Theorem 01sqrexlem6 15189

Description: Lemma for 01sqrex 15191. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem6

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		01sqrexlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		01sqrexlem5.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	01sqrexlem5 15188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6		vex 3448	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
7		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
8	7	2rexbidv 3200	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
9	6, 8, 3	elab2 3646	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
11	10	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
12	11, 1	elrab2 3659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
13	12	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ+)
14		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
15	14	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
16	15, 1	elrab2 3659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
17	16	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ+)
18		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 𝑏 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22		rpgt0 12940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24		lemul1 12010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
25	19, 21, 21, 23, 24	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
26	13, 17, 25	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
27	17	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
29	28	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
31	26, 30	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
33	16	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
34	33	ad2antll 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
35	13	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
36	17	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ)
37		remulcl 11129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
38	35, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
40	36	resqcld 14066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
41	40	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		letr 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
46	34, 45	mpan2d 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
47	32, 46	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48		rpgt0 12940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50		lemul2 12011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
51	21, 19, 19, 49, 50	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
52	13, 17, 51	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
53	13	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 14084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
55	54	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
57	52, 56	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
59	12	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
60	59	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
61	35	resqcld 14066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63		letr 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
64	39, 62, 43, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
65	60, 64	mpan2d 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
66	58, 65	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
67	1, 2	01sqrexlem3 15186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑣 ≤ 𝑦))
68	67	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
69	68	sseld 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ))
70	68	sseld 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ))
71	69, 70	anim12d 609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73		letric 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
75	47, 66, 74	mpjaod 860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
76	75	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣 ≤ 𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
78	77	biimprcd 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
79	76, 78	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴)))
80	79	rexlimdvv 3191	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
81	9, 80	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑣 ∈ 𝑇 → 𝑣 ≤ 𝐴))
82	81	ralrimiv 3124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴)
83	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣))
84	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		suprleub 12125	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
86	83, 84, 85	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
87	82, 86	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
88	5, 87	eqbrtrd 5124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  supcsup 9367  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  01sqrexlem7  15190