MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem6 15221
Description: Lemma for 01sqrex 15223. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
01sqrexlem1.2 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
01sqrexlem5.3 ๐‘‡ = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘ฆ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘Ž,๐ด,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem 01sqrexlem6
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.1 . . . 4 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
2 01sqrexlem1.2 . . . 4 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
3 01sqrexlem5.3 . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
41, 2, 301sqrexlem5 15220 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘‡ โІ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ข โ‰ค ๐‘ฃ) โˆง (๐ตโ†‘2) = sup(๐‘‡, โ„, < )))
54simprd 494 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) = sup(๐‘‡, โ„, < ))
6 vex 3467 . . . . . 6 ๐‘ฃ โˆˆ V
7 eqeq1 2729 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
872rexbidv 3210 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
96, 8, 3elab2 3665 . . . . 5 (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘))
10 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
1110breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1211, 1elrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1312simplbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„+)
14 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
1514breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1615, 1elrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1716simplbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
18 rpre 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
20 rpre 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
22 rpgt0 13013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐‘)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < ๐‘)
24 lemul1 12091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
2613, 17, 25syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
2717rpcnd 13045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2827sqvald 14134 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
2928breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
3126, 30bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2)))
3231adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2)))
3316simprbi 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด)
3433ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด)
3513rpred 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
3617rpred 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
37 remulcl 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3835, 36, 37syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3938adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
4036resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„)
4140ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„)
42 rpre 13009 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
44 letr 11333 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โˆง (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
4539, 41, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โˆง (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
4634, 45mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
4732, 46sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
48 rpgt0 13013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐‘Ž)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < ๐‘Ž)
50 lemul2 12092 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Ž)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5213, 17, 51syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5313rpcnd 13045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
5453sqvald 14134 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐‘Ž ยท ๐‘Ž))
5554breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5752, 56bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2)))
5857adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2)))
5912simprbi 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
6059ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
6135resqcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„)
6261ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„)
63 letr 11333 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โˆง (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
6439, 62, 43, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โˆง (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
6560, 64mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
6658, 65sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
671, 201sqrexlem3 15218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘† โІ โ„ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ โ‰ค ๐‘ฆ))
6867simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐‘† โІ โ„)
6968sseld 3972 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„))
7068sseld 3972 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„))
7169, 70anim12d 607 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)))
7271imp 405 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
73 letric 11339 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ โ‰ค ๐‘Ž))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ โ‰ค ๐‘Ž))
7547, 66, 74mpjaod 858 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด)
7675ex 411 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
77 breq1 5147 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ฃ โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
7877biimprcd 249 . . . . . . 7 ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
7976, 78syl6 35 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด)))
8079rexlimdvv 3201 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
819, 80biimtrid 241 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
8281ralrimiv 3135 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด)
834simpld 493 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘‡ โІ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ข โ‰ค ๐‘ฃ))
8442adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
85 suprleub 12205 . . . 4 (((๐‘‡ โІ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ข โ‰ค ๐‘ฃ) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
8683, 84, 85syl2anc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (sup(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
8782, 86mpbird 256 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ sup(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐ด)
885, 87eqbrtrd 5166 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2702   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419   โІ wss 3941  โˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  supcsup 9458  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274  2c2 12292  โ„+crp 13001  โ†‘cexp 14053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  01sqrexlem7  15222
  Copyright terms: Public domain W3C validator