MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux2i 15800
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15798. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
infcvg.5a 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
infcvgaux2i (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i
StepHypRef Expression
1 infcvg.5a . 2 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2 eqid 2732 . . . . . 6 -𝐵 = -𝐵
3 infcvg.13 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
43negeqd 11450 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
54rspceeqv 3632 . . . . . 6 ((𝐶𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
62, 5mpan2 689 . . . . 5 (𝐶𝑋 → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7 negex 11454 . . . . . 6 -𝐵 ∈ V
8 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
98rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10 infcvg.1 . . . . . 6 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
117, 9, 10elab2 3671 . . . . 5 (-𝐵𝑅 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
126, 11sylibr 233 . . . 4 (𝐶𝑋 → -𝐵𝑅)
13 infcvg.2 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
14 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
15 infcvg.4 . . . . . 6 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
1610, 13, 14, 15infcvgaux1i 15799 . . . . 5 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
1716suprubii 12185 . . . 4 (-𝐵𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
1812, 17syl 17 . . 3 (𝐶𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
193eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2019, 13vtoclga 3565 . . . 4 (𝐶𝑋𝐵 ∈ ℝ)
2116suprclii 12184 . . . 4 sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22 lenegcon1 11714 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2320, 21, 22sylancl 586 . . 3 (𝐶𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2418, 23mpbid 231 . 2 (𝐶𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
251, 24eqbrtrid 5182 1 (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5147  supcsup 9431  cr 11105   < clt 11244  cle 11245  -cneg 11441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator