Theorem supadd 11873

Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul 11877. (Contributed by Brendan Leahy, 26-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
supadd.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
supadd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
supadd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
supadd.b3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)
supadd.c	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
supadd	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑏,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑏,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supadd

Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supadd.a1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		supadd.a2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		supadd.a3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		supadd.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
5		supadd.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
6		supadd.b3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)
7	4, 5, 6	suprcld 11868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))}
9	1, 2, 3, 7, 8	supaddc 11872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))}, ℝ, < ))
10	1	sselda 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℂ)
12	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
14	11, 13	addcomd 11107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
15	14	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
16	15	rexbidva 3224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
17	16	abbidv 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)})
18	17	supeq1d 9135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ))
19	9, 18	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ))
20		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
21		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
22	21	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
23	20, 22	elab 3602	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
24	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ)
25	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
26	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)
27		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)}
28	24, 25, 26, 10, 27	supaddc 11872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)}, ℝ, < ))
29	4	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
30	29	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
31	30	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
33	32	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℂ)
34	31, 33	addcomd 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑎) = (𝑎 + 𝑏))
35	34	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑏 + 𝑎) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
36	35	rexbidva 3224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
37	36	abbidv 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)})
38	37	supeq1d 9135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ))
39	28, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ))
40		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
41	40	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
42	20, 41	elab 3602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
43		rspe 3232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
44		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏))
45	44	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
46	45	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
47	46	cbvrexvw 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
48	40	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
49	47, 48	syl5bb 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
50		supadd.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏)}
51	20, 49, 50	elab2 3606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
52	43, 51	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ 𝐶))
54	1	sseld 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
55	4	sseld 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ ℝ))
56	54, 55	anim12d 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
57		readdcl 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ)
58	56, 57	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ))
59		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
60	58, 59	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
61	60	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
62	51, 61	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
63	62	ssrdv 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
64		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 + 𝑏) ∈ V
65	64	isseti 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)
66	65	rgenw 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)
67		r19.2z 4422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
68	5, 66, 67	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
69		rexcom4 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
70	68, 69	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
71	70	ralrimivw 3108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
72		r19.2z 4422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
73	2, 71, 72	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
74		rexcom4 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
75	73, 74	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
76		n0 4277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
77	51	exbii 1851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
78	76, 77	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
79	75, 78	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
80	1, 2, 3	suprcld 11868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	80, 7	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
82	10	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	29	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ ℝ)
84	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
85	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
86	1, 2, 3	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
87		suprub 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
88	86, 87	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
89	88	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
90	4, 5, 6	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
91		suprub 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
92	90, 91	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
93	92	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
94	82, 83, 84, 85, 89, 93	le2addd 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
96		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
97	96	biimprcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
98	95, 97	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))))
99	98	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
100	51, 99	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
101	100	ralrimiv 3106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))
102		brralrspcev 5130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
103	81, 101, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
104		suprub 11866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
105	104	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
106	63, 79, 103, 105	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
107	53, 106	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
108	42, 107	syl5bi 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
109	108	ralrimiv 3106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
110	32, 30	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ)
111		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
113	112	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
114	113	abssdv 3998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ⊆ ℝ)
115	64	isseti 3437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)
116	115	rgenw 3075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)
117		r19.2z 4422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
118	5, 116, 117	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
119		rexcom4 3179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
120	118, 119	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
121		abn0 4311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
122	120, 121	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅)
124	63, 79, 103	suprcld 11868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
126		brralrspcev 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
127	125, 109, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
128		suprleub 11871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
129	114, 123, 127, 125, 128	syl31anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
130	109, 129	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
131	39, 130	eqbrtrd 5092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
132		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
133	131, 132	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
134	133	rexlimdva 3212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
135	23, 134	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
136	135	ralrimiv 3106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
137	12, 10	readdcld 10935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ∈ ℝ)
138		eleq1a 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
140	139	rexlimdva 3212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
141	140	abssdv 3998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ⊆ ℝ)
142		ovex 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ∈ V
143	142	isseti 3437	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)
144	143	rgenw 3075	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)
145		r19.2z 4422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
146	2, 144, 145	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
147		rexcom4 3179	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
148	146, 147	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
149		abn0 4311	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
150	148, 149	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ≠ ∅)
151		brralrspcev 5130	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
152	124, 136, 151	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
153		suprleub 11871	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
154	141, 150, 152, 124, 153	syl31anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
155	136, 154	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
156	19, 155	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
157		suprleub 11871	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
158	63, 79, 103, 81, 157	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
159	101, 158	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))
160	81, 124	letri3d 11047	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))))
161	156, 159, 160	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  ismblfin  35745  itg2addnc  35758  sge0resplit  43834