MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul1 12121
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 12124 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3448 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
2 oveq2 7362 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
32eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
43cbvrexvw 3225 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5 eqeq1 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
65rexbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
74, 6bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8 supmul1.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
91, 7, 8elab2 3633 . . . . . . 7 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1210, 11sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1312simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1413sselda 3943 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 suprcl 12112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1910, 18sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
20 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
2110, 20sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2219, 21jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24 suprub 12113 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2512, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26 lemul2a 12007 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28 breq1 5107 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
2927, 28syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3029rexlimdva 3151 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
319, 30biimtrid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3231ralrimiv 3141 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
3319adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433, 14remulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35 eleq1a 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3736rexlimdva 3151 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
389, 37biimtrid 241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3938ssrdv 3949 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
40 simpr2 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
4110, 40sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
42 ovex 7387 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝑏) ∈ V
4342isseti 3459 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
4443rgenw 3067 . . . . . . . . 9 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45 r19.2z 4451 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
4641, 44, 45sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
479exbii 1850 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48 n0 4305 . . . . . . . . 9 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
49 rexcom4 3270 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5047, 48, 493bitr4i 302 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5146, 50sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
5219, 16remulcld 11182 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53 brralrspcev 5164 . . . . . . . 8 (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5452, 32, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5539, 51, 543jca 1128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
56 suprleub 12118 . . . . . 6 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5755, 52, 56syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5832, 57mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60 suprcl 12112 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6419adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65 n0 4305 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
66 0red 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
6810, 67sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
69 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7069rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7168, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7266, 14, 17, 71, 25letrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7473exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7565, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7641, 75mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7776adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78 0red 11155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ∈ ℝ)
7938imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
8061adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
8233, 14, 81, 71mulge0d 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
8482, 83syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
8584rexlimdva 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
869, 85biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
8786imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88 suprub 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
8955, 88sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9078, 79, 80, 87, 89letrd 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9190ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9291exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9348, 92biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9451, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9594anim1i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96 0red 11155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97 lelttr 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
9896, 61, 52, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10095, 99mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101 prodgt02 12000 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
10264, 63, 77, 100, 101syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103 ltdivmul 12027 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10462, 63, 64, 102, 103syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10559, 104mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
10612adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
107102gt0ne0d 11716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
10862, 64, 107redivcld 11980 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109 suprlub 12116 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110106, 108, 109syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111105, 110mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
11234adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
11361ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114 rspe 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115114, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤𝐶)
117 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
11889adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119117, 118eqbrtrrd 5128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120116, 119mpdan 685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121120expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122121exlimdv 1936 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124123adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125112, 113, 124lensymd 11303 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
12614adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
12719ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128102adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 0 < 𝐴)
129 ltdivmul 12027 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130113, 126, 127, 128, 129syl112anc 1374 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131125, 130mtbird 324 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132131nrexdv 3145 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133111, 132pm2.65da 815 . . . 4 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
13458, 133jca 512 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
13561, 52eqleltd 11296 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136134, 135mpbird 256 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137136eqcomd 2742 1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2713  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  wss 3909  c0 4281   class class class wbr 5104  (class class class)co 7354  supcsup 9373  cr 11047  0cc0 11048   · cmul 11053   < clt 11186  cle 11187   / cdiv 11809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810
This theorem is referenced by:  supmul  12124  hoidmvlelem1  44806
  Copyright terms: Public domain W3C validator