Theorem reclem3pr 11051

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 10984	. . . 4 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
2	1	eqabri 2907	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
3		ltrnq 10981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q‘𝑤))
4		mulcomnq 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5		1nq 10930	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1Q ∈ Q
6		recclnq 10968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7		mulidnq 10965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9		recidnq 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q
12	11	breq1i 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((*Q‘1Q) <Q (*Q‘𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q‘𝑤))
13	3, 12	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q‘𝑤))
14		prlem936 11049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q (*Q‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
15	13, 14	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
16		prnmax 10997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
17	16	ad2ant2r 760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18		elprnq 10993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ Q)
19	18	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ Q)
20	19	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 ∈ Q)
21		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22		ltrelnq 10928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
23	22	brel 5728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 <Q 1Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q))
24	23	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 <Q 1Q → 𝑤 ∈ Q)
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 ∈ Q)
26		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
28		ltrnq 10981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q‘𝑧) <Q (*Q‘𝑣))
29		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (*Q‘𝑧) ∈ V
30		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (*Q‘𝑣) ∈ V
31		ltmnq 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑤 ∈ V
33		mulcomnq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 7632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → ((*Q‘𝑧) <Q (*Q‘𝑣) ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
35	28, 34	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
37	36	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
38		mulcomnq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑣)) = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣)
39		recidnq 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (𝑣 ·Q (*Q‘𝑣)) = 1Q)
40	38, 39	eqtr3id 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41		recidnq 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤)) = 1Q)
42	40, 41	oveqan12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑣 ∈ V
44		mulassnq 10961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (*Q‘𝑤) ∈ V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 7651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤))) = (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)))
47		mulidnq 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1Q ·Q 1Q) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q)
50		recclnq 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (*Q‘𝑣) ∈ Q)
51		mulclnq 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((*Q‘𝑣) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
52	50, 51	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53		recmulnq 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ↔ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ↔ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q))
55	49, 54	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)))
56	55	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴))
57	56	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴))
58	57	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
59	37, 58	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60		ovex 7452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
62		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q‘𝑦) = (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
63	62	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
64	63	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
65	61, 64	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
66	60, 65	spcev 3567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
67		ovex 7452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
69	68	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
70	69	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
72	67, 70, 71	elab2 3643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
73	66, 72	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
74	59, 73	syl6 36	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
75	74	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
77	22	brel 5728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
78	77	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 → 𝑧 ∈ Q)
79	78	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧 ∈ Q)
80		mulidnq 10965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
81		mulcomnq 10955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
82	80, 81	eqtr3di 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Q → 𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83		recidnq 10967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) = 1Q)
84	83	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
85		mulassnq 10961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤))
86	84, 85	eqtr3di 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
87	82, 86	sylan9eqr 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
88	79, 25, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
89		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
90	89	rspceeqv 3606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
91	76, 88, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
92	91	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
93	92	reximdv 3182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
94	71	reclem2pr 11050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
95		df-mp 10986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
96		mulclnq 10949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
97	95, 96	genpelv 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
98	94, 97	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
99	98	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
100	93, 99	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
101	17, 100	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
102	15, 101	rexlimddv 3174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
103	102	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 <Q 1Q → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
104	2, 103	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ 1P → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
105	104	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Qcnq 10854  1_Qc1q 10855   ·_Q cmq 10858  *_Qcrq 10859   <_Q cltq 10860  Pcnp 10861  1_Pc1p 10862   ·_P cmp 10864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10874  df-pli 10875  df-mi 10876  df-lti 10877  df-plpq 10910  df-mpq 10911  df-ltpq 10912  df-enq 10913  df-nq 10914  df-erq 10915  df-plq 10916  df-mq 10917  df-1nq 10918  df-rq 10919  df-ltnq 10920  df-np 10983  df-1p 10984  df-mp 10986

This theorem is used by:  reclem4pr  11052