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Theorem 01sqrexlem6 15282
Description: Lemma for 01sqrex 15284. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem6
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.1 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 01sqrexlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3 01sqrexlem5.3 . . . 4 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
41, 2, 301sqrexlem5 15281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
54simprd 495 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6 vex 3481 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
7 eqeq1 2738 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
872rexbidv 3219 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
96, 8, 3elab2 3684 . . . . 5 (𝑣𝑇 ↔ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
1110breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
1211, 1elrab2 3697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
1312simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ+)
14 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
1514breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
1615, 1elrab2 3697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
1716simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ+)
18 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22 rpgt0 13044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24 lemul1 12116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2613, 17, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2717rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℂ)
2827sqvald 14179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
2928breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
3126, 30bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
3316simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
3433ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
3513rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ)
3617rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ)
37 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
4036resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
4140ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 letr 11352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4539, 41, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4634, 45mpan2d 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4732, 46sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48 rpgt0 13044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50 lemul2 12117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5213, 17, 51syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5313rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℂ)
5453sqvald 14179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
5554breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5752, 56bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
5857adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
5912simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
6059ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
6135resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
6261ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63 letr 11352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6439, 62, 43, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6560, 64mpan2d 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6658, 65sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
671, 201sqrexlem3 15279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣𝑆 𝑣𝑦))
6867simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6968sseld 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ))
7068sseld 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ))
7169, 70anim12d 609 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
7271imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73 letric 11358 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
7547, 66, 74mpjaod 860 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
7675ex 412 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
7877biimprcd 250 . . . . . . 7 ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴))
7976, 78syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴)))
8079rexlimdvv 3209 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴))
819, 80biimtrid 242 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑣𝑇𝑣𝐴))
8281ralrimiv 3142 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴)
834simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
8442adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85 suprleub 12231 . . . 4 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴))
8683, 84, 85syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴))
8782, 86mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
885, 87eqbrtrd 5169 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  +crp 13031  cexp 14098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099
This theorem is referenced by:  01sqrexlem7  15283
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