Theorem supmul1 11646

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 11649 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul1.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2	⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1

Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3413	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq2 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
4	3	cbvrexvw 3362	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5		eqeq1 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
6	5	rexbidv 3221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
7	4, 6	syl5bb 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8		supmul1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
9	1, 7, 8	elab2 3591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10		supmul1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
11		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
12	10, 11	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		suprcl 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simpl1 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	10, 18	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
21	10, 20	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
22	19, 21	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		suprub 11638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
25	12, 24	sylan 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26		lemul2a 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
27	14, 17, 23, 25, 26	syl31anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28		breq1 5035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
29	27, 28	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
30	29	rexlimdva 3208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
31	9, 30	syl5bi 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
32	31	ralrimiv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
33	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33, 14	remulcld 10709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35		eleq1a 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
37	36	rexlimdva 3208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
38	9, 37	syl5bi 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
39	38	ssrdv 3898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
40		simpr2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
41	10, 40	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
42		ovex 7183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝑏) ∈ V
43	42	isseti 3424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
44	43	rgenw 3082	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45		r19.2z 4388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
46	41, 44, 45	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
47	9	exbii 1849	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48		n0 4245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
49		rexcom4 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
50	47, 48, 49	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
51	46, 50	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
52	19, 16	remulcld 10709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53		brralrspcev 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
54	52, 32, 53	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
55	39, 51, 54	3jca 1125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
56		suprleub 11643	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
57	55, 52, 56	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
58	32, 57	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60		suprcl 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62	61	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
64	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		n0 4245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
66		0red 10682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
68	10, 67	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
69		breq2 5036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
70	69	rspccva 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
71	68, 70	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
72	66, 14, 17, 71, 25	letrd 10835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
73	72	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
74	73	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
75	65, 74	syl5bi 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
76	41, 75	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78		0red 10682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
79	38	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
80	61	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
82	33, 14, 81, 71	mulge0d 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83		breq2 5036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
84	82, 83	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
85	84	rexlimdva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
86	9, 85	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
87	86	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88		suprub 11638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
89	55, 88	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
90	78, 79, 80, 87, 89	letrd 10835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
91	90	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
92	91	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
93	48, 92	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
94	51, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
95	94	anim1i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96		0red 10682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97		lelttr 10769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
98	96, 61, 52, 97	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
99	98	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
100	95, 99	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101		prodgt02 11526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
102	64, 63, 77, 100, 101	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103		ltdivmul 11553	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
104	62, 63, 64, 102, 103	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
105	59, 104	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
106	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
107	102	gt0ne0d 11242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
108	62, 64, 107	redivcld 11506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109		suprlub 11641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110	106, 108, 109	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111	105, 110	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
112	34	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
113	61	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114		rspe 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115	114, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
116	115	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤 ∈ 𝐶)
117		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
118	89	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119	117, 118	eqbrtrrd 5056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120	116, 119	mpdan 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121	120	expr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122	121	exlimdv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
123	43, 122	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124	123	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125	112, 113, 124	lensymd 10829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
126	14	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
127	19	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128	102	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 < 𝐴)
129		ltdivmul 11553	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130	113, 126, 127, 128, 129	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131	125, 130	mtbird 328	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132	131	nrexdv 3194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133	111, 132	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
134	58, 133	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
135	61, 52	eqleltd 10822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136	134, 135	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137	136	eqcomd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  supcsup 8937  ℝcr 10574  0cc0 10575   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   / cdiv 11335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336

This theorem is referenced by:  supmul  11649  hoidmvlelem1  43600