MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul1 12182
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that ๐ด ยท (sup๐ต) = sup(๐ด ยท ๐ต), where ๐ด ยท ๐ต is shorthand for {๐ด ยท ๐‘ โˆฃ ๐‘ โˆˆ ๐ต} and is defined as ๐ถ below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 12185 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘ฃ)}
supmul1.2 (๐œ‘ โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
supmul1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฃ,๐ด,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ฃ,๐ต,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ)   ๐ด(๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables ๐‘ ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . . . . . 8 ๐‘ค โˆˆ V
2 oveq2 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฃ) = (๐ด ยท ๐‘))
32eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘ โ†’ (๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘)))
43cbvrexvw 3235 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘ฃ) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘))
5 eqeq1 2736 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)))
65rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)))
74, 6bitrid 282 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘ฃ) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)))
8 supmul1.1 . . . . . . . 8 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐ด ยท ๐‘ฃ)}
91, 7, 8elab2 3672 . . . . . . 7 (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
1210, 11sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
1312simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
1413sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
15 suprcl 12173 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
18 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1910, 18sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
20 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2110, 20sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2219, 21jca 512 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
24 suprub 12174 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
2512, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
26 lemul2a 12068 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < )) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
28 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
2927, 28syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
3029rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
319, 30biimtrid 241 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
3231ralrimiv 3145 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
3319adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3433, 14remulcld 11243 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
35 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„))
3736rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„))
389, 37biimtrid 241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„))
3938ssrdv 3988 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โŠ† โ„)
40 simpr2 1195 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
4110, 40sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
42 ovex 7441 . . . . . . . . . . 11 (๐ด ยท ๐‘) โˆˆ V
4342isseti 3489 . . . . . . . . . 10 โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)
4443rgenw 3065 . . . . . . . . 9 โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)
45 r19.2z 4494 . . . . . . . . 9 ((๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
4641, 44, 45sylancl 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
479exbii 1850 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ค ๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
48 n0 4346 . . . . . . . . 9 (๐ถ โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ค ๐‘ค โˆˆ ๐ถ)
49 rexcom4 3285 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
5047, 48, 493bitr4i 302 . . . . . . . 8 (๐ถ โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
5146, 50sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…)
5219, 16remulcld 11243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„)
53 brralrspcev 5208 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
5452, 32, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ)
5539, 51, 543jca 1128 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ))
56 suprleub 12179 . . . . . 6 (((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„) โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5755, 52, 56syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5832, 57mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
59 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
60 suprcl 12173 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
6261adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
6316adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
6419adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65 n0 4346 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
66 0red 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
67 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
6810, 67sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
69 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
7069rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
7168, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
7266, 14, 17, 71, 25letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < )))
7473exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < )))
7565, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰  โˆ… โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < )))
7641, 75mpd 15 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
7776adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
78 0red 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
7938imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
8061adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
8121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
8233, 14, 81, 71mulge0d 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐‘))
83 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ค โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐‘)))
8482, 83syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค))
8584rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค))
869, 85biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค))
8786imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค)
88 suprub 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ถ โŠ† โ„ โˆง ๐ถ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
8955, 88sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
9078, 79, 80, 87, 89letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
9190ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
9291exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค ๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
9348, 92biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โ‰  โˆ… โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
9451, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
9594anim1i 615 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ (0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
96 0red 11216 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
97 lelttr 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ 0 < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
9896, 61, 52, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ 0 < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ ((0 โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ) โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ 0 < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
10095, 99mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ 0 < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
101 prodgt02 12061 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ) โˆง 0 < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))) โ†’ 0 < ๐ด)
10264, 63, 77, 100, 101syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ 0 < ๐ด)
103 ltdivmul 12088 . . . . . . . 8 ((sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < sup(๐ต, โ„, < ) โ†” sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
10462, 63, 64, 102, 103syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ ((sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < sup(๐ต, โ„, < ) โ†” sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
10559, 104mpbird 256 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < sup(๐ต, โ„, < ))
10612adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
107102gt0ne0d 11777 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ ๐ด โ‰  0)
10862, 64, 107redivcld 12041 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) โˆˆ โ„)
109 suprlub 12177 . . . . . . 7 (((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < sup(๐ต, โ„, < ) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘))
110106, 108, 109syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ ((sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < sup(๐ต, โ„, < ) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘))
111105, 110mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘)
11234adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
11361ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„)
114 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
115114, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ถ)
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ถ)
117 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))
11889adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
119117, 118eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
120116, 119mpdan 685 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
121120expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
122121exlimdv 1936 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ค ๐‘ค = (๐ด ยท ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < )))
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
124123adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โ‰ค sup(๐ถ, โ„, < ))
125112, 113, 124lensymd 11364 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท ๐‘))
12614adantlr 713 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
12719ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
128102adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 < ๐ด)
129 ltdivmul 12088 . . . . . . . 8 ((sup(๐ถ, โ„, < ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘ โ†” sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท ๐‘)))
130113, 126, 127, 128, 129syl112anc 1374 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘ โ†” sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท ๐‘)))
131125, 130mtbird 324 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘)
132131nrexdv 3149 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต (sup(๐ถ, โ„, < ) / ๐ด) < ๐‘)
133111, 132pm2.65da 815 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
13458, 133jca 512 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆง ยฌ sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
13561, 52eqleltd 11357 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (sup(๐ถ, โ„, < ) = (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” (sup(๐ถ, โ„, < ) โ‰ค (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) โˆง ยฌ sup(๐ถ, โ„, < ) < (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))))
136134, 135mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ถ, โ„, < ) = (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )))
137136eqcomd 2738 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท sup(๐ต, โ„, < )) = sup(๐ถ, โ„, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  supcsup 9434  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  supmul  12185  hoidmvlelem1  45301
  Copyright terms: Public domain W3C validator