MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux2i 15891
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15889. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
infcvg.5a 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
infcvgaux2i (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i
StepHypRef Expression
1 infcvg.5a . 2 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2 eqid 2735 . . . . . 6 -𝐵 = -𝐵
3 infcvg.13 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
43negeqd 11500 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
54rspceeqv 3645 . . . . . 6 ((𝐶𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
62, 5mpan2 691 . . . . 5 (𝐶𝑋 → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7 negex 11504 . . . . . 6 -𝐵 ∈ V
8 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
98rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10 infcvg.1 . . . . . 6 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
117, 9, 10elab2 3685 . . . . 5 (-𝐵𝑅 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
126, 11sylibr 234 . . . 4 (𝐶𝑋 → -𝐵𝑅)
13 infcvg.2 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
14 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
15 infcvg.4 . . . . . 6 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
1610, 13, 14, 15infcvgaux1i 15890 . . . . 5 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
1716suprubii 12241 . . . 4 (-𝐵𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
1812, 17syl 17 . . 3 (𝐶𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
193eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2019, 13vtoclga 3577 . . . 4 (𝐶𝑋𝐵 ∈ ℝ)
2116suprclii 12240 . . . 4 sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22 lenegcon1 11765 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2320, 21, 22sylancl 586 . . 3 (𝐶𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2418, 23mpbid 232 . 2 (𝐶𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
251, 24eqbrtrid 5183 1 (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  supcsup 9478  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator