Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul1 11646
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 11649 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3413 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
2 oveq2 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
32eqeq2d 2769 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
43cbvrexvw 3362 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5 eqeq1 2762 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
65rexbidv 3221 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
74, 6syl5bb 286 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8 supmul1.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
91, 7, 8elab2 3591 . . . . . . 7 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
11 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1210, 11sylbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1312simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1413sselda 3892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 suprcl 11637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1910, 18sylbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
20 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
2110, 20sylbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2219, 21jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2322adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24 suprub 11638 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2512, 24sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26 lemul2a 11533 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28 breq1 5035 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
2927, 28syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3029rexlimdva 3208 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
319, 30syl5bi 245 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3231ralrimiv 3112 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
3319adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433, 14remulcld 10709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35 eleq1a 2847 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3736rexlimdva 3208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
389, 37syl5bi 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3938ssrdv 3898 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
40 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
4110, 40sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
42 ovex 7183 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝑏) ∈ V
4342isseti 3424 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
4443rgenw 3082 . . . . . . . . 9 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45 r19.2z 4388 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
4641, 44, 45sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
479exbii 1849 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48 n0 4245 . . . . . . . . 9 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
49 rexcom4 3177 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5047, 48, 493bitr4i 306 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5146, 50sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
5219, 16remulcld 10709 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53 brralrspcev 5092 . . . . . . . 8 (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5452, 32, 53syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5539, 51, 543jca 1125 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
56 suprleub 11643 . . . . . 6 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5755, 52, 56syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5832, 57mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60 suprcl 11637 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6261adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6316adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6419adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65 n0 4245 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
66 0red 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
6810, 67sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
69 breq2 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7069rspccva 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7168, 70sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7266, 14, 17, 71, 25letrd 10835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7372ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7473exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7565, 74syl5bi 245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7641, 75mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7776adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78 0red 10682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ∈ ℝ)
7938imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
8061adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8121adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
8233, 14, 81, 71mulge0d 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83 breq2 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
8482, 83syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
8584rexlimdva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
869, 85syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
8786imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88 suprub 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
8955, 88sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9078, 79, 80, 87, 89letrd 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9190ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9291exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9348, 92syl5bi 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9451, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9594anim1i 617 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96 0red 10682 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97 lelttr 10769 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
9896, 61, 52, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
9998adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10095, 99mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101 prodgt02 11526 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
10264, 63, 77, 100, 101syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103 ltdivmul 11553 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10462, 63, 64, 102, 103syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10559, 104mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
10612adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
107102gt0ne0d 11242 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
10862, 64, 107redivcld 11506 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109 suprlub 11641 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110106, 108, 109syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111105, 110mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
11234adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
11361ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114 rspe 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115114, 9sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
116115adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤𝐶)
117 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
11889adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119117, 118eqbrtrrd 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120116, 119mpdan 686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121120expr 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122121exlimdv 1934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124123adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125112, 113, 124lensymd 10829 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
12614adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
12719ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128102adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 0 < 𝐴)
129 ltdivmul 11553 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130113, 126, 127, 128, 129syl112anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131125, 130mtbird 328 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132131nrexdv 3194 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133111, 132pm2.65da 816 . . . 4 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
13458, 133jca 515 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
13561, 52eqleltd 10822 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136134, 135mpbird 260 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137136eqcomd 2764 1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  supcsup 8937  ℝcr 10574  0cc0 10575   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   / cdiv 11335 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336 This theorem is referenced by:  supmul  11649  hoidmvlelem1  43600
 Copyright terms: Public domain W3C validator