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Theorem mertenslem1 15769
Description: Lemma for mertens 15771. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
mertens.12 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
mertens.13 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
Assertion
Ref Expression
mertenslem1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝑡,𝑘,𝐴,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑤,𝑗,𝑇,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,𝑛,𝑠)   𝜓(𝑤,𝑠)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑗)   𝐵(𝑤,𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤,𝑡,𝑘,𝑠)   𝐺(𝑤,𝑡)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem mertenslem1
StepHypRef Expression
1 mertens.12 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
21simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝜓)
3 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
54simpld 495 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12473 . . 3 (𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
71simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
87simpld 495 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 12477 . 2 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0)
10 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) ∈ Fin)
11 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝜑)
12 elfznn0 13534 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))
16 fznn0sub 13473 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 12525 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
21 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
22 eluznn0 12842 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2319, 22sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 mertens.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
26 mertens.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
2721, 23, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 mertens.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
30 nn0uz 12805 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
31 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝜑)
3224, 26eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3430, 19, 33iserex 15541 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
3529, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3615, 20, 25, 27, 35isumcl 15646 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
3714, 36mulcld 11175 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3810, 37fsumcl 15618 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 15321 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4037abscld 15321 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 15619 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
42 mertens.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 12957 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4443adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℝ)
4510, 37fsumabs 15686 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
46 fzfid 13878 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ∈ Fin)
476adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ≤ 𝑠)
49 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → 𝑚 ∈ ℤ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5150zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℝ)
5247nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℝ)
5351, 52subge02d 11747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0 ≤ 𝑠 ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
5448, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ≤ 𝑚)
5547, 30eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
565nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
57 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
59 uzaddcl 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
6058, 8, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
61 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑠) = (ℤ𝑠)
6261uztrn2 12782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
6360, 62sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
64 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑠 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)))
6555, 63, 64sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (0...𝑚))
66 fznn0sub2 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
68 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
70 eluz 12777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑠) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7169, 50, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7254, 71mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)))
73 fzss2 13481 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7574sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
7613abscld 15321 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7711, 12, 76syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7836abscld 15321 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
7977, 78remulcld 11185 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8075, 79syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8146, 80fsumrecl 15619 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
82 fzfid 13878 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin)
83 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
85 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑠) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8786, 30eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0))
88 fzss1 13480 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
9089sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
9190, 79syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9282, 91fsumrecl 15619 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9342rphalfcld 12969 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
9493rpred 12957 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
96 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
9711, 96, 76syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9846, 97fsumrecl 15619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9998, 95remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
100 0zd 12511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
101 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
102 mertens.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
103102, 76eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
104 mertens.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
10530, 100, 101, 103, 104isumrecl 15650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
10613absge0d 15329 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
107106, 102breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
10830, 100, 101, 103, 104, 107isumge0 15651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
109105, 108ge0p1rpd 12987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
110109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
11199, 110rerpdivcld 12988 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11293, 109rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
113112rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
114113ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11597, 114remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) ∈ ℝ)
11675, 20syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
117 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
11875, 19syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
119118, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120117, 119, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
121117, 119, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12275, 35syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
12315, 116, 120, 121, 122isumcl 15646 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
124123abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
12576, 106jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12611, 96, 125syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
127120sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
128127fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
129 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)))
130129sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚𝑗) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
131130fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
132131breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
1334simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
134133ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
135 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℤ)
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℤ)
137136zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℝ)
13849ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℤ)
139138zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℝ)
14056ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
141140zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℝ)
142 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
143142adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
144137, 139, 141, 143lesubd 11759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ≤ (𝑚𝑗))
145138, 136zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ ℤ)
146 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑗) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
147140, 145, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
148144, 147mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠))
149132, 134, 148rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
150128, 149eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
151124, 114, 150ltled 11303 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
152 lemul2a 12010 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
153124, 114, 126, 151, 152syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15446, 80, 115, 153fsumle 15684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15598recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℂ)
15693rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
157156adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
158 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
159105, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
160159recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
161160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
162109rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
163162adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
164155, 157, 161, 163divassd 11966 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
165 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
166165cbvsumv 15581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗)
167166oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)
168167oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
169168, 112eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
170169rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
171170adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
17276recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17311, 96, 172syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17446, 171, 173fsummulc1 15670 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))))
175168oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
176168oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
178177sumeq2i 15584 . . . . . . . . . 10 Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
179174, 175, 1783eqtr3g 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
180164, 179eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
181154, 180breqtrrd 5133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
182105adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
183159adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
184 0zd 12511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ∈ ℤ)
185 fz0ssnn0 13536 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0)
187102adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
18876adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
189106adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
190104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
19130, 184, 46, 186, 187, 188, 189, 190isumless 15730 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
192102sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
193192adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
194191, 193breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
195105ltp1d 12085 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
196195adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19798, 182, 183, 194, 196lelttrd 11313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19893rpregt0d 12963 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
199198adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
200 ltmul1 12005 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20198, 183, 199, 200syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
202197, 201mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2)))
203109rpregt0d 12963 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
204203adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
205 ltdivmul 12030 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20699, 95, 204, 205syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
207202, 206mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2))
20881, 111, 95, 181, 207lelttrd 11313 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
209 mertens.13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
210209simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
211 suprcl 12115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21394, 212remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
214209simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
215212, 214ge0p1rpd 12987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
216213, 215rerpdivcld 12988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
217216adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
2185nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℝ+)
21993, 218rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
220219, 215rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
221220rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
222221, 212remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
223222ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
224 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝜑)
22590, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
226224, 225, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
227221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
228224, 225, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
229 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝑗))
230229breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
2317simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
232231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
233 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)))
234 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
235234adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
2368nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
237236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
238237zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℝ)
23952, 238, 51leaddsub2d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
240235, 239mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ≤ (𝑚𝑠))
241 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
242237, 69, 241syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
243240, 242mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡))
244 peano2uz 12826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
246 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)) ∧ ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
247233, 245, 246syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
248230, 232, 247rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
249228, 248eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
250226, 227, 249ltled 11303 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
251210ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
25251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
253 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
25456, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
255254zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
256255ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
257225nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℝ)
25850zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℂ)
25952recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℂ)
260 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℂ)
261258, 259, 260subsubd 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
262261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
263 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
264263adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
265262, 264eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) ≤ 𝑗)
266252, 256, 257, 265subled 11758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1))
26790, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
268267, 30eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0))
269254ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
270 elfz5 13433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑠 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
271268, 269, 270syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
272266, 271mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)))
273 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
27490, 19syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
275274, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
276273, 275, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
277276sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
278277eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
279278fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
280131rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
281272, 279, 280syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
282 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ V
283 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
284283rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
285 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
286282, 284, 285elab2 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
287281, 286sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇)
288 suprub 12116 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
289251, 287, 288syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
290224, 225, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
29190, 78syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
29236absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
29390, 292syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
294291, 293jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
295212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
296 lemul12a 12013 . . . . . . . . . . 11 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
297290, 227, 294, 295, 296syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
298250, 289, 297mp2and 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
29982, 91, 223, 298fsumle 15684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
300222recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
301300adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
302 fsumconst 15675 . . . . . . . . . 10 (((((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin ∧ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
30382, 301, 302syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
304 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℤ)
30556adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
306 fzen 13458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
307304, 305, 69, 306syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
308 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
30969zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℂ)
310 addcom 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℂ) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
311308, 309, 310sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
312259, 258pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + (𝑚𝑠)) = 𝑚)
313311, 312oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))) = (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
314307, 313breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
315 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
316 hashen 14247 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑠) ∈ Fin ∧ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
317315, 82, 316syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
318314, 317mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
319 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
32047, 319syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
321318, 320eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = 𝑠)
322321oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
323212recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
324215rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0))
325 div23 11832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) ∈ ℂ ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
326156, 323, 324, 325syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
32756zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
328219rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ)
329 divass 11831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
330327, 328, 324, 329syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
3315nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑠 ≠ 0)
332156, 327, 331divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) = (𝐸 / 2))
333332oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
334330, 333eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
335334oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
336220rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℂ)
337327, 336, 323mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
338326, 335, 3373eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
339338adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
340303, 322, 3393eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
341299, 340breqtrd 5131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
342 peano2re 11328 . . . . . . . . . . 11 (sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
343212, 342syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
344212ltp1d 12085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))
345212, 343, 93, 344ltmul2dd 13013 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
346213, 94, 215ltdivmul2d 13009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
347345, 346mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
348347adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
34992, 217, 95, 341, 348lelttrd 11313 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
35081, 92, 95, 95, 208, 349lt2addd 11778 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
35114, 36absmuld 15339 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
352351sumeq2dv 15588 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
35369zred 12607 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℝ)
354353ltp1d 12085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1))
355 fzdisj 13468 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
356354, 355syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
357 fzsplit 13467 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
35867, 357syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
35979recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℂ)
360356, 358, 10, 359fsumsplit 15626 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))))
361352, 360eqtr2d 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
36242rpcnd 12959 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
363362adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℂ)
3643632halvesd 12399 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
365350, 361, 3643brtr3d 5136 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
36639, 41, 44, 45, 365lelttrd 11313 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
367366ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
368 fveq2 6842 . . . 4 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (ℤ𝑦) = (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)))
369368raleqdv 3313 . . 3 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
370369rspcev 3581 . 2 (((𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
3719, 367, 370syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cen 8880  Fincfn 8883  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  chash 14230  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  mertenslem2  15770
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