Theorem supadd 12174

Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul 12178. (Contributed by Brendan Leahy, 26-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
supadd.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
supadd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
supadd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
supadd.b3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)
supadd.c	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
supadd	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑏,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑏,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supadd

Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supadd.a1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		supadd.a2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		supadd.a3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		supadd.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
5		supadd.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
6		supadd.b3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)
7	4, 5, 6	suprcld 12169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))}
9	1, 2, 3, 7, 8	supaddc 12173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))}, ℝ, < ))
10	1	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℂ)
12	7	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
14	11, 13	addcomd 11400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
15	14	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
16	15	rexbidva 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
17	16	abbidv 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))} = {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)})
18	17	supeq1d 9394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + sup(𝐵, ℝ, < ))}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ))
19	9, 18	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ))
20		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
21		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
22	21	rexbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)))
23	20, 22	elab 3641	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
24	4	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ)
25	5	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
26	6	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)
27		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)}
28	24, 25, 26, 10, 27	supaddc 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)}, ℝ, < ))
29	4	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
30	29	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ ℂ)
34	31, 33	addcomd 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑎) = (𝑎 + 𝑏))
35	34	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑏 + 𝑎) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
36	35	rexbidva 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
37	36	abbidv 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)})
38	37	supeq1d 9394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑏 + 𝑎)}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ))
39	28, 38	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ))
40		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
41	40	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
42	20, 41	elab 3641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
43		rspe 3255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
44		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏))
45	44	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
46	45	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)))
47	46	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
48	40	2rexbidv 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
49	47, 48	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)))
50		supadd.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 + 𝑏)}
51	20, 49, 50	elab2 3644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
52	43, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
53	52	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ 𝐶))
54	1	sseld 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
55	4	sseld 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ ℝ))
56	54, 55	anim12d 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
57		readdcl 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ)
58	56, 57	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ))
59		eleq1a 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
60	58, 59	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
61	60	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
62	51, 61	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
63	62	ssrdv 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
64		ovex 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 + 𝑏) ∈ V
65	64	isseti 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)
66	65	rgenw 3083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)
67		r19.2z 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
68	5, 66, 67	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
69		rexcom4 3292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
70	68, 69	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
71	70	ralrimivw 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
72		r19.2z 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
73	2, 71, 72	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
74		rexcom4 3292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
75	73, 74	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
76		n0 4308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
77	51	exbii 1871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
78	76, 77	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏))
79	75, 78	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
80	1, 2, 3	suprcld 12169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	80, 7	readdcld 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
82	10	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	29	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ ℝ)
84	80	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
85	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
86	1, 2, 3	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
87		suprub 12167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
88	86, 87	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
89	88	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
90	4, 5, 6	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
91		suprub 12167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
92	90, 91	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
93	92	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
94	82, 83, 84, 85, 89, 93	le2addd 11821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))
95	94	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
96		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
97	96	biimprcd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
98	95, 97	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))))
99	98	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
100	51, 99	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
101	100	ralrimiv 3156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))
102		brralrspcev 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
103	81, 101, 102	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
104		suprub 12167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
105	104	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
106	63, 79, 103, 105	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
107	53, 106	sylan9r 517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
108	42, 107	biimtrid 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
109	108	ralrimiv 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
110	32, 30	readdcld 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ)
111		eleq1a 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
112	110, 111	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
113	112	rexlimdva 3166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
114	113	abssdv 4023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ⊆ ℝ)
115	64	isseti 3475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)
116	115	rgenw 3083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)
117		r19.2z 4456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
118	5, 116, 117	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
119		rexcom4 3292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 𝑧 = (𝑎 + 𝑏) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
120	118, 119	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
121		abn0 4341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏))
122	120, 121	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅)
123	122	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅)
124	63, 79, 103	suprcld 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
125	124	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
126		brralrspcev 5165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
127	125, 109, 126	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥)
128		suprleub 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
129	114, 123, 127, 125, 128	syl31anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
130	109, 129	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 + 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
131	39, 130	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
132		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
133	131, 132	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
134	133	rexlimdva 3166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
135	23, 134	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
136	135	ralrimiv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
137	12, 10	readdcld 11226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ∈ ℝ)
138		eleq1a 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
139	137, 138	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
140	139	rexlimdva 3166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
141	140	abssdv 4023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ⊆ ℝ)
142		ovex 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ∈ V
143	142	isseti 3475	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)
144	143	rgenw 3083	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)
145		r19.2z 4456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
146	2, 144, 145	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
147		rexcom4 3292	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎) ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
148	146, 147	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
149		abn0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎))
150	148, 149	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ≠ ∅)
151		brralrspcev 5165	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
152	124, 136, 151	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥)
153		suprleub 12172	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
154	141, 150, 152, 124, 153	syl31anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
155	136, 154	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) + 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
156	19, 155	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
157		suprleub 12172	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
158	63, 79, 103, 81, 157	syl31anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < ))))
159	101, 158	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))
160	81, 124	letri3d 11340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )))))
161	156, 159, 160	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  {cab 2743   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  supcsup 9388  ℝcr 11087   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  ismblfin  38172  itg2addnc  38185  sge0resplit  46978