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Theorem iunfictbso 9188
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8755 . . . . 5 ω ∈ V
210dom 8297 . . . 4 ∅ ≼ ω
3 breq1 4812 . . . 4 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
42, 3mpbiri 249 . . 3 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ω)
54a1d 25 . 2 ( 𝐴 = ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
6 n0 4095 . . 3 ( 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 𝐴)
7 ne0i 4085 . . . . . . . . . 10 (𝑎 𝐴 𝐴 ≠ ∅)
8 unieq 4602 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
9 uni0 4623 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
108, 9syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1110necon3i 2969 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 simpl1 1242 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
15 reldom 8166 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
1615brrelex1i 5328 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
17 0sdomg 8296 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1913, 18mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
20 fodomr 8318 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ω) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
2119, 14, 20syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
22 omelon 8758 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
23 onenon 9026 . . . . . . . . . . . 12 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ dom card
25 xpnum 9028 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ dom card ∧ ω ∈ dom card) → (ω × ω) ∈ dom card)
2624, 24, 25mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (ω × ω) ∈ dom card
27 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
28 fof 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏:ω–onto𝐴𝑏:ω⟶𝐴)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω⟶𝐴)
30 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑓 ∈ ω)
3129, 30ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
33 elssuni 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑓) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3531, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
36 simpll3 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or 𝐴)
37 soss 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏𝑓) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑓)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or (𝑏𝑓))
39 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐴 ⊆ Fin)
4039, 31sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ Fin)
41 finnisoeu 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 Or (𝑏𝑓) ∧ (𝑏𝑓) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
4238, 40, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
43 iotacl 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
45 iotaex 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ V
46 isoeq1 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
47 isoeq1 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
4847cbvabv 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))}
4945, 46, 48elab2 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
5044, 49sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
51 isof1o 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓))
52 f1of 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5453ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ (𝑏𝑓))
5534, 54sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ 𝐴)
56 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝑎 𝐴)
5756ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ ¬ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → 𝑎 𝐴)
5855, 57ifclda 4277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
5958ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
60 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)) = (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))
6160fmpt2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
6259, 61sylib 209 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
63 eluni 4597 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝐴 ↔ ∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴))
64 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
65 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑖𝐴)
66 foelrn 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:ω–onto𝐴𝑖𝐴) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
6764, 65, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
68 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑗 ∈ ω)
69 ordom 7272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ord ω
70 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐴 ⊆ Fin)
71 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω–onto𝐴)
7271, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω⟶𝐴)
7372, 68ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐴)
7470, 73sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ Fin)
75 ficardom 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏𝑗) ∈ Fin → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
77 ordelss 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord ω ∧ (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
7869, 76, 77sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
79 elssuni 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏𝑗) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
8073, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
81 simpll3 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or 𝐴)
82 soss 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑗) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑗)))
8380, 81, 82sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or (𝑏𝑗))
84 finnisoeu 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 Or (𝑏𝑗) ∧ (𝑏𝑗) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
8583, 74, 84syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
86 iotacl 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
88 iotaex 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ V
89 isoeq1 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
90 isoeq1 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
9190cbvabv 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))}
9288, 89, 91elab2 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
9387, 92sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
94 isof1o 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
96 f1ocnv 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)))
97 f1of 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
99 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐𝑖)
100 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑖 = (𝑏𝑗))
10199, 100eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 ∈ (𝑏𝑗))
10298, 101ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)))
10378, 102sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω)
104 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)))
105104eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)) ↔ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
106 isoeq4 6762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
107104, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
108 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = 𝑗 → (𝑏𝑓) = (𝑏𝑗))
109 isoeq5 6763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑓) = (𝑏𝑗) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
111107, 110bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
112111iotabidv 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
113112fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔))
114105, 113ifbieq1d 4266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑗 → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) = if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎))
115 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)) ↔ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
116 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
117115, 116ifbieq1d 4266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
118 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) ∈ V
119 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑎 ∈ V
120118, 119ifex 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) ∈ V
121114, 117, 60, 120ovmpt2 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
12268, 103, 121syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
123102iftrued 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
124 f1ocnvfv2 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏𝑗)) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
12595, 101, 124syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
126122, 123, 1253eqtrrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
127 rspceov 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω ∧ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
12868, 103, 126, 127syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
129128expr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
130129expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))))
131130rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13267, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
133132ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ((𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
134133exlimdv 2028 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13563, 134syl5bi 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑐 𝐴 → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
136135ralrimiv 3112 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
137 foov 7006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 ↔ ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴 ∧ ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13862, 136, 137sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴)
139 fodomnum 9131 . . . . . . . . . 10 ((ω × ω) ∈ dom card → ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 𝐴 ≼ (ω × ω)))
14026, 138, 139mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ (ω × ω))
141 xpomen 9089 . . . . . . . . 9 (ω × ω) ≈ ω
142 domentr 8219 . . . . . . . . 9 (( 𝐴 ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
143140, 141, 142sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ ω)
144143expr 448 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
145144exlimdv 2028 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
14621, 145mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
147146expcom 402 . . . 4 (𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
148147exlimiv 2025 . . 3 (∃𝑎 𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1496, 148sylbi 208 . 2 ( 𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1505, 149pm2.61ine 3020 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  ∃!weu 2581  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243   cuni 4594   class class class wbr 4809   E cep 5189   Or wor 5197   × cxp 5275  ccnv 5276  dom cdm 5277  Ord word 5907  Oncon0 5908  cio 6029  wf 6064  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068   Isom wiso 6069  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  ωcom 7263  cen 8157  cdom 8158  csdm 8159  Fincfn 8160  cardccrd 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019
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