Theorem reclem3pr 11173

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem3pr	⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 11106	. . . 4 ⊢ 1P = {𝑤 ∣ 𝑤 <Q 1Q}
2	1	eqabri 2906	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ 1P ↔ 𝑤 <Q 1Q)
3		ltrnq 11103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q‘𝑤))
4		mulcomnq 11077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5		1nq 11052	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1Q ∈ Q
6		recclnq 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7		mulidnq 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9		recidnq 11089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
11	4, 8, 10	3eqtr3i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q
12	11	breq1i 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((*Q‘1Q) <Q (*Q‘𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q‘𝑤))
13	3, 12	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q‘𝑤))
14		prlem936 11171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q (*Q‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
15	13, 14	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
16		prnmax 11119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
17	16	ad2ant2r 760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18		elprnq 11115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ Q)
19	18	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ Q)
20	19	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 ∈ Q)
21		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22		ltrelnq 11050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
23	22	brel 5723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 <Q 1Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q))
24	23	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 <Q 1Q → 𝑤 ∈ Q)
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 ∈ Q)
26		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)
28		ltrnq 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q‘𝑧) <Q (*Q‘𝑣))
29		fvex 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (*Q‘𝑧) ∈ V
30		fvex 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (*Q‘𝑣) ∈ V
31		ltmnq 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑤 ∈ V
33		mulcomnq 11077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
34	29, 30, 31, 32, 33	caovord2 7665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → ((*Q‘𝑧) <Q (*Q‘𝑣) ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
35	28, 34	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
37	36	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
38		mulcomnq 11077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑣)) = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣)
39		recidnq 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (𝑣 ·Q (*Q‘𝑣)) = 1Q)
40	38, 39	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41		recidnq 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤)) = 1Q)
42	40, 41	oveqan12d 7470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑣 ∈ V
44		mulassnq 11083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45		fvex 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (*Q‘𝑤) ∈ V
46	30, 43, 32, 33, 44, 45	caov4 7684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑤))) = (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)))
47		mulidnq 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
48	5, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1Q ·Q 1Q) = 1Q
49	42, 46, 48	3eqtr3g 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q)
50		recclnq 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (*Q‘𝑣) ∈ Q)
51		mulclnq 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((*Q‘𝑣) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
52	50, 51	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53		recmulnq 11088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ↔ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ↔ (((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤))) = 1Q))
55	49, 54	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)))
56	55	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴))
57	56	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴))
58	57	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
59	37, 58	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60		ovex 7484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
62		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q‘𝑦) = (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)))
63	62	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
64	63	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
65	61, 64	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
66	60, 65	spcev 3564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
67		ovex 7484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
69	68	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
70	69	exbidv 1956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
71		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
72	67, 70, 71	elab2 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
73	66, 72	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q‘𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
74	59, 73	syl6 36	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
75	74	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
76	20, 25, 26, 27, 75	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
77	22	brel 5723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
78	77	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 <Q 𝑧 → 𝑧 ∈ Q)
79	78	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧 ∈ Q)
80		mulidnq 11087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
81		mulcomnq 11077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
82	80, 81	eqtr3di 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Q → 𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83		recidnq 11089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) = 1Q)
84	83	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
85		mulassnq 11083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤))
86	84, 85	eqtr3di 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
87	82, 86	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
88	79, 25, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
89		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤)))
90	89	rspceeqv 3602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
91	76, 88, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
92	91	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
93	92	reximdv 3181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
94	71	reclem2pr 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)
95		df-mp 11108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ·P = (𝑦 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑦 ∃𝑔 ∈ 𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
96		mulclnq 11071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
97	95, 96	genpelv 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
98	94, 97	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
99	98	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
100	93, 99	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
101	17, 100	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q‘𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
102	15, 101	rexlimddv 3173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
103	102	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 <Q 1Q → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
104	2, 103	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ 1P → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
105	104	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Qcnq 10976  1_Qc1q 10977   ·_Q cmq 10980  *_Qcrq 10981   <_Q cltq 10982  Pcnp 10983  1_Pc1p 10984   ·_P cmp 10986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ni 10996  df-pli 10997  df-mi 10998  df-lti 10999  df-plpq 11032  df-mpq 11033  df-ltpq 11034  df-enq 11035  df-nq 11036  df-erq 11037  df-plq 11038  df-mq 11039  df-1nq 11040  df-rq 11041  df-ltnq 11042  df-np 11105  df-1p 11106  df-mp 11108

This theorem is used by:  reclem4pr  11174