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Theorem reclem3pr 11087
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem3pr (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 11020 . . . 4 1P = {𝑤𝑤 <Q 1Q}
21eqabri 2883 . . 3 (𝑤 ∈ 1P𝑤 <Q 1Q)
3 ltrnq 11017 . . . . . . 7 (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤))
4 mulcomnq 10991 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5 1nq 10966 . . . . . . . . . 10 1QQ
6 recclnq 11004 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7 mulidnq 11001 . . . . . . . . . 10 ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9 recidnq 11003 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
114, 8, 103eqtr3i 2771 . . . . . . . 8 (*Q‘1Q) = 1Q
1211breq1i 5155 . . . . . . 7 ((*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
133, 12bitri 275 . . . . . 6 (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
14 prlem936 11085 . . . . . 6 ((𝐴P ∧ 1Q <Q (*Q𝑤)) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
1513, 14sylan2b 594 . . . . 5 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
16 prnmax 11033 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑣𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
1716ad2ant2r 747 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18 elprnq 11029 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑣𝐴) → 𝑣Q)
1918ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣Q)
20193adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣Q)
21 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22 ltrelnq 10964 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
2322brel 5754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 <Q 1Q → (𝑤Q ∧ 1QQ))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 <Q 1Q𝑤Q)
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤Q)
26 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27 simp2r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
28 ltrnq 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q𝑧) <Q (*Q𝑣))
29 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑧) ∈ V
30 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑣) ∈ V
31 ltmnq 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ V
33 mulcomnq 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 7645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → ((*Q𝑧) <Q (*Q𝑣) ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3528, 34bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3736biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
38 mulcomnq 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = ((*Q𝑣) ·Q 𝑣)
39 recidnq 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣Q → (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = 1Q)
4038, 39eqtr3id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → ((*Q𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41 recidnq 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤Q → (𝑤 ·Q (*Q𝑤)) = 1Q)
4240, 41oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑣 ∈ V
44 mulassnq 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (*Q𝑤) ∈ V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 7664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
47 mulidnq 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1QQ → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
485, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q)
50 recclnq 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (*Q𝑣) ∈ Q)
51 mulclnq 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((*Q𝑣) ∈ Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
5250, 51sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53 recmulnq 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5549, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣Q𝑤Q) → (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
5655eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5756notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5857biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
5937, 58anim12d 609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
62 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q𝑦) = (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
6362eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6463notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6561, 64anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
6660, 65spcev 3606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
67 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
6968anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
7069exbidv 1919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
7267, 70, 71elab2 3685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
7366, 72sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7459, 73syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
7574imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣Q𝑤Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7722brel 5754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣Q𝑧Q))
7877simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 <Q 𝑧𝑧Q)
79783ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧Q)
80 mulidnq 11001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
81 mulcomnq 10991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
8280, 81eqtr3di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤Q𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83 recidnq 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑧 ·Q (*Q𝑧)) = 1Q)
8483oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
85 mulassnq 10997 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))
8684, 85eqtr3di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8782, 86sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧Q𝑤Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8879, 25, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
89 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
9089rspceeqv 3645 . . . . . . . . . 10 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
9176, 88, 90syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
92913expia 1120 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9392reximdv 3168 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9471reclem2pr 11086 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐵P)
95 df-mp 11022 . . . . . . . . . 10 ·P = (𝑦P, 𝑤P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓𝑦𝑔𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
96 mulclnq 10985 . . . . . . . . . 10 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
9795, 96genpelv 11038 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝐵P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9894, 97mpdan 687 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9998ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
10093, 99sylibrd 259 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
10117, 100mpd 15 . . . . 5 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
10215, 101rexlimddv 3159 . . . 4 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
103102ex 412 . . 3 (𝐴P → (𝑤 <Q 1Q𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
1042, 103biimtrid 242 . 2 (𝐴P → (𝑤 ∈ 1P𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
105104ssrdv 4001 1 (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Qcnq 10890  1Qc1q 10891   ·Q cmq 10894  *Qcrq 10895   <Q cltq 10896  Pcnp 10897  1Pc1p 10898   ·P cmp 10900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-1p 11020  df-mp 11022
This theorem is referenced by:  reclem4pr  11088
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