Theorem infcvgaux2i 15894

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15892. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
infcvg.5a	⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13	⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux2i	⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.5a	. 2 ⊢ 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 = -𝐵
3		infcvg.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	negeqd 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
5	4	rspceeqv 3645	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
6	2, 5	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7		negex 11506	. . . . . 6 ⊢ -𝐵 ∈ V
8		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
9	8	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10		infcvg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
11	7, 9, 10	elab2 3682	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -𝐵 = -𝐴)
12	6, 11	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ∈ 𝑅)
13		infcvg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
14		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
15		infcvg.4	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
16	10, 13, 14, 15	infcvgaux1i 15893	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)
17	16	suprubii 12243	. . . 4 ⊢ (-𝐵 ∈ 𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
18	12, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
19	3	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19, 13	vtoclga 3577	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	16	suprclii 12242	. . . 4 ⊢ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22		lenegcon1 11767	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
24	18, 23	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25	1, 24	eqbrtrid 5178	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝑆 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  supcsup 9480  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by: (None)