iunfictbso - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iunfictbso		Structured version Visualization version GIF version

Theorem iunfictbso 10217

Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
iunfictbso	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem iunfictbso Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9668	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	0dom 9151	. . . 4 ⊢ ∅ ≼ ω
3		breq1 5109	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 = ∅ → (∪ 𝐴 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
4	2, 3	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ≼ ω)
5	4	a1d 26	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 = ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω))
6		n0 4303	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ ∪ 𝐴)
7		ne0i 4290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 → ∪ 𝐴 ≠ ∅)
8		unieq 4881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
9		uni0 4899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ∅ = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∅)
11	10	necon3i 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
15		ctex 9015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
16		0sdomg 9150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
18	13, 17	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
19		fodomr 9172	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → ∃𝑏 𝑏:ω⟶onto𝐴)
20	18, 14, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑏 𝑏:ω⟶onto𝐴)
21		omelon 9671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
22		onenon 10054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ω ∈ dom card
24		xpnum 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ∈ dom card ∧ ω ∈ dom card) → (ω × ω) ∈ dom card)
25	23, 23, 24	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω × ω) ∈ dom card
26		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω⟶onto𝐴)
27		fof 6815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏:ω⟶onto𝐴 → 𝑏:ω⟶𝐴)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω⟶𝐴)
29		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑓 ∈ ω)
30	28, 29	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏‘𝑓) ∈ 𝐴)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓))) → (𝑏‘𝑓) ∈ 𝐴)
32		elssuni 4902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑓) ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑓) ⊆ ∪ 𝐴)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓))) → (𝑏‘𝑓) ⊆ ∪ 𝐴)
34	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏‘𝑓) ⊆ ∪ 𝐴)
35		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or ∪ 𝐴)
36		soss 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏‘𝑓) ⊆ ∪ 𝐴 → (𝐵 Or ∪ 𝐴 → 𝐵 Or (𝑏‘𝑓)))
37	34, 35, 36	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or (𝑏‘𝑓))
38		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐴 ⊆ Fin)
39	38, 30	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏‘𝑓) ∈ Fin)
40		finnisoeu 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 Or (𝑏‘𝑓) ∧ (𝑏‘𝑓) ∈ Fin) → ∃!ℎ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))
41	37, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → ∃!ℎ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))
42		iotacl 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃!ℎ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) ∈ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))})
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) ∈ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))})
44		iotaex 6530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) ∈ V
45		isoeq1 7345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) ↔ (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))))
46		isoeq1 7345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑎 → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))))
47	46	cbvabv 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))} = {𝑎 ∣ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))}
48	44, 45, 47	elab2 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) ∈ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))} ↔ (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))
49	43, 48	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))
50		isof1o 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))):(card‘(𝑏‘𝑓))⟶1-1onto(𝑏‘𝑓))
51		f1of 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))):(card‘(𝑏‘𝑓))⟶1-1onto(𝑏‘𝑓) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))):(card‘(𝑏‘𝑓))⟶(𝑏‘𝑓))
52	49, 50, 51	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))):(card‘(𝑏‘𝑓))⟶(𝑏‘𝑓))
53	52	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓))) → ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔) ∈ (𝑏‘𝑓))
54	33, 53	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓))) → ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔) ∈ ∪ 𝐴)
55		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → 𝑎 ∈ ∪ 𝐴)
56	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ ¬ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓))) → 𝑎 ∈ ∪ 𝐴)
57	54, 56	ifclda 4521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
58	57	ralrimivva 3209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → ∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
59		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)) = (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))
60	59	fmpo 8101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ ∪ 𝐴 ↔ (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶∪ 𝐴)
61	58, 60	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶∪ 𝐴)
62		eluni 4873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑖(𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴))
63		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → 𝑏:ω⟶onto𝐴)
64		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → 𝑖 ∈ 𝐴)
65		foelrn 7128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏:ω⟶onto𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏‘𝑗))
66	63, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏‘𝑗))
67		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑗 ∈ ω)
68		ordom 7908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ord ω
69		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝐴 ⊆ Fin)
70		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑏:ω⟶onto𝐴)
71	70, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑏:ω⟶𝐴)
72	71, 67	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐴)
73	69, 72	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (𝑏‘𝑗) ∈ Fin)
74		ficardom 10066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏‘𝑗) ∈ Fin → (card‘(𝑏‘𝑗)) ∈ ω)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (card‘(𝑏‘𝑗)) ∈ ω)
76		ordelss 6393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Ord ω ∧ (card‘(𝑏‘𝑗)) ∈ ω) → (card‘(𝑏‘𝑗)) ⊆ ω)
77	68, 75, 76	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (card‘(𝑏‘𝑗)) ⊆ ω)
78		elssuni 4902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑏‘𝑗) ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑗) ⊆ ∪ 𝐴)
79	72, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (𝑏‘𝑗) ⊆ ∪ 𝐴)
80		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝐵 Or ∪ 𝐴)
81		soss 5583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏‘𝑗) ⊆ ∪ 𝐴 → (𝐵 Or ∪ 𝐴 → 𝐵 Or (𝑏‘𝑗)))
82	79, 80, 81	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝐵 Or (𝑏‘𝑗))
83		finnisoeu 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 Or (𝑏‘𝑗) ∧ (𝑏‘𝑗) ∈ Fin) → ∃!ℎ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))
84	82, 73, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → ∃!ℎ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))
85		iotacl 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃!ℎ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) ∈ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))})
86	84, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) ∈ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))})
87		iotaex 6530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) ∈ V
88		isoeq1 7345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑎 = (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)) ↔ (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))))
89		isoeq1 7345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ = 𝑎 → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))))
90	89	cbvabv 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))} = {𝑎 ∣ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))}
91	87, 88, 90	elab2 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) ∈ {ℎ ∣ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))} ↔ (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))
92	86, 91	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))
93		isof1o 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(card‘(𝑏‘𝑗))⟶1-1onto(𝑏‘𝑗))
94	92, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(card‘(𝑏‘𝑗))⟶1-1onto(𝑏‘𝑗))
95		f1ocnv 6856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(card‘(𝑏‘𝑗))⟶1-1onto(𝑏‘𝑗) → ^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(𝑏‘𝑗)⟶1-1onto(card‘(𝑏‘𝑗)))
96		f1of 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(𝑏‘𝑗)⟶1-1onto(card‘(𝑏‘𝑗)) → ^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(𝑏‘𝑗)⟶(card‘(𝑏‘𝑗)))
97	94, 95, 96	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → ^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(𝑏‘𝑗)⟶(card‘(𝑏‘𝑗)))
98		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑐 ∈ 𝑖)
99		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑖 = (𝑏‘𝑗))
100	98, 99	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑐 ∈ (𝑏‘𝑗))
101	97, 100	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)))
102	77, 101	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ ω)
103		2fveq3 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (card‘(𝑏‘𝑓)) = (card‘(𝑏‘𝑗)))
104	103	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)) ↔ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑗))))
105		isoeq4 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((card‘(𝑏‘𝑓)) = (card‘(𝑏‘𝑗)) → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) ↔ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑓))))
106	103, 105	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) ↔ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑓))))
107		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (𝑏‘𝑓) = (𝑏‘𝑗))
108		isoeq5 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏‘𝑓) = (𝑏‘𝑗) → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑓)) ↔ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))))
109	107, 108	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑓)) ↔ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))))
110	106, 109	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)) ↔ ℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))))
111	110	iotabidv 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓))) = (℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))))
112	111	fveq1d 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔) = ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑔))
113	104, 112	ifbieq1d 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎) = if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑔), 𝑎))
114		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔 = (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)) ↔ (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗))))
115		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔 = (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) → ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑔) = ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)))
116	114, 115	ifbieq1d 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 = (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑔), 𝑎) = if((^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
117		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)) ∈ V
118		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑎 ∈ V
119	117, 118	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ if((^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) ∈ V
120	113, 116, 59, 119	ovmpo 7601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ ω) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)) = if((^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
121	67, 102, 120	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)) = if((^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
122	101	iftrued 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → if((^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏‘𝑗)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) = ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)))
123		f1ocnvfv2 7305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗))):(card‘(𝑏‘𝑗))⟶1-1onto(𝑏‘𝑗) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏‘𝑗)) → ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
124	94, 100, 123	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
125	121, 122, 124	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐)))
126		rspceov 7489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ (^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐) ∈ ω ∧ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))(^◡(℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑗)), (𝑏‘𝑗)))‘𝑐))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
127	67, 102, 125, 126	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
128	127	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏‘𝑗)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
129	128	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = (𝑏‘𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))))
130	129	rexlimdv 3165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏‘𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
131	66, 130	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
132	131	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
133	132	exlimdv 1968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → (∃𝑖(𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
134	62, 133	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → (𝑐 ∈ ∪ 𝐴 → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
135	134	ralrimiv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → ∀𝑐 ∈ ∪ 𝐴∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
136		foov 7616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶onto∪ 𝐴 ↔ ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ ∪ 𝐴∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
137	61, 135, 136	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶onto∪ 𝐴)
138		fodomnum 10160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω × ω) ∈ dom card → ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏‘𝑓)), ((℩ℎℎ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏‘𝑓)), (𝑏‘𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶onto∪ 𝐴 → ∪ 𝐴 ≼ (ω × ω)))
139	25, 137, 138	mpsyl 69	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → ∪ 𝐴 ≼ (ω × ω))
140		xpomen 10118	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
141		domentr 9065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝐴 ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → ∪ 𝐴 ≼ ω)
142	139, 140, 141	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 ∧ 𝑏:ω⟶onto𝐴)) → ∪ 𝐴 ≼ ω)
143	142	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → (𝑏:ω⟶onto𝐴 → ∪ 𝐴 ≼ ω))
144	143	exlimdv 1968	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → (∃𝑏 𝑏:ω⟶onto𝐴 → ∪ 𝐴 ≼ ω))
145	20, 144	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω)
146	145	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω))
147	146	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑎 𝑎 ∈ ∪ 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω))
148	6, 147	sylbi 220	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω))
149	5, 148	pm2.61ine 3042	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ≼ ω)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2147 ∃!weu 2596 {cab 2741 ≠ wne 2959 ∀wral 3080 ∃wrex 3090 Vcvv 3454 ⊆ wss 3900 ∅c0 4281 ifcif 4485 ∪ cuni 4870 class class class wbr 5106 E cep 5554 Or wor 5562 × cxp 5653 ^◡ccnv 5654 dom cdm 5655 Ord word 6376 Oncon0 6377 ℩cio 6507 ⟶wf 6551 ⟶ontowfo 6553 ⟶1-1ontowf1o 6554 ‘cfv 6555 Isom wiso 6556 (class class class)co 7440 ∈ cmpo 7442 ωcom 7898 ≈ cen 8995 ≼ cdom 8996 ≺ csdm 8997 Fincfn 8998 cardccrd 10040

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5235 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7772 ax-inf2 9666

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6319 df-ord 6380 df-on 6381 df-lim 6382 df-suc 6383 df-iota 6509 df-fun 6557 df-fn 6558 df-f 6559 df-f1 6560 df-fo 6561 df-f1o 6562 df-fv 6563 df-isom 6564 df-riota 7397 df-ov 7443 df-oprab 7444 df-mpo 7445 df-om 7899 df-1st 8022 df-2nd 8023 df-frecs 8324 df-wrecs 8355 df-recs 8404 df-rdg 8443 df-1o 8501 df-oadd 8505 df-omul 8506 df-er 8742 df-map 8874 df-en 8999 df-dom 9000 df-sdom 9001 df-fin 9002 df-oi 9528 df-card 10044 df-acn 10047

This theorem is used by: aannenlem3 26684

W3C validator