MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux2i 15822
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15820. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
infcvg.5a 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
infcvgaux2i (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i
StepHypRef Expression
1 infcvg.5a . 2 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2 eqid 2727 . . . . . 6 -𝐵 = -𝐵
3 infcvg.13 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
43negeqd 11470 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
54rspceeqv 3629 . . . . . 6 ((𝐶𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
62, 5mpan2 690 . . . . 5 (𝐶𝑋 → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7 negex 11474 . . . . . 6 -𝐵 ∈ V
8 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
98rexbidv 3173 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10 infcvg.1 . . . . . 6 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
117, 9, 10elab2 3669 . . . . 5 (-𝐵𝑅 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
126, 11sylibr 233 . . . 4 (𝐶𝑋 → -𝐵𝑅)
13 infcvg.2 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
14 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
15 infcvg.4 . . . . . 6 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
1610, 13, 14, 15infcvgaux1i 15821 . . . . 5 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
1716suprubii 12205 . . . 4 (-𝐵𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
1812, 17syl 17 . . 3 (𝐶𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
193eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2019, 13vtoclga 3561 . . . 4 (𝐶𝑋𝐵 ∈ ℝ)
2116suprclii 12204 . . . 4 sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22 lenegcon1 11734 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2320, 21, 22sylancl 585 . . 3 (𝐶𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2418, 23mpbid 231 . 2 (𝐶𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
251, 24eqbrtrid 5177 1 (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2704  wral 3056  wrex 3065   class class class wbr 5142  supcsup 9449  cr 11123   < clt 11264  cle 11265  -cneg 11461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator