MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supaddc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supaddc 12219
Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul1 12221. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
supadd.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supaddc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supaddc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supaddc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supaddc
Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
2 oveq1 7433 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝐵) = (𝑎 + 𝐵))
32eqeq2d 2739 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝐵)))
43cbvrexvw 3233 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵))
5 eqeq1 2732 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
65rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
74, 6bitrid 282 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
8 supaddc.c . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
91, 7, 8elab2 3673 . . . . . 6 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
10 supadd.a1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 supadd.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
13 supadd.a3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1410, 12, 13suprcld 12215 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1514adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16 supaddc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1810, 12, 133jca 1125 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
19 suprub 12213 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2018, 19sylan 578 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2111, 15, 17, 20leadd1dd 11866 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
22 breq1 5155 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2321, 22syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2423rexlimdva 3152 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
259, 24biimtrid 241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2625ralrimiv 3142 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
2711, 17readdcld 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
28 eleq1a 2824 . . . . . . . . 9 ((𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
3029rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
319, 30biimtrid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3231ssrdv 3988 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
33 ovex 7459 . . . . . . . . 9 (𝑎 + 𝐵) ∈ V
3433isseti 3489 . . . . . . . 8 𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
3534rgenw 3062 . . . . . . 7 𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
36 r19.2z 4498 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
3712, 35, 36sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
389exbii 1842 . . . . . . 7 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
39 n0 4350 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
40 rexcom4 3283 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4138, 39, 403bitr4i 302 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4237, 41sylibr 233 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
4314, 16readdcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ)
44 brralrspcev 5212 . . . . . 6 (((sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
4543, 26, 44syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
46 suprleub 12218 . . . . 5 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4732, 42, 45, 43, 46syl31anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4826, 47mpbird 256 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
4932, 42, 45suprcld 12215 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5049, 16, 14ltsubaddd 11848 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
5150biimpar 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ))
5249, 16resubcld 11680 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ)
53 suprlub 12216 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5410, 12, 13, 52, 53syl31anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5554adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5651, 55mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
5727adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
5849ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
59 rspe 3244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6059, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → 𝑤𝐶)
6160adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → 𝑤𝐶)
62 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6332, 42, 453jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
64 suprub 12213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6563, 64sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6762, 66eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6861, 67mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6968expr 455 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7069exlimdv 1928 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7134, 70mpi 20 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7271adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7357, 58, 72lensymd 11403 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵))
7416ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7511adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
7658, 74, 75ltsubaddd 11848 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵)))
7773, 76mtbird 324 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
7877nrexdv 3146 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ¬ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
7956, 78pm2.65da 815 . . 3 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8049, 43eqleltd 11396 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))))
8148, 79, 80mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8281eqcomd 2734 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2705  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3949  c0 4326   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  supcsup 9471  cr 11145   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485
This theorem is referenced by:  supadd  12220  supsubc  44764
  Copyright terms: Public domain W3C validator