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Theorem mertenslem1 15917
Description: Lemma for mertens 15919. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
mertens.12 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
mertens.13 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
Assertion
Ref Expression
mertenslem1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝑡,𝑘,𝐴,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑤,𝑗,𝑇,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,𝑛,𝑠)   𝜓(𝑤,𝑠)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑗)   𝐵(𝑤,𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤,𝑡,𝑘,𝑠)   𝐺(𝑤,𝑡)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem mertenslem1
StepHypRef Expression
1 mertens.12 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
21simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝜓)
3 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
42, 3sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
54simpld 494 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12585 . . 3 (𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
71simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
87simpld 494 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 12589 . 2 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0)
10 fzfid 14011 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) ∈ Fin)
11 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝜑)
12 elfznn0 13657 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))
16 fznn0sub 13593 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 12637 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
21 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
22 eluznn0 12957 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2319, 22sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 mertens.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
26 mertens.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
2721, 23, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 mertens.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
30 nn0uz 12918 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
31 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝜑)
3224, 26eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3430, 19, 33iserex 15690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
3529, 34mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3615, 20, 25, 27, 35isumcl 15794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
3714, 36mulcld 11279 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3810, 37fsumcl 15766 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 15472 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4037abscld 15472 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 15767 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
42 mertens.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 13075 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℝ)
4510, 37fsumabs 15834 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
46 fzfid 14011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ∈ Fin)
476adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 12588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ≤ 𝑠)
49 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → 𝑚 ∈ ℤ)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5150zred 12720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℝ)
5247nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℝ)
5351, 52subge02d 11853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0 ≤ 𝑠 ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
5448, 53mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ≤ 𝑚)
5547, 30eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
565nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
57 uzid 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
59 uzaddcl 12944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
6058, 8, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
61 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑠) = (ℤ𝑠)
6261uztrn2 12895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
6360, 62sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
64 elfzuzb 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑠 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)))
6555, 63, 64sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (0...𝑚))
66 fznn0sub2 13672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
68 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
70 eluz 12890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑠) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7169, 50, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7254, 71mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)))
73 fzss2 13601 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7574sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
7613abscld 15472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7711, 12, 76syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7836abscld 15472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
7977, 78remulcld 11289 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8075, 79syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8146, 80fsumrecl 15767 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
82 fzfid 14011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin)
83 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
85 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑠) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8786, 30eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0))
88 fzss1 13600 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
9089sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
9190, 79syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9282, 91fsumrecl 15767 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9342rphalfcld 13087 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
9493rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
96 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
9711, 96, 76syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9846, 97fsumrecl 15767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9998, 95remulcld 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
100 0zd 12623 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
101 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
102 mertens.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
103102, 76eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
104 mertens.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
10530, 100, 101, 103, 104isumrecl 15798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
10613absge0d 15480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
107106, 102breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
10830, 100, 101, 103, 104, 107isumge0 15799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
109105, 108ge0p1rpd 13105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
110109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
11199, 110rerpdivcld 13106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11293, 109rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
113112rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
114113ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11597, 114remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) ∈ ℝ)
11675, 20syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
117 simplll 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
11875, 19syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
119118, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120117, 119, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
121117, 119, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12275, 35syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
12315, 116, 120, 121, 122isumcl 15794 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
124123abscld 15472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
12576, 106jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12611, 96, 125syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
127120sumeq2dv 15735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
128127fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
129 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)))
130129sumeq1d 15733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚𝑗) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
131130fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
132131breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
1334simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
134133ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
135 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℤ)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℤ)
137136zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℝ)
13849ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℤ)
139138zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℝ)
14056ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
141140zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℝ)
142 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
143142adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
144137, 139, 141, 143lesubd 11865 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ≤ (𝑚𝑗))
145138, 136zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ ℤ)
146 eluz 12890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑗) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
147140, 145, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
148144, 147mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠))
149132, 134, 148rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
150128, 149eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
151124, 114, 150ltled 11407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
152 lemul2a 12120 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
153124, 114, 126, 151, 152syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15446, 80, 115, 153fsumle 15832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15598recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℂ)
15693rpcnd 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
157156adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
158 peano2re 11432 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
159105, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
160159recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
161160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
162109rpne0d 13080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
163162adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
164155, 157, 161, 163divassd 12076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
165 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
166165cbvsumv 15729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗)
167166oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)
168167oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
169168, 112eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
170169rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
171170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
17276recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17311, 96, 172syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17446, 171, 173fsummulc1 15818 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))))
175168oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
176168oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
178177sumeq2i 15731 . . . . . . . . . 10 Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
179174, 175, 1783eqtr3g 2798 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
180164, 179eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
181154, 180breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
182105adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
183159adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
184 0zd 12623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ∈ ℤ)
185 fz0ssnn0 13659 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0)
187102adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
18876adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
189106adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
190104adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
19130, 184, 46, 186, 187, 188, 189, 190isumless 15878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
192102sumeq2dv 15735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
193192adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
194191, 193breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
195105ltp1d 12196 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
196195adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19798, 182, 183, 194, 196lelttrd 11417 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19893rpregt0d 13081 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
199198adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
200 ltmul1 12115 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20198, 183, 199, 200syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
202197, 201mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2)))
203109rpregt0d 13081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
204203adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
205 ltdivmul 12141 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20699, 95, 204, 205syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
207202, 206mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2))
20881, 111, 95, 181, 207lelttrd 11417 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
209 mertens.13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
210209simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
211 suprcl 12226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21394, 212remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
214209simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
215212, 214ge0p1rpd 13105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
216213, 215rerpdivcld 13106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
217216adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
2185nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℝ+)
21993, 218rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
220219, 215rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
221220rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
222221, 212remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
223222ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
224 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝜑)
22590, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
226224, 225, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
227221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
228224, 225, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
229 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝑗))
230229breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
2317simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
232231ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
233 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)))
234 eluzle 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
235234adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
2368nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
237236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
238237zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℝ)
23952, 238, 51leaddsub2d 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
240235, 239mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ≤ (𝑚𝑠))
241 eluz 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
242237, 69, 241syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
243240, 242mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡))
244 peano2uz 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
246 uztrn 12894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)) ∧ ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
247233, 245, 246syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
248230, 232, 247rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
249228, 248eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
250226, 227, 249ltled 11407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
251210ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
25251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
253 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
25456, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
255254zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
256255ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
257225nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℝ)
25850zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℂ)
25952recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℂ)
260 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℂ)
261258, 259, 260subsubd 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
263 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
264263adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
265262, 264eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) ≤ 𝑗)
266252, 256, 257, 265subled 11864 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1))
26790, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
268267, 30eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0))
269254ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
270 elfz5 13553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑠 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
271268, 269, 270syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
272266, 271mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)))
273 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
27490, 19syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
275274, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
276273, 275, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
277276sumeq2dv 15735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
278277eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
279278fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
280131rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
281272, 279, 280syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
282 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ V
283 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
284283rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
285 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
286282, 284, 285elab2 3685 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
287281, 286sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇)
288 suprub 12227 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
289251, 287, 288syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
290224, 225, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
29190, 78syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
29236absge0d 15480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
29390, 292syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
294291, 293jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
295212ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
296 lemul12a 12123 . . . . . . . . . . 11 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
297290, 227, 294, 295, 296syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
298250, 289, 297mp2and 699 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
29982, 91, 223, 298fsumle 15832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
300222recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
301300adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
302 fsumconst 15823 . . . . . . . . . 10 (((((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin ∧ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
30382, 301, 302syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
304 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℤ)
30556adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
306 fzen 13578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
307304, 305, 69, 306syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
308 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
30969zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℂ)
310 addcom 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℂ) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
311308, 309, 310sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
312259, 258pncan3d 11621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + (𝑚𝑠)) = 𝑚)
313311, 312oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))) = (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
314307, 313breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
315 fzfid 14011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
316 hashen 14383 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑠) ∈ Fin ∧ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
317315, 82, 316syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
318314, 317mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
319 hashfz1 14382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
32047, 319syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
321318, 320eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = 𝑠)
322321oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
323212recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
324215rpcnne0d 13084 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0))
325 div23 11939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) ∈ ℂ ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
326156, 323, 324, 325syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
32756zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
328219rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ)
329 divass 11938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
330327, 328, 324, 329syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
3315nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑠 ≠ 0)
332156, 327, 331divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) = (𝐸 / 2))
333332oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
334330, 333eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
335334oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
336220rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℂ)
337327, 336, 323mulassd 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
338326, 335, 3373eqtr2rd 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
339338adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
340303, 322, 3393eqtrd 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
341299, 340breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
342 peano2re 11432 . . . . . . . . . . 11 (sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
343212, 342syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
344212ltp1d 12196 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))
345212, 343, 93, 344ltmul2dd 13131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
346213, 94, 215ltdivmul2d 13127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
347345, 346mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
348347adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
34992, 217, 95, 341, 348lelttrd 11417 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
35081, 92, 95, 95, 208, 349lt2addd 11884 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
35114, 36absmuld 15490 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
352351sumeq2dv 15735 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
35369zred 12720 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℝ)
354353ltp1d 12196 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1))
355 fzdisj 13588 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
356354, 355syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
357 fzsplit 13587 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
35867, 357syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
35979recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℂ)
360356, 358, 10, 359fsumsplit 15774 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))))
361352, 360eqtr2d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
36242rpcnd 13077 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
363362adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℂ)
3643632halvesd 12510 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
365350, 361, 3643brtr3d 5179 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
36639, 41, 44, 45, 365lelttrd 11417 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
367366ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
368 fveq2 6907 . . . 4 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (ℤ𝑦) = (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)))
369368raleqdv 3324 . . 3 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
370369rspcev 3622 . 2 (((𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
3719, 367, 370syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cen 8981  Fincfn 8984  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544  seqcseq 14039  chash 14366  abscabs 15270  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  mertenslem2  15918
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