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Theorem iunfictbso 9538
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 9103 . . . . 5 ω ∈ V
210dom 8644 . . . 4 ∅ ≼ ω
3 breq1 5055 . . . 4 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
42, 3mpbiri 261 . . 3 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ω)
54a1d 25 . 2 ( 𝐴 = ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
6 n0 4293 . . 3 ( 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 𝐴)
7 ne0i 4283 . . . . . . . . . 10 (𝑎 𝐴 𝐴 ≠ ∅)
8 unieq 4835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
9 uni0 4852 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
108, 9syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1110necon3i 3046 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
15 ctex 8520 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
16 0sdomg 8643 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1813, 17mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
19 fodomr 8665 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ω) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
2018, 14, 19syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
21 omelon 9106 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
22 onenon 9375 . . . . . . . . . . . 12 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ dom card
24 xpnum 9377 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ dom card ∧ ω ∈ dom card) → (ω × ω) ∈ dom card)
2523, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (ω × ω) ∈ dom card
26 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
27 fof 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏:ω–onto𝐴𝑏:ω⟶𝐴)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω⟶𝐴)
29 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑓 ∈ ω)
3028, 29ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
32 elssuni 4854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑓) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3430, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
35 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or 𝐴)
36 soss 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏𝑓) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑓)))
3734, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or (𝑏𝑓))
38 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐴 ⊆ Fin)
3938, 30sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ Fin)
40 finnisoeu 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 Or (𝑏𝑓) ∧ (𝑏𝑓) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
4137, 39, 40syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
42 iotacl 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
44 iotaex 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ V
45 isoeq1 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
46 isoeq1 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
4746cbvabv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))}
4844, 45, 47elab2 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
4943, 48sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
50 isof1o 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓))
51 f1of 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5352ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ (𝑏𝑓))
5433, 53sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ 𝐴)
55 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝑎 𝐴)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ ¬ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → 𝑎 𝐴)
5754, 56ifclda 4484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
5857ralrimivva 3186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
59 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)) = (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))
6059fmpo 7761 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
6158, 60sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
62 eluni 4827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝐴 ↔ ∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴))
63 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
64 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑖𝐴)
65 foelrn 6863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:ω–onto𝐴𝑖𝐴) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
6663, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
67 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑗 ∈ ω)
68 ordom 7583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ord ω
69 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐴 ⊆ Fin)
70 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω–onto𝐴)
7170, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω⟶𝐴)
7271, 67ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐴)
7369, 72sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ Fin)
74 ficardom 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏𝑗) ∈ Fin → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
76 ordelss 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord ω ∧ (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
7768, 75, 76sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
78 elssuni 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏𝑗) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
7972, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
80 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or 𝐴)
81 soss 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑗) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑗)))
8279, 80, 81sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or (𝑏𝑗))
83 finnisoeu 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 Or (𝑏𝑗) ∧ (𝑏𝑗) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
8482, 73, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
85 iotacl 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
87 iotaex 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ V
88 isoeq1 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
89 isoeq1 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
9089cbvabv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))}
9187, 88, 90elab2 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
9286, 91sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
93 isof1o 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
95 f1ocnv 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)))
96 f1of 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
9794, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
98 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐𝑖)
99 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑖 = (𝑏𝑗))
10098, 99eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 ∈ (𝑏𝑗))
10197, 100ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)))
10277, 101sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω)
103 2fveq3 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)))
104103eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)) ↔ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
105 isoeq4 7066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
107 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = 𝑗 → (𝑏𝑓) = (𝑏𝑗))
108 isoeq5 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑓) = (𝑏𝑗) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
110106, 109bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
111110iotabidv 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
112111fveq1d 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔))
113104, 112ifbieq1d 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑗 → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) = if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎))
114 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)) ↔ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
115 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
116114, 115ifbieq1d 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
117 fvex 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) ∈ V
118 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑎 ∈ V
119117, 118ifex 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) ∈ V
120113, 116, 59, 119ovmpo 7303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
12167, 102, 120syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
122101iftrued 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
123 f1ocnvfv2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏𝑗)) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
12494, 100, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
125121, 122, 1243eqtrrd 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
126 rspceov 7196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω ∧ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
12767, 102, 125, 126syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
128127expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
129128expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))))
130129rexlimdv 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13166, 130mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
132131ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ((𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
133132exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13462, 133syl5bi 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑐 𝐴 → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
135134ralrimiv 3176 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
136 foov 7316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 ↔ ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴 ∧ ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13761, 135, 136sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴)
138 fodomnum 9481 . . . . . . . . . 10 ((ω × ω) ∈ dom card → ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 𝐴 ≼ (ω × ω)))
13925, 137, 138mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ (ω × ω))
140 xpomen 9439 . . . . . . . . 9 (ω × ω) ≈ ω
141 domentr 8564 . . . . . . . . 9 (( 𝐴 ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
142139, 140, 141sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ ω)
143142expr 460 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
144143exlimdv 1935 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
14520, 144mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
146145expcom 417 . . . 4 (𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
147146exlimiv 1932 . . 3 (∃𝑎 𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1486, 147sylbi 220 . 2 ( 𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1495, 148pm2.61ine 3097 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  ∃!weu 2654  {cab 2802  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450   cuni 4824   class class class wbr 5052   E cep 5451   Or wor 5460   × cxp 5540  ccnv 5541  dom cdm 5542  Ord word 6177  Oncon0 6178  cio 6300  wf 6339  ontowfo 6341  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343   Isom wiso 6344  (class class class)co 7149  cmpo 7151  ωcom 7574  cen 8502  cdom 8503  csdm 8504  Fincfn 8505  cardccrd 9361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368
This theorem is referenced by:  aannenlem3  24929
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