MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem6 15212
Description: Lemma for 01sqrex 15214. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
01sqrexlem1.2 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
01sqrexlem5.3 ๐‘‡ = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘ฆ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘Ž,๐ด,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem 01sqrexlem6
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.1 . . . 4 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
2 01sqrexlem1.2 . . . 4 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
3 01sqrexlem5.3 . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
41, 2, 301sqrexlem5 15211 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘‡ โІ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ข โ‰ค ๐‘ฃ) โˆง (๐ตโ†‘2) = sup(๐‘‡, โ„, < )))
54simprd 495 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) = sup(๐‘‡, โ„, < ))
6 vex 3473 . . . . . 6 ๐‘ฃ โˆˆ V
7 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
872rexbidv 3214 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
96, 8, 3elab2 3669 . . . . 5 (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘))
10 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘Žโ†‘2))
1110breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1211, 1elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1312simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„+)
14 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
1514breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1615, 1elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด))
1716simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
18 rpre 13000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
20 rpre 13000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
22 rpgt0 13004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐‘)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < ๐‘)
24 lemul1 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
2613, 17, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
2717rpcnd 13036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2827sqvald 14125 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
2928breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ ยท ๐‘)))
3126, 30bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2)))
3316simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด)
3433ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด)
3513rpred 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
3617rpred 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
37 remulcl 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3835, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
4036resqcld 14107 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„)
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„)
42 rpre 13000 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
44 letr 11324 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โˆง (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
4539, 41, 43, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โˆง (๐‘โ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
4634, 45mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘2) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
4732, 46sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
48 rpgt0 13004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐‘Ž)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < ๐‘Ž)
50 lemul2 12083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Ž)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5213, 17, 51syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5313rpcnd 13036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
5453sqvald 14125 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐‘Ž ยท ๐‘Ž))
5554breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Ž ยท ๐‘Ž)))
5752, 56bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2)))
5857adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2)))
5912simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
6135resqcld 14107 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„)
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„)
63 letr 11324 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โˆง (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
6439, 62, 43, 63syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โˆง (๐‘Žโ†‘2) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
6560, 64mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
6658, 65sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘Ž โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
671, 201sqrexlem3 15209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘† โІ โ„ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ โ‰ค ๐‘ฆ))
6867simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐‘† โІ โ„)
6968sseld 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„))
7068sseld 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„))
7169, 70anim12d 608 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„)))
7271imp 406 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„))
73 letric 11330 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ โ‰ค ๐‘Ž))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โˆจ ๐‘ โ‰ค ๐‘Ž))
7547, 66, 74mpjaod 859 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด)
7675ex 412 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
77 breq1 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ฃ โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด))
7877biimprcd 249 . . . . . . 7 ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค ๐ด โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
7976, 78syl6 35 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด)))
8079rexlimdvv 3205 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฃ = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
819, 80biimtrid 241 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
8281ralrimiv 3140 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด)
834simpld 494 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘‡ โІ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ข โ‰ค ๐‘ฃ))
8442adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
85 suprleub 12196 . . . 4 (((๐‘‡ โІ โ„ โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ข โ‰ค ๐‘ฃ) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
8683, 84, 85syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (sup(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฃ โ‰ค ๐ด))
8782, 86mpbird 257 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ sup(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐ด)
885, 87eqbrtrd 5164 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {cab 2704   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  {crab 3427   โІ wss 3944  โˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  supcsup 9449  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265  2c2 12283  โ„+crp 12992  โ†‘cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  01sqrexlem7  15213
  Copyright terms: Public domain W3C validator