Theorem infcvgaux2i 15906

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15904. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
infcvg.5a	⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13	⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux2i	⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.5a	. 2 ⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 = -𝐵
3		infcvg.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	negeqd 11530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
5	4	rspceeqv 3658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
6	2, 5	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7		negex 11534	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 ∈ V
8		eqeq1 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
9	8	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10		infcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
11	7, 9, 10	elab2 3698	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
12	6, 11	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ∈ 𝑅)
13		infcvg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
14		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
15		infcvg.4	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
16	10, 13, 14, 15	infcvgaux1i 15905	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)
17	16	suprubii 12270	. . . 4 ⊢ (-𝐵 ∈ 𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
18	12, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
19	3	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19, 13	vtoclga 3589	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	16	suprclii 12269	. . . 4 ⊢ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22		lenegcon1 11794	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
23	20, 21, 22	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
24	18, 23	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25	1, 24	eqbrtrid 5201	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  supcsup 9509  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by: (None)