MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul1 11598
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 11601 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
2 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
32eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
43cbvrexvw 3448 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5 eqeq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
65rexbidv 3294 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
74, 6syl5bb 284 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8 supmul1.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
91, 7, 8elab2 3667 . . . . . . 7 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1210, 11sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1312simp1d 1134 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1413sselda 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 suprcl 11589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simpl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1910, 18sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
20 simpl2 1184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
2110, 20sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2219, 21jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24 suprub 11590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2512, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26 lemul2a 11483 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28 breq1 5060 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
2927, 28syl5ibrcom 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3029rexlimdva 3281 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
319, 30syl5bi 243 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3231ralrimiv 3178 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
3319adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433, 14remulcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35 eleq1a 2905 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3736rexlimdva 3281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
389, 37syl5bi 243 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3938ssrdv 3970 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
40 simpr2 1187 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
4110, 40sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
42 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝑏) ∈ V
4342isseti 3506 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
4443rgenw 3147 . . . . . . . . 9 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45 r19.2z 4436 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
4641, 44, 45sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
479exbii 1839 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48 n0 4307 . . . . . . . . 9 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
49 rexcom4 3246 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5047, 48, 493bitr4i 304 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5146, 50sylibr 235 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
5219, 16remulcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53 brralrspcev 5117 . . . . . . . 8 (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5452, 32, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5539, 51, 543jca 1120 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
56 suprleub 11595 . . . . . 6 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5755, 52, 56syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5832, 57mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60 suprcl 11589 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6419adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65 n0 4307 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
66 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67 simpl3 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
6810, 67sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
69 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7069rspccva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7168, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7266, 14, 17, 71, 25letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7473exlimdv 1925 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7565, 74syl5bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7641, 75mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7776adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ∈ ℝ)
7938imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
8061adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
8233, 14, 81, 71mulge0d 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
8482, 83syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
8584rexlimdva 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
869, 85syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
8786imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88 suprub 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
8955, 88sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9078, 79, 80, 87, 89letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9190ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9291exlimdv 1925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9348, 92syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9451, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9594anim1i 614 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96 0red 10632 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97 lelttr 10719 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
9896, 61, 52, 97syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10095, 99mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101 prodgt02 11476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
10264, 63, 77, 100, 101syl22anc 834 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103 ltdivmul 11503 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10462, 63, 64, 102, 103syl112anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10559, 104mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
10612adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
107102gt0ne0d 11192 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
10862, 64, 107redivcld 11456 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109 suprlub 11593 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110106, 108, 109syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111105, 110mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
11234adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
11361ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114 rspe 3301 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115114, 9sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤𝐶)
117 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
11889adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119117, 118eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120116, 119mpdan 683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121120expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122121exlimdv 1925 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124123adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125112, 113, 124lensymd 10779 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
12614adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
12719ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128102adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 0 < 𝐴)
129 ltdivmul 11503 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130113, 126, 127, 128, 129syl112anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131125, 130mtbird 326 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132131nrexdv 3267 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133111, 132pm2.65da 813 . . . 4 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
13458, 133jca 512 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
13561, 52eqleltd 10772 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136134, 135mpbird 258 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137136eqcomd 2824 1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  supmul  11601  hoidmvlelem1  42754
  Copyright terms: Public domain W3C validator