Theorem supmul1 12212

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 12215 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul1.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2	⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑣)

Proof of Theorem supmul1

Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq2 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
4	3	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
6	5	rexbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
7	4, 6	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8		supmul1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
9	1, 7, 8	elab2 3639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10		supmul1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
11		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
12	10, 11	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		suprcl 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	10, 18	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
21	10, 20	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
22	19, 21	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		suprub 12204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
25	12, 24	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26		lemul2a 12098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
27	14, 17, 23, 25, 26	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
29	27, 28	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
30	29	rexlimdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
31	9, 30	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
32	31	ralrimiv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
33	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33, 14	remulcld 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35		eleq1a 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
37	36	rexlimdva 3165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
38	9, 37	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
39	38	ssrdv 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
40		simpr2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
41	10, 40	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
42		ovex 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝑏) ∈ V
43	42	isseti 3471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
44	43	rgenw 3082	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45		r19.2z 4458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
46	41, 44, 45	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
47	9	exbii 1881	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48		n0 4303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
49		rexcom4 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
50	47, 48, 49	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
51	46, 50	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
52	19, 16	remulcld 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53		brralrspcev 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
54	52, 32, 53	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
55	39, 51, 54	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
56		suprleub 12209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
57	55, 52, 56	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
58	32, 57	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60		suprcl 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61	55, 60	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62	61	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
64	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		n0 4303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
66		0red 11239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
68	10, 67	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
69		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
70	69	rspccva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
71	68, 70	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
72	66, 14, 17, 71, 25	letrd 11395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
73	72	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
74	73	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
75	65, 74	biimtrid 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
76	41, 75	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
77	76	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78		0red 11239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
79	38	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
80	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
82	33, 14, 81, 71	mulge0d 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
84	82, 83	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
85	84	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
86	9, 85	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
87	86	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88		suprub 12204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
89	55, 88	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
90	78, 79, 80, 87, 89	letrd 11395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
91	90	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
92	91	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
93	48, 92	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
94	51, 93	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
95	94	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96		0red 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97		lelttr 11328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
98	96, 61, 52, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
100	95, 99	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101		prodgt02 12091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
102	64, 63, 77, 100, 101	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103		ltdivmul 12118	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
104	62, 63, 64, 102, 103	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
105	59, 104	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
106	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
107	102	gt0ne0d 11806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
108	62, 64, 107	redivcld 12071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109		suprlub 12207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110	106, 108, 109	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111	105, 110	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
112	34	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
113	61	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114		rspe 3254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115	114, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
116	115	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤 ∈ 𝐶)
117		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
118	89	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119	117, 118	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120	116, 119	mpdan 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121	120	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122	121	exlimdv 1966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
123	43, 122	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124	123	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125	112, 113, 124	lensymd 11389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
126	14	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
127	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128	102	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 < 𝐴)
129		ltdivmul 12118	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130	113, 126, 127, 128, 129	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131	125, 130	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132	131	nrexdv 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133	111, 132	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
134	58, 133	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
135	61, 52	eqleltd 11382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136	134, 135	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137	136	eqcomd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  supcsup 9414  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  supmul  12215  hoidmvlelem1  47431