MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supaddc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supaddc 12235
Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul1 12237. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
supadd.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supaddc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supaddc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supaddc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supaddc
Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3484 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
2 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝐵) = (𝑎 + 𝐵))
32eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝐵)))
43cbvrexvw 3238 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵))
5 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
65rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
74, 6bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
8 supaddc.c . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
91, 7, 8elab2 3682 . . . . . 6 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
10 supadd.a1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 supadd.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
13 supadd.a3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
1410, 12, 13suprcld 12231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16 supaddc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1810, 12, 133jca 1129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
19 suprub 12229 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2018, 19sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2111, 15, 17, 20leadd1dd 11877 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
22 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2321, 22syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2423rexlimdva 3155 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
259, 24biimtrid 242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2625ralrimiv 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
2711, 17readdcld 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
28 eleq1a 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
3029rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
319, 30biimtrid 242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3231ssrdv 3989 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
33 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑎 + 𝐵) ∈ V
3433isseti 3498 . . . . . . . 8 𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
3534rgenw 3065 . . . . . . 7 𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
36 r19.2z 4495 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
3712, 35, 36sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
389exbii 1848 . . . . . . 7 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
39 n0 4353 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
40 rexcom4 3288 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4138, 39, 403bitr4i 303 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4237, 41sylibr 234 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
4314, 16readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ)
44 brralrspcev 5203 . . . . . 6 (((sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
4543, 26, 44syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
46 suprleub 12234 . . . . 5 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4732, 42, 45, 43, 46syl31anc 1375 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4826, 47mpbird 257 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
4932, 42, 45suprcld 12231 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5049, 16, 14ltsubaddd 11859 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
5150biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ))
5249, 16resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ)
53 suprlub 12232 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5410, 12, 13, 52, 53syl31anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5554adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5651, 55mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
5727adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
5849ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
59 rspe 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6059, 9sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → 𝑤𝐶)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → 𝑤𝐶)
62 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6332, 42, 453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
64 suprub 12229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6563, 64sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6665adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6762, 66eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6861, 67mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6968expr 456 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7069exlimdv 1933 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7134, 70mpi 20 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7271adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7357, 58, 72lensymd 11412 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵))
7416ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7511adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
7658, 74, 75ltsubaddd 11859 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵)))
7773, 76mtbird 325 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
7877nrexdv 3149 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ¬ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
7956, 78pm2.65da 817 . . 3 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8049, 43eqleltd 11405 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))))
8148, 79, 80mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8281eqcomd 2743 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  supadd  12236  supsubc  45364
  Copyright terms: Public domain W3C validator