Theorem 01sqrexlem6 15334

Description: Lemma for 01sqrex 15336. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem6

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		01sqrexlem5.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	01sqrexlem5 15333	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
5	4	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
7		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
8	7	2rexbidv 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
9	6, 8, 3	elab2 3636	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
11	10	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
12	11, 1	elrab2 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
13	12	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ+)
14		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
15	14	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
16	15, 1	elrab2 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
17	16	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ+)
18		rpre 13051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		rpre 13051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 𝑏 ∈ ℝ)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22		rpgt0 13055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24		lemul1 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
25	19, 21, 21, 23, 24	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
26	13, 17, 25	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
27	17	rpcnd 13088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	sqvald 14207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
29	28	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
31	26, 30	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
33	16	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
34	33	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
35	13	rpred 13086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
36	17	rpred 13086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ)
37		remulcl 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
38	35, 36, 37	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
40	36	resqcld 14189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
41	40	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42		rpre 13051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		letr 11328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
46	34, 45	mpan2d 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
47	32, 46	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48		rpgt0 13055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50		lemul2 12092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
51	21, 19, 19, 49, 50	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
52	13, 17, 51	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
53	13	rpcnd 13088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 14207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
55	54	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
57	52, 56	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
59	12	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
60	59	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
61	35	resqcld 14189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63		letr 11328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
64	39, 62, 43, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
65	60, 64	mpan2d 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
66	58, 65	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
67	1, 2	01sqrexlem3 15331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑣 ≤ 𝑦))
68	67	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
69	68	sseld 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ))
70	68	sseld 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ))
71	69, 70	anim12d 621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
72	71	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73		letric 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
74	72, 73	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
75	47, 66, 74	mpjaod 874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
76	75	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣 ≤ 𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
78	77	biimprcd 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
79	76, 78	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴)))
80	79	rexlimdvv 3218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
81	9, 80	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑣 ∈ 𝑇 → 𝑣 ≤ 𝐴))
82	81	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴)
83	4	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣))
84	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		suprleub 12205	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
86	83, 84, 85	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
87	82, 86	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
88	5, 87	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  supcsup 9410  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12319  ℝ⁺crp 13042  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  01sqrexlem7  15335