Theorem infcvgaux2i 15782

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15780. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
infcvg.5a	⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13	⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux2i	⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.5a	. 2 ⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 = -𝐵
3		infcvg.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	negeqd 11375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
5	4	rspceeqv 3588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
6	2, 5	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7		negex 11379	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 ∈ V
8		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
9	8	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10		infcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
11	7, 9, 10	elab2 3626	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
12	6, 11	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ∈ 𝑅)
13		infcvg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
14		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
15		infcvg.4	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
16	10, 13, 14, 15	infcvgaux1i 15781	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)
17	16	suprubii 12118	. . . 4 ⊢ (-𝐵 ∈ 𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
18	12, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
19	3	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19, 13	vtoclga 3521	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	16	suprclii 12117	. . . 4 ⊢ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22		lenegcon1 11642	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
23	20, 21, 22	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
24	18, 23	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25	1, 24	eqbrtrid 5121	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  supcsup 9344  ℝcr 11026   < clt 11167   ≤ cle 11168  -cneg 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by: (None)