Theorem infcvgaux2i 16071

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 16069. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
infcvg.5a	⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13	⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux2i	⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐵(𝑧, 𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑧, 𝑤)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑋(𝑧, 𝑤)   𝑍(𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.5a	. 2 ⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 = -𝐵
3		infcvg.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	negeqd 11590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
5	4	rspceeqv 3602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
6	2, 5	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7		negex 11594	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 ∈ V
8		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
9	8	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10		infcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
11	7, 9, 10	elab2 3639	. . . . 5 ⊢ ( -𝐵 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
12	6, 11	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ∈ 𝑅)
13		infcvg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
14		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
15		infcvg.4	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
16	10, 13, 14, 15	infcvgaux1i 16070	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)
17	16	suprubii 12332	. . . 4 ⊢ ( -𝐵 ∈ 𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
18	12, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
19	3	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19, 13	vtoclga 3540	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	16	suprclii 12331	. . . 4 ⊢ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22		lenegcon1 11860	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ( -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ( -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
24	18, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25	1, 24	eqbrtrid 5146	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  supcsup 9469  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by: (None)