Theorem supaddc 12262

Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul1 12264. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
supadd.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
supaddc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supaddc.c	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
supaddc	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supaddc

Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝐵) = (𝑎 + 𝐵))
3	2	eqeq2d 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝐵)))
4	3	cbvrexvw 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵))
5		eqeq1 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
6	5	rexbidv 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
8		supaddc.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
9	1, 7, 8	elab2 3698	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
10		supadd.a1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
12		supadd.a2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
13		supadd.a3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
14	10, 12, 13	suprcld 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16		supaddc.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	10, 12, 13	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
19		suprub 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
20	18, 19	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
21	11, 15, 17, 20	leadd1dd 11904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
22		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
23	21, 22	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
24	23	rexlimdva 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
25	9, 24	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
26	25	ralrimiv 3151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
27	11, 17	readdcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
28		eleq1a 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
30	29	rexlimdva 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
31	9, 30	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
32	31	ssrdv 4014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
33		ovex 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 + 𝐵) ∈ V
34	33	isseti 3506	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
35	34	rgenw 3071	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
36		r19.2z 4518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
37	12, 35, 36	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
38	9	exbii 1846	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
39		n0 4376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
40		rexcom4 3294	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
41	38, 39, 40	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
42	37, 41	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
43	14, 16	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ)
44		brralrspcev 5226	. . . . . 6 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
45	43, 26, 44	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
46		suprleub 12261	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
47	32, 42, 45, 43, 46	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
48	26, 47	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
49	32, 42, 45	suprcld 12258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
50	49, 16, 14	ltsubaddd 11886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
51	50	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ))
52	49, 16	resubcld 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ)
53		suprlub 12259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
54	10, 12, 13, 52, 53	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
56	51, 55	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
57	27	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
58	49	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
59		rspe 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
60	59, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐶)
62		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
63	32, 42, 45	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
64		suprub 12256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
65	63, 64	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
66	65	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
67	62, 66	eqbrtrrd 5190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
68	61, 67	mpdan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
69	68	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
70	69	exlimdv 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
71	34, 70	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
72	71	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
73	57, 58, 72	lensymd 11441	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵))
74	16	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
75	11	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
76	58, 74, 75	ltsubaddd 11886	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵)))
77	73, 76	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
78	77	nrexdv 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
79	56, 78	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
80	49, 43	eqleltd 11434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))))
81	48, 79, 80	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
82	81	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  supadd  12263  supsubc  45268