Theorem reclem3pr 11080

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 11013	. . . 4 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
2	1	eqabri 2870	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
3		ltrnq 11010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q‘𝑤))
4		mulcomnq 10984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5		1nq 10959	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1Q ∈ Q
6		recclnq 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7		mulidnq 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9		recidnq 10996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q
12	11	breq1i 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((*Q‘1Q) <Q (*Q‘𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q‘𝑤))
13	3, 12	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q‘𝑤))
14		prlem936 11078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q (*Q‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
15	13, 14	sylan2b 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
16		prnmax 11026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
17	16	ad2ant2r 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18		elprnq 11022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ Q)
19	18	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ Q)
20	19	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 ∈ Q)
21		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22		ltrelnq 10957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
23	22	brel 5737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 <Q 1Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q))
24	23	simpld 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 <Q 1Q → 𝑤 ∈ Q)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 ∈ Q)
26		simp3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27		simp2r 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
28		ltrnq 11010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q‘𝑧) <Q (*Q‘𝑣))
29		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (*Q‘𝑧) ∈ V
30		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (*Q‘𝑣) ∈ V
31		ltmnq 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32		vex 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑤 ∈ V
33		mulcomnq 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 7627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → ((*Q‘𝑧) <Q (*Q‘𝑣) ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
35	28, 34	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
36	35	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
37	36	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
38		mulcomnq 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑣)) = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣)
39		recidnq 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (𝑣 ·Q (*Q‘𝑣)) = 1Q)
40	38, 39	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41		recidnq 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤)) = 1Q)
42	40, 41	oveqan12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43		vex 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑣 ∈ V
44		mulassnq 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (*Q‘𝑤) ∈ V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 7646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤))) = (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)))
47		mulidnq 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1Q ·Q 1Q) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q)
50		recclnq 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (*Q‘𝑣) ∈ Q)
51		mulclnq 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((*Q‘𝑣) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
52	50, 51	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53		recmulnq 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ↔ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ↔ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q))
55	49, 54	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)))
56	55	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴))
57	56	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴))
58	57	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
59	37, 58	anim12d 607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60		ovex 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
62		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q‘𝑦) = (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
63	62	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
64	63	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
65	61, 64	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
66	60, 65	spcev 3591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
67		ovex 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
69	68	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
70	69	exbidv 1917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
72	67, 70, 71	elab2 3669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
73	66, 72	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
74	59, 73	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
75	74	imp 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
77	22	brel 5737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
78	77	simprd 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 → 𝑧 ∈ Q)
79	78	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧 ∈ Q)
80		mulidnq 10994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
81		mulcomnq 10984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
82	80, 81	eqtr3di 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Q → 𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83		recidnq 10996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) = 1Q)
84	83	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
85		mulassnq 10990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤))
86	84, 85	eqtr3di 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
87	82, 86	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
88	79, 25, 87	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
89		oveq2 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
90	89	rspceeqv 3629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
91	76, 88, 90	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
92	91	3expia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
93	92	reximdv 3160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
94	71	reclem2pr 11079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
95		df-mp 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
96		mulclnq 10978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
97	95, 96	genpelv 11031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
98	94, 97	mpdan 685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
99	98	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
100	93, 99	sylibrd 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
101	17, 100	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
102	15, 101	rexlimddv 3151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
103	102	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 <Q 1Q → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
104	2, 103	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ 1P → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
105	104	ssrdv 3984	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  {cab 2703  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Qcnq 10883  1_Qc1q 10884   ·_Q cmq 10887  *_Qcrq 10888   <_Q cltq 10889  Pcnp 10890  1_Pc1p 10891   ·_P cmp 10893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ni 10903  df-pli 10904  df-mi 10905  df-lti 10906  df-plpq 10939  df-mpq 10940  df-ltpq 10941  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-plq 10945  df-mq 10946  df-1nq 10947  df-rq 10948  df-ltnq 10949  df-np 11012  df-1p 11013  df-mp 11015

This theorem is referenced by:  reclem4pr  11081