MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem3pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclem3pr 11080
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem3pr (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 11013 . . . 4 1P = {𝑤𝑤 <Q 1Q}
21eqabri 2870 . . 3 (𝑤 ∈ 1P𝑤 <Q 1Q)
3 ltrnq 11010 . . . . . . 7 (𝑤 <Q 1Q ↔ (*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤))
4 mulcomnq 10984 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
5 1nq 10959 . . . . . . . . . 10 1QQ
6 recclnq 10997 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (*Q‘1Q) ∈ Q)
7 mulidnq 10994 . . . . . . . . . 10 ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
9 recidnq 10996 . . . . . . . . . 10 (1QQ → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
114, 8, 103eqtr3i 2762 . . . . . . . 8 (*Q‘1Q) = 1Q
1211breq1i 5150 . . . . . . 7 ((*Q‘1Q) <Q (*Q𝑤) ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
133, 12bitri 274 . . . . . 6 (𝑤 <Q 1Q ↔ 1Q <Q (*Q𝑤))
14 prlem936 11078 . . . . . 6 ((𝐴P ∧ 1Q <Q (*Q𝑤)) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
1513, 14sylan2b 592 . . . . 5 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → ∃𝑣𝐴 ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
16 prnmax 11026 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑣𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
1716ad2ant2r 745 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧)
18 elprnq 11022 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑣𝐴) → 𝑣Q)
1918ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑣Q)
20193adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣Q)
21 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 <Q 1Q)
22 ltrelnq 10957 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
2322brel 5737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 <Q 1Q → (𝑤Q ∧ 1QQ))
2423simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 <Q 1Q𝑤Q)
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤Q)
26 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑣 <Q 𝑧)
27 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)
28 ltrnq 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 <Q 𝑧 ↔ (*Q𝑧) <Q (*Q𝑣))
29 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑧) ∈ V
30 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (*Q𝑣) ∈ V
31 ltmnq 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑢 ·Q 𝑥) <Q (𝑢 ·Q 𝑦)))
32 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 ∈ V
33 mulcomnq 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → ((*Q𝑧) <Q (*Q𝑣) ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3528, 34bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤Q → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
3736biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (𝑣 <Q 𝑧 → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
38 mulcomnq 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = ((*Q𝑣) ·Q 𝑣)
39 recidnq 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣Q → (𝑣 ·Q (*Q𝑣)) = 1Q)
4038, 39eqtr3id 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → ((*Q𝑣) ·Q 𝑣) = 1Q)
41 recidnq 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤Q → (𝑤 ·Q (*Q𝑤)) = 1Q)
4240, 41oveqan12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (1Q ·Q 1Q))
43 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑣 ∈ V
44 mulassnq 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑦) ·Q 𝑢) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q 𝑢))
45 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (*Q𝑤) ∈ V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 7646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑣) ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑤))) = (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
47 mulidnq 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1QQ → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
485, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q)
50 recclnq 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (*Q𝑣) ∈ Q)
51 mulclnq 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((*Q𝑣) ∈ Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
5250, 51sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q)
53 recmulnq 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ Q → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ↔ (((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ·Q (𝑣 ·Q (*Q𝑤))) = 1Q))
5549, 54mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣Q𝑤Q) → (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) = (𝑣 ·Q (*Q𝑤)))
5655eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣Q𝑤Q) → ((*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5756notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴))
5857biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣Q𝑤Q) → (¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴 → ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
5937, 58anim12d 607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
60 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∈ V
61 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
62 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (*Q𝑦) = (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)))
6362eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6463notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴))
6561, 64anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) → ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴)))
6660, 65spcev 3591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
67 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ V
68 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦))
6968anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
7069exbidv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
7267, 70, 71elab2 3669 . . . . . . . . . . . . . 14 (((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
7366, 72sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) <Q ((*Q𝑣) ·Q 𝑤) ∧ ¬ (*Q‘((*Q𝑣) ·Q 𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7459, 73syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣Q𝑤Q) → ((𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵))
7574imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣Q𝑤Q) ∧ (𝑣 <Q 𝑧 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵)
7722brel 5737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 <Q 𝑧 → (𝑣Q𝑧Q))
7877simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 <Q 𝑧𝑧Q)
79783ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑧Q)
80 mulidnq 10994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
81 mulcomnq 10984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ·Q 1Q) = (1Q ·Q 𝑤)
8280, 81eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤Q𝑤 = (1Q ·Q 𝑤))
83 recidnq 10996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑧 ·Q (*Q𝑧)) = 1Q)
8483oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (1Q ·Q 𝑤))
85 mulassnq 10990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ·Q (*Q𝑧)) ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))
8684, 85eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Q → (1Q ·Q 𝑤) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8782, 86sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧Q𝑤Q) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
8879, 25, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → 𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
89 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((*Q𝑧) ·Q 𝑤) → (𝑧 ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤)))
9089rspceeqv 3629 . . . . . . . . . 10 ((((*Q𝑧) ·Q 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = (𝑧 ·Q ((*Q𝑧) ·Q 𝑤))) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
9176, 88, 90syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 <Q 𝑧) → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥))
92913expia 1118 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9392reximdv 3160 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧 → ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9471reclem2pr 11079 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐵P)
95 df-mp 11015 . . . . . . . . . 10 ·P = (𝑦P, 𝑤P ↦ {𝑢 ∣ ∃𝑓𝑦𝑔𝑤 𝑢 = (𝑓 ·Q 𝑔)})
96 mulclnq 10978 . . . . . . . . . 10 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 ·Q 𝑔) ∈ Q)
9795, 96genpelv 11031 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝐵P) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9894, 97mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
9998ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑥𝐵 𝑤 = (𝑧 ·Q 𝑥)))
10093, 99sylibrd 258 . . . . . 6 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → (∃𝑧𝐴 𝑣 <Q 𝑧𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
10117, 100mpd 15 . . . . 5 (((𝐴P𝑤 <Q 1Q) ∧ (𝑣𝐴 ∧ ¬ (𝑣 ·Q (*Q𝑤)) ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
10215, 101rexlimddv 3151 . . . 4 ((𝐴P𝑤 <Q 1Q) → 𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵))
103102ex 411 . . 3 (𝐴P → (𝑤 <Q 1Q𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
1042, 103biimtrid 241 . 2 (𝐴P → (𝑤 ∈ 1P𝑤 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
105104ssrdv 3984 1 (𝐴P → 1P ⊆ (𝐴 ·P 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2703  wrex 3060  wss 3946   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7413  Qcnq 10883  1Qc1q 10884   ·Q cmq 10887  *Qcrq 10888   <Q cltq 10889  Pcnp 10890  1Pc1p 10891   ·P cmp 10893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ni 10903  df-pli 10904  df-mi 10905  df-lti 10906  df-plpq 10939  df-mpq 10940  df-ltpq 10941  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-plq 10945  df-mq 10946  df-1nq 10947  df-rq 10948  df-ltnq 10949  df-np 11012  df-1p 11013  df-mp 11015
This theorem is referenced by:  reclem4pr  11081
  Copyright terms: Public domain W3C validator