MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supaddc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supaddc 11823
Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul1 11825. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
supadd.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supaddc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supaddc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supaddc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supaddc
Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3424 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
2 oveq1 7238 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝐵) = (𝑎 + 𝐵))
32eqeq2d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝐵)))
43cbvrexvw 3371 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵))
5 eqeq1 2742 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
65rexbidv 3224 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
74, 6syl5bb 286 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
8 supaddc.c . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
91, 7, 8elab2 3603 . . . . . 6 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
10 supadd.a1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110sselda 3915 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 supadd.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
13 supadd.a3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1410, 12, 13suprcld 11819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16 supaddc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1716adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1810, 12, 133jca 1130 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
19 suprub 11817 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2018, 19sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2111, 15, 17, 20leadd1dd 11470 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
22 breq1 5070 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2321, 22syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2423rexlimdva 3211 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
259, 24syl5bi 245 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2625ralrimiv 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
2711, 17readdcld 10886 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
28 eleq1a 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
3029rexlimdva 3211 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
319, 30syl5bi 245 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3231ssrdv 3921 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
33 ovex 7264 . . . . . . . . 9 (𝑎 + 𝐵) ∈ V
3433isseti 3435 . . . . . . . 8 𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
3534rgenw 3074 . . . . . . 7 𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
36 r19.2z 4420 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
3712, 35, 36sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
389exbii 1855 . . . . . . 7 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
39 n0 4275 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
40 rexcom4 3178 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4138, 39, 403bitr4i 306 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4237, 41sylibr 237 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
4314, 16readdcld 10886 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ)
44 brralrspcev 5127 . . . . . 6 (((sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
4543, 26, 44syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
46 suprleub 11822 . . . . 5 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4732, 42, 45, 43, 46syl31anc 1375 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4826, 47mpbird 260 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
4932, 42, 45suprcld 11819 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5049, 16, 14ltsubaddd 11452 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
5150biimpar 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ))
5249, 16resubcld 11284 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ)
53 suprlub 11820 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5410, 12, 13, 52, 53syl31anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5554adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5651, 55mpbid 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
5727adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
5849ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
59 rspe 3231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6059, 9sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → 𝑤𝐶)
6160adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → 𝑤𝐶)
62 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6332, 42, 453jca 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
64 suprub 11817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6563, 64sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6665adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6762, 66eqbrtrrd 5091 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6861, 67mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6968expr 460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7069exlimdv 1941 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7134, 70mpi 20 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7271adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7357, 58, 72lensymd 11007 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵))
7416ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7511adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
7658, 74, 75ltsubaddd 11452 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵)))
7773, 76mtbird 328 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
7877nrexdv 3196 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ¬ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
7956, 78pm2.65da 817 . . 3 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8049, 43eqleltd 11000 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))))
8148, 79, 80mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8281eqcomd 2744 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2111  {cab 2715  wne 2941  wral 3062  wrex 3063  wss 3880  c0 4251   class class class wbr 5067  (class class class)co 7231  supcsup 9080  cr 10752   + caddc 10756   < clt 10891  cle 10892  cmin 11086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4834  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-id 5469  df-po 5482  df-so 5483  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-er 8411  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-sup 9082  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089
This theorem is referenced by:  supadd  11824  supsubc  42593
  Copyright terms: Public domain W3C validator