Theorem supmul1 12098

Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 12101 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul1.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2	⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmul1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1

Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3441	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
4	3	cbvrexvw 3212	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5		eqeq1 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
6	5	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8		supmul1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
9	1, 7, 8	elab2 3634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10		supmul1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15		suprcl 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	10, 18	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
21	10, 20	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
22	19, 21	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24		suprub 12090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
25	12, 24	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26		lemul2a 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
27	14, 17, 23, 25, 26	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28		breq1 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
29	27, 28	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
30	29	rexlimdva 3134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
31	9, 30	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
32	31	ralrimiv 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
33	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33, 14	remulcld 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35		eleq1a 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
37	36	rexlimdva 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
38	9, 37	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
39	38	ssrdv 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
40		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
41	10, 40	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
42		ovex 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝑏) ∈ V
43	42	isseti 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
44	43	rgenw 3052	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45		r19.2z 4444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
46	41, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
47	9	exbii 1849	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48		n0 4302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
49		rexcom4 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
50	47, 48, 49	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
51	46, 50	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
52	19, 16	remulcld 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53		brralrspcev 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
54	52, 32, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
55	39, 51, 54	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))
56		suprleub 12095	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
57	55, 52, 56	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
58	32, 57	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
59		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
60		suprcl 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
64	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65		n0 4302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
66		0red 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
67		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
68	10, 67	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
69		breq2 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
70	69	rspccva 3572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
71	68, 70	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
72	66, 14, 17, 71, 25	letrd 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
73	72	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
74	73	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
75	65, 74	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
76	41, 75	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
78		0red 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
79	38	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
80	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
82	33, 14, 81, 71	mulge0d 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
83		breq2 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
84	82, 83	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
85	84	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
86	9, 85	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
87	86	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
88		suprub 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
89	55, 88	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
90	78, 79, 80, 87, 89	letrd 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
91	90	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
92	91	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
93	48, 92	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
94	51, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
95	94	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
96		0red 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
97		lelttr 11210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
98	96, 61, 52, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
100	95, 99	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
101		prodgt02 11976	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
102	64, 63, 77, 100, 101	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
103		ltdivmul 12004	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
104	62, 63, 64, 102, 103	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
105	59, 104	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
106	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
107	102	gt0ne0d 11688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
108	62, 64, 107	redivcld 11956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
109		suprlub 12093	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
110	106, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
111	105, 110	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
112	34	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
113	61	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
114		rspe 3223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115	114, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐶)
116	115	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤 ∈ 𝐶)
117		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
118	89	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119	117, 118	eqbrtrrd 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120	116, 119	mpdan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121	120	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122	121	exlimdv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
123	43, 122	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124	123	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
125	112, 113, 124	lensymd 11271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
126	14	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
127	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
128	102	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 < 𝐴)
129		ltdivmul 12004	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
130	113, 126, 127, 128, 129	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
131	125, 130	mtbird 325	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
132	131	nrexdv 3128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
133	111, 132	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
134	58, 133	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
135	61, 52	eqleltd 11264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
136	134, 135	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
137	136	eqcomd 2739	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2711   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  supcsup 9331  ℝcr 11012  0cc0 11013   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  supmul  12101  hoidmvlelem1  46717