Theorem supmul1 11874

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 11877 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul1.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2	⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1

Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
4	3	cbvrexvw 3373	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
6	5	rexbidv 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
7	4, 6	syl5bb 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8		supmul1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
9	1, 7, 8	elab2 3606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10		supmul1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		suprcl 11865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simpl1 1189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	10, 18	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpl2 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
21	10, 20	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
22	19, 21	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		suprub 11866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
25	12, 24	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26		lemul2a 11760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
27	14, 17, 23, 25, 26	syl31anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
29	27, 28	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
30	29	rexlimdva 3212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
31	9, 30	syl5bi 241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
32	31	ralrimiv 3106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
33	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33, 14	remulcld 10936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
37	36	rexlimdva 3212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
38	9, 37	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
39	38	ssrdv 3923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
40		simpr2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
41	10, 40	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
42		ovex 7288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝑏) ∈ V
43	42	isseti 3437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
44	43	rgenw 3075	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45		r19.2z 4422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
46	41, 44, 45	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
47	9	exbii 1851	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48		n0 4277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
49		rexcom4 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
50	47, 48, 49	3bitr4i 302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
51	46, 50	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
52	19, 16	remulcld 10936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53		brralrspcev 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
54	52, 32, 53	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
55	39, 51, 54	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
56		suprleub 11871	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
57	55, 52, 56	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
58	32, 57	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60		suprcl 11865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
64	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		n0 4277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
66		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67		simpl3 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
68	10, 67	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
69		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
70	69	rspccva 3551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
71	68, 70	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
72	66, 14, 17, 71, 25	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
73	72	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
74	73	exlimdv 1937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
75	65, 74	syl5bi 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
76	41, 75	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
79	38	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
80	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
82	33, 14, 81, 71	mulge0d 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
84	82, 83	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
85	84	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
86	9, 85	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
87	86	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88		suprub 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
89	55, 88	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
90	78, 79, 80, 87, 89	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
91	90	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
92	91	exlimdv 1937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
93	48, 92	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
94	51, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
95	94	anim1i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96		0red 10909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97		lelttr 10996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
98	96, 61, 52, 97	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
100	95, 99	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101		prodgt02 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
102	64, 63, 77, 100, 101	syl22anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103		ltdivmul 11780	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
104	62, 63, 64, 102, 103	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
105	59, 104	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
106	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
107	102	gt0ne0d 11469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
108	62, 64, 107	redivcld 11733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109		suprlub 11869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110	106, 108, 109	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111	105, 110	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
112	34	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
113	61	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114		rspe 3232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115	114, 9	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
116	115	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤 ∈ 𝐶)
117		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
118	89	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119	117, 118	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120	116, 119	mpdan 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121	120	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122	121	exlimdv 1937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
123	43, 122	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124	123	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125	112, 113, 124	lensymd 11056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
126	14	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
127	19	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128	102	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 < 𝐴)
129		ltdivmul 11780	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130	113, 126, 127, 128, 129	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131	125, 130	mtbird 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132	131	nrexdv 3197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133	111, 132	pm2.65da 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
134	58, 133	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
135	61, 52	eqleltd 11049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136	134, 135	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137	136	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  supmul  11877  hoidmvlelem1  44023