 12179 . . . 4 (((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
13772, 135, 136syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
138134, 137mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
139135, 99letri3d 11355 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ) โ†” ((sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))))
140133, 138, 139mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  supcsup 9434  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  01sqrexlem5  15192
  Copyright terms: Public domain W3C validator