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Theorem 01sqrexlem6 15201
Description: Lemma for 01sqrex 15203. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem6
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.1 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 01sqrexlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3 01sqrexlem5.3 . . . 4 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
41, 2, 301sqrexlem5 15200 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
54simprd 495 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6 vex 3477 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
7 eqeq1 2735 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
872rexbidv 3218 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
96, 8, 3elab2 3672 . . . . 5 (𝑣𝑇 ↔ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
1110breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
1211, 1elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
1312simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ+)
14 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
1514breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
1615, 1elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
1716simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ+)
18 rpre 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20 rpre 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22 rpgt0 12993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24 lemul1 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2613, 17, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2717rpcnd 13025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℂ)
2827sqvald 14115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
2928breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
3126, 30bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
3316simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
3433ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
3513rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ)
3617rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ)
37 remulcl 11201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
3835, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
4036resqcld 14097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
4140ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42 rpre 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 letr 11315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4539, 41, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4634, 45mpan2d 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4732, 46sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48 rpgt0 12993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50 lemul2 12074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5213, 17, 51syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5313rpcnd 13025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℂ)
5453sqvald 14115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
5554breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5752, 56bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
5857adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
5912simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
6059ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
6135resqcld 14097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
6261ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63 letr 11315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6439, 62, 43, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6560, 64mpan2d 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6658, 65sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
671, 201sqrexlem3 15198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣𝑆 𝑣𝑦))
6867simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6968sseld 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ))
7068sseld 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ))
7169, 70anim12d 608 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
7271imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73 letric 11321 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
7547, 66, 74mpjaod 857 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
7675ex 412 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
7877biimprcd 249 . . . . . . 7 ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴))
7976, 78syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴)))
8079rexlimdvv 3209 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴))
819, 80biimtrid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑣𝑇𝑣𝐴))
8281ralrimiv 3144 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴)
834simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
8442adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85 suprleub 12187 . . . 4 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴))
8683, 84, 85syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴))
8782, 86mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
885, 87eqbrtrd 5170 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  2c2 12274  +crp 12981  cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  01sqrexlem7  15202
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