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Theorem mertenslem1 15825
Description: Lemma for mertens 15827. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
mertens.12 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
mertens.13 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
Assertion
Ref Expression
mertenslem1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝑡,𝑘,𝐴,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑤,𝑗,𝑇,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,𝑛,𝑠)   𝜓(𝑤,𝑠)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑗)   𝐵(𝑤,𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤,𝑡,𝑘,𝑠)   𝐺(𝑤,𝑡)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem mertenslem1
StepHypRef Expression
1 mertens.12 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
21simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝜓)
3 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
54simpld 496 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12527 . . 3 (𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
71simprd 497 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
87simpld 496 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 12531 . 2 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0)
10 fzfid 13933 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) ∈ Fin)
11 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝜑)
12 elfznn0 13589 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))
16 fznn0sub 13528 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
1716adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 12507 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 12579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
21 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
22 eluznn0 12896 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2319, 22sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 mertens.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
2521, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
26 mertens.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
2721, 23, 26syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 mertens.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
30 nn0uz 12859 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
31 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝜑)
3224, 26eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3331, 32sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3430, 19, 33iserex 15598 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
3529, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3615, 20, 25, 27, 35isumcl 15702 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
3714, 36mulcld 11229 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3810, 37fsumcl 15674 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 15378 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4037abscld 15378 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 15675 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
42 mertens.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 13011 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4443adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℝ)
4510, 37fsumabs 15742 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
46 fzfid 13933 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ∈ Fin)
476adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 12530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ≤ 𝑠)
49 eluzelz 12827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → 𝑚 ∈ ℤ)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5150zred 12661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℝ)
5247nn0red 12528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℝ)
5351, 52subge02d 11801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0 ≤ 𝑠 ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
5448, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ≤ 𝑚)
5547, 30eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
565nnzd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
57 uzid 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
59 uzaddcl 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
6058, 8, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑠) = (ℤ𝑠)
6261uztrn2 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
6360, 62sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
64 elfzuzb 13490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑠 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)))
6555, 63, 64sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (0...𝑚))
66 fznn0sub2 13603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
68 elfzelz 13496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
70 eluz 12831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑠) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7169, 50, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7254, 71mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)))
73 fzss2 13536 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7574sselda 3980 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
7613abscld 15378 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7711, 12, 76syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7836abscld 15378 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
7977, 78remulcld 11239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8075, 79syldan 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8146, 80fsumrecl 15675 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
82 fzfid 13933 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin)
83 elfznn0 13589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
85 peano2nn0 12507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑠) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8786, 30eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0))
88 fzss1 13535 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
9089sselda 3980 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
9190, 79syldan 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9282, 91fsumrecl 15675 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9342rphalfcld 13023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
9493rpred 13011 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
9594adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
96 elfznn0 13589 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
9711, 96, 76syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9846, 97fsumrecl 15675 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9998, 95remulcld 11239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
100 0zd 12565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
101 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
102 mertens.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
103102, 76eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
104 mertens.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
10530, 100, 101, 103, 104isumrecl 15706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
10613absge0d 15386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
107106, 102breqtrrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
10830, 100, 101, 103, 104, 107isumge0 15707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
109105, 108ge0p1rpd 13041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
110109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
11199, 110rerpdivcld 13042 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11293, 109rpdivcld 13028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
113112rpred 13011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11597, 114remulcld 11239 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) ∈ ℝ)
11675, 20syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
117 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
11875, 19syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
119118, 22sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120117, 119, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
121117, 119, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12275, 35syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
12315, 116, 120, 121, 122isumcl 15702 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
124123abscld 15378 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
12576, 106jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12611, 96, 125syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
127120sumeq2dv 15644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
128127fveq2d 6891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
129 fvoveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)))
130129sumeq1d 15642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚𝑗) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
131130fveq2d 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
132131breq1d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
1334simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
134133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
135 elfzelz 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℤ)
136135adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℤ)
137136zred 12661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℝ)
13849ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℤ)
139138zred 12661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℝ)
14056ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
141140zred 12661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℝ)
142 elfzle2 13500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
143142adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
144137, 139, 141, 143lesubd 11813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ≤ (𝑚𝑗))
145138, 136zsubcld 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ ℤ)
146 eluz 12831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑗) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
147140, 145, 146syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
148144, 147mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠))
149132, 134, 148rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
150128, 149eqbrtrrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
151124, 114, 150ltled 11357 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
152 lemul2a 12064 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
153124, 114, 126, 151, 152syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15446, 80, 115, 153fsumle 15740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15598recnd 11237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℂ)
15693rpcnd 13013 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
157156adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
158 peano2re 11382 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
159105, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
160159recnd 11237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
161160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
162109rpne0d 13016 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
163162adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
164155, 157, 161, 163divassd 12020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
165 fveq2 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
166165cbvsumv 15637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗)
167166oveq1i 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)
168167oveq2i 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
169168, 112eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
170169rpcnd 13013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
171170adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
17276recnd 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17311, 96, 172syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17446, 171, 173fsummulc1 15726 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))))
175168oveq2i 7414 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
176168oveq2i 7414 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
178177sumeq2i 15640 . . . . . . . . . 10 Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
179174, 175, 1783eqtr3g 2796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
180164, 179eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
181154, 180breqtrrd 5174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
182105adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
183159adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
184 0zd 12565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ∈ ℤ)
185 fz0ssnn0 13591 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0)
187102adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
18876adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
189106adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
190104adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
19130, 184, 46, 186, 187, 188, 189, 190isumless 15786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
192102sumeq2dv 15644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
193192adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
194191, 193breqtrrd 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
195105ltp1d 12139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
196195adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19798, 182, 183, 194, 196lelttrd 11367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19893rpregt0d 13017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
199198adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
200 ltmul1 12059 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20198, 183, 199, 200syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
202197, 201mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2)))
203109rpregt0d 13017 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
204203adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
205 ltdivmul 12084 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20699, 95, 204, 205syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
207202, 206mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2))
20881, 111, 95, 181, 207lelttrd 11367 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
209 mertens.13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
210209simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
211 suprcl 12169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21394, 212remulcld 11239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
214209simpld 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
215212, 214ge0p1rpd 13041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
216213, 215rerpdivcld 13042 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
217216adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
2185nnrpd 13009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℝ+)
21993, 218rpdivcld 13028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
220219, 215rpdivcld 13028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
221220rpred 13011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
222221, 212remulcld 11239 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
223222ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
224 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝜑)
22590, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
226224, 225, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
227221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
228224, 225, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
229 fveq2 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝑗))
230229breq1d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
2317simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
232231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
233 elfzuz 13492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)))
234 eluzle 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
235234adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
2368nn0zd 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
237236adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
238237zred 12661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℝ)
23952, 238, 51leaddsub2d 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
240235, 239mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ≤ (𝑚𝑠))
241 eluz 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
242237, 69, 241syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
243240, 242mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡))
244 peano2uz 12880 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
246 uztrn 12835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)) ∧ ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
247233, 245, 246syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
248230, 232, 247rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
249228, 248eqbrtrrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
250226, 227, 249ltled 11357 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
251210ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
25251adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
253 peano2zm 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
25456, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
255254zred 12661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
256255ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
257225nn0red 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℝ)
25850zcnd 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℂ)
25952recnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℂ)
260 1cnd 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℂ)
261258, 259, 260subsubd 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
262261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
263 elfzle1 13499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
264263adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
265262, 264eqbrtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) ≤ 𝑗)
266252, 256, 257, 265subled 11812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1))
26790, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
268267, 30eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0))
269254ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
270 elfz5 13488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑠 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
271268, 269, 270syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
272266, 271mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)))
273 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
27490, 19syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
275274, 22sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
276273, 275, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
277276sumeq2dv 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
278277eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
279278fveq2d 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
280131rspceeqv 3631 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
281272, 279, 280syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
282 fvex 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ V
283 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
284283rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
285 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
286282, 284, 285elab2 3670 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
287281, 286sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇)
288 suprub 12170 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
289251, 287, 288syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
290224, 225, 125syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
29190, 78syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
29236absge0d 15386 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
29390, 292syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
294291, 293jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
295212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
296 lemul12a 12067 . . . . . . . . . . 11 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
297290, 227, 294, 295, 296syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
298250, 289, 297mp2and 698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
29982, 91, 223, 298fsumle 15740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
300222recnd 11237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
301300adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
302 fsumconst 15731 . . . . . . . . . 10 (((((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin ∧ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
30382, 301, 302syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
304 1zzd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℤ)
30556adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
306 fzen 13513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
307304, 305, 69, 306syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
308 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
30969zcnd 12662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℂ)
310 addcom 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℂ) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
311308, 309, 310sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
312259, 258pncan3d 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + (𝑚𝑠)) = 𝑚)
313311, 312oveq12d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))) = (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
314307, 313breqtrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
315 fzfid 13933 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
316 hashen 14302 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑠) ∈ Fin ∧ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
317315, 82, 316syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
318314, 317mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
319 hashfz1 14301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
32047, 319syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
321318, 320eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = 𝑠)
322321oveq1d 7418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
323212recnd 11237 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
324215rpcnne0d 13020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0))
325 div23 11886 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) ∈ ℂ ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
326156, 323, 324, 325syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
32756zcnd 12662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
328219rpcnd 13013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ)
329 divass 11885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
330327, 328, 324, 329syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
3315nnne0d 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑠 ≠ 0)
332156, 327, 331divcan2d 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) = (𝐸 / 2))
333332oveq1d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
334330, 333eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
335334oveq1d 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
336220rpcnd 13013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℂ)
337327, 336, 323mulassd 11232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
338326, 335, 3373eqtr2rd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
339338adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
340303, 322, 3393eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
341299, 340breqtrd 5172 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
342 peano2re 11382 . . . . . . . . . . 11 (sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
343212, 342syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
344212ltp1d 12139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))
345212, 343, 93, 344ltmul2dd 13067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
346213, 94, 215ltdivmul2d 13063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
347345, 346mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
348347adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
34992, 217, 95, 341, 348lelttrd 11367 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
35081, 92, 95, 95, 208, 349lt2addd 11832 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
35114, 36absmuld 15396 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
352351sumeq2dv 15644 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
35369zred 12661 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℝ)
354353ltp1d 12139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1))
355 fzdisj 13523 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
356354, 355syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
357 fzsplit 13522 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
35867, 357syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
35979recnd 11237 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℂ)
360356, 358, 10, 359fsumsplit 15682 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))))
361352, 360eqtr2d 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
36242rpcnd 13013 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
363362adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℂ)
3643632halvesd 12453 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
365350, 361, 3643brtr3d 5177 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
36639, 41, 44, 45, 365lelttrd 11367 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
367366ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
368 fveq2 6887 . . . 4 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (ℤ𝑦) = (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)))
369368raleqdv 3326 . . 3 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
370369rspcev 3611 . 2 (((𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
3719, 367, 370syl2anc 585 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4320   class class class wbr 5146  dom cdm 5674  cfv 6539  (class class class)co 7403  cen 8931  Fincfn 8934  supcsup 9430  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11243  cle 11244  cmin 11439   / cdiv 11866  cn 12207  2c2 12262  0cn0 12467  cz 12553  cuz 12817  +crp 12969  ...cfz 13479  seqcseq 13961  chash 14285  abscabs 15176  cli 15423  Σcsu 15627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-ico 13325  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628
This theorem is referenced by:  mertenslem2  15826
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