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Theorem iunfictbso 10105
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 9634 . . . . 5 Ο‰ ∈ V
210dom 9102 . . . 4 βˆ… β‰Ό Ο‰
3 breq1 5150 . . . 4 (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰ ↔ βˆ… β‰Ό Ο‰))
42, 3mpbiri 257 . . 3 (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
54a1d 25 . 2 (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
6 n0 4345 . . 3 (βˆͺ 𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴)
7 ne0i 4333 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ βˆͺ 𝐴 β‰  βˆ…)
8 unieq 4918 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆ…)
9 uni0 4938 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ βˆ… = βˆ…
108, 9eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
1110necon3i 2973 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝐴 β‰  βˆ… β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
1312adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
14 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
15 ctex 8955 . . . . . . . . 9 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
16 0sdomg 9100 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
1813, 17mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
19 fodomr 9124 . . . . . . 7 ((βˆ… β‰Ί 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏:ω–onto→𝐴)
2018, 14, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏:ω–onto→𝐴)
21 omelon 9637 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ ∈ On
22 onenon 9940 . . . . . . . . . . . 12 (Ο‰ ∈ On β†’ Ο‰ ∈ dom card)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ dom card
24 xpnum 9942 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ dom card ∧ Ο‰ ∈ dom card) β†’ (Ο‰ Γ— Ο‰) ∈ dom card)
2523, 23, 24mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (Ο‰ Γ— Ο‰) ∈ dom card
26 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑏:ω–onto→𝐴)
27 fof 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏:ω–onto→𝐴 β†’ 𝑏:Ο‰βŸΆπ΄)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑏:Ο‰βŸΆπ΄)
29 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑓 ∈ Ο‰)
3028, 29ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ (π‘β€˜π‘“) ∈ 𝐴)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) ∧ 𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))) β†’ (π‘β€˜π‘“) ∈ 𝐴)
32 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘β€˜π‘“) ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜π‘“) βŠ† βˆͺ 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) ∧ 𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))) β†’ (π‘β€˜π‘“) βŠ† βˆͺ 𝐴)
3430, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ (π‘β€˜π‘“) βŠ† βˆͺ 𝐴)
35 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴)
36 soss 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘β€˜π‘“) βŠ† βˆͺ 𝐴 β†’ (𝐡 Or βˆͺ 𝐴 β†’ 𝐡 Or (π‘β€˜π‘“)))
3734, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐡 Or (π‘β€˜π‘“))
38 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
3938, 30sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ (π‘β€˜π‘“) ∈ Fin)
40 finnisoeu 10104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 Or (π‘β€˜π‘“) ∧ (π‘β€˜π‘“) ∈ Fin) β†’ βˆƒ!β„Ž β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ βˆƒ!β„Ž β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))
42 iotacl 6526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆƒ!β„Ž β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))})
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))})
44 iotaex 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) ∈ V
45 isoeq1 7310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) β†’ (π‘Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))))
46 isoeq1 7310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = π‘Ž β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ π‘Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))))
4746cbvabv 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))} = {π‘Ž ∣ π‘Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))}
4844, 45, 47elab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))} ↔ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))
4943, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))
50 isof1o 7316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))–1-1-ontoβ†’(π‘β€˜π‘“))
51 f1of 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))–1-1-ontoβ†’(π‘β€˜π‘“) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))⟢(π‘β€˜π‘“))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))⟢(π‘β€˜π‘“))
5352ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) ∧ 𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))) β†’ ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”) ∈ (π‘β€˜π‘“))
5433, 53sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) ∧ 𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))) β†’ ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”) ∈ βˆͺ 𝐴)
55 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴)
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴)
5754, 56ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ Ο‰ ∧ 𝑔 ∈ Ο‰)) β†’ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž) ∈ βˆͺ 𝐴)
5857ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ Ο‰ βˆ€π‘” ∈ Ο‰ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž) ∈ βˆͺ 𝐴)
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)) = (𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))
6059fmpo 8050 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘“ ∈ Ο‰ βˆ€π‘” ∈ Ο‰ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž) ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ (𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)):(Ο‰ Γ— Ο‰)⟢βˆͺ 𝐴)
6158, 60sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ (𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)):(Ο‰ Γ— Ο‰)⟢βˆͺ 𝐴)
62 eluni 4910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘–(𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴))
63 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑏:ω–onto→𝐴)
64 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐴)
65 foelrn 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:ω–onto→𝐴 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—))
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—))
67 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑗 ∈ Ο‰)
68 ordom 7861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ord Ο‰
69 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
70 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑏:ω–onto→𝐴)
7170, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑏:Ο‰βŸΆπ΄)
7271, 67ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ 𝐴)
7369, 72sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ Fin)
74 ficardom 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘β€˜π‘—) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ Ο‰)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ Ο‰)
76 ordelss 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord Ο‰ ∧ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) βŠ† Ο‰)
7768, 75, 76sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) βŠ† Ο‰)
78 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘β€˜π‘—) ∈ 𝐴 β†’ (π‘β€˜π‘—) βŠ† βˆͺ 𝐴)
7972, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (π‘β€˜π‘—) βŠ† βˆͺ 𝐴)
80 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴)
81 soss 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘β€˜π‘—) βŠ† βˆͺ 𝐴 β†’ (𝐡 Or βˆͺ 𝐴 β†’ 𝐡 Or (π‘β€˜π‘—)))
8279, 80, 81sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝐡 Or (π‘β€˜π‘—))
83 finnisoeu 10104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐡 Or (π‘β€˜π‘—) ∧ (π‘β€˜π‘—) ∈ Fin) β†’ βˆƒ!β„Ž β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))
8482, 73, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ βˆƒ!β„Ž β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))
85 iotacl 6526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (βˆƒ!β„Ž β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))})
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))})
87 iotaex 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) ∈ V
88 isoeq1 7310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘Ž = (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) β†’ (π‘Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)) ↔ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))))
89 isoeq1 7310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (β„Ž = π‘Ž β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)) ↔ π‘Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))))
9089cbvabv 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))} = {π‘Ž ∣ π‘Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))}
9187, 88, 90elab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))} ↔ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))
9286, 91sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))
93 isof1o 7316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))) Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—))–1-1-ontoβ†’(π‘β€˜π‘—))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—))–1-1-ontoβ†’(π‘β€˜π‘—))
95 f1ocnv 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—))–1-1-ontoβ†’(π‘β€˜π‘—) β†’ β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(π‘β€˜π‘—)–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)))
96 f1of 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(π‘β€˜π‘—)–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) β†’ β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(π‘β€˜π‘—)⟢(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)))
9794, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(π‘β€˜π‘—)⟢(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)))
98 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑐 ∈ 𝑖)
99 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—))
10098, 99eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘—))
10197, 100ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)))
10277, 101sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ Ο‰)
103 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 β†’ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)) = (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)))
104103eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 β†’ (𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)) ↔ 𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—))))
105 isoeq4 7313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)) = (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘“))))
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘“))))
107 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘“) = (π‘β€˜π‘—))
108 isoeq5 7314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘β€˜π‘“) = (π‘β€˜π‘—) β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))))
110106, 109bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 β†’ (β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)) ↔ β„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))))
111110iotabidv 6524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 β†’ (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“))) = (β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))))
112111fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 β†’ ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”) = ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘”))
113104, 112ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑗 β†’ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž) = if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘”), π‘Ž))
114 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) β†’ (𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)) ↔ (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—))))
115 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) β†’ ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘”) = ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)))
116114, 115ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) β†’ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘”), π‘Ž) = if((β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)), π‘Ž))
117 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)) ∈ V
118 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 π‘Ž ∈ V
119117, 118ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if((β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)), π‘Ž) ∈ V
120113, 116, 59, 119ovmpo 7564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ Ο‰ ∧ (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ Ο‰) β†’ (𝑗(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)) = if((β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)), π‘Ž))
12167, 102, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ (𝑗(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)) = if((β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)), π‘Ž))
122101iftrued 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ if((β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)), π‘Ž) = ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)))
123 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—))):(cardβ€˜(π‘β€˜π‘—))–1-1-ontoβ†’(π‘β€˜π‘—) ∧ 𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘—)) β†’ ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)) = 𝑐)
12494, 100, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)) = 𝑐)
125121, 122, 1243eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘)))
126 rspceov 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ Ο‰ ∧ (β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘) ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))(β—‘(β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘—)), (π‘β€˜π‘—)))β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒))
12767, 102, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒))
128127expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒)))
129128expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑗 ∈ Ο‰ β†’ (𝑖 = (π‘β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒))))
130129rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ 𝑖 = (π‘β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒)))
13166, 130mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒))
132131ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ ((𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒)))
133132exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘–(𝑐 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒)))
13462, 133biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒)))
135134ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ π΄βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒))
136 foov 7577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)):(Ο‰ Γ— Ο‰)–ontoβ†’βˆͺ 𝐴 ↔ ((𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)):(Ο‰ Γ— Ο‰)⟢βˆͺ 𝐴 ∧ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ π΄βˆƒπ‘‘ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘’ ∈ Ο‰ 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž))𝑒)))
13761, 135, 136sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ (𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)):(Ο‰ Γ— Ο‰)–ontoβ†’βˆͺ 𝐴)
138 fodomnum 10048 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ Γ— Ο‰) ∈ dom card β†’ ((𝑓 ∈ Ο‰, 𝑔 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑔 ∈ (cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), ((β„©β„Žβ„Ž Isom E , 𝐡 ((cardβ€˜(π‘β€˜π‘“)), (π‘β€˜π‘“)))β€˜π‘”), π‘Ž)):(Ο‰ Γ— Ο‰)–ontoβ†’βˆͺ 𝐴 β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰)))
13925, 137, 138mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
140 xpomen 10006 . . . . . . . . 9 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
141 domentr 9005 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ 𝐴 β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰) ∧ (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
142139, 140, 141sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑏:ω–onto→𝐴)) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
143142expr 457 . . . . . . 7 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (𝑏:ω–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
144143exlimdv 1936 . . . . . 6 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏:ω–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
14520, 144mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) ∧ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
146145expcom 414 . . . 4 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
147146exlimiv 1933 . . 3 (βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
1486, 147sylbi 216 . 2 (βˆͺ 𝐴 β‰  βˆ… β†’ ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
1495, 148pm2.61ine 3025 1 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐡 Or βˆͺ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒ!weu 2562  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   E cep 5578   Or wor 5586   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  Ord word 6360  Oncon0 6361  β„©cio 6490  βŸΆwf 6536  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Ο‰com 7851   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933   β‰Ί csdm 8934  Fincfn 8935  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933
This theorem is referenced by:  aannenlem3  25834
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