MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux2i 14994
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 14992. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
infcvg.5a 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
infcvg.13 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
infcvgaux2i (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux2i
StepHypRef Expression
1 infcvg.5a . 2 𝑆 = -sup(𝑅, ℝ, < )
2 eqid 2777 . . . . . 6 -𝐵 = -𝐵
3 infcvg.13 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐶𝐴 = 𝐵)
43negeqd 10616 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → -𝐴 = -𝐵)
54rspceeqv 3528 . . . . . 6 ((𝐶𝑋 ∧ -𝐵 = -𝐵) → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
62, 5mpan2 681 . . . . 5 (𝐶𝑋 → ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
7 negex 10620 . . . . . 6 -𝐵 ∈ V
8 eqeq1 2781 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝐵 = -𝐴))
98rexbidv 3236 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐵 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴))
10 infcvg.1 . . . . . 6 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
117, 9, 10elab2 3561 . . . . 5 (-𝐵𝑅 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝐵 = -𝐴)
126, 11sylibr 226 . . . 4 (𝐶𝑋 → -𝐵𝑅)
13 infcvg.2 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
14 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
15 infcvg.4 . . . . . 6 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
1610, 13, 14, 15infcvgaux1i 14993 . . . . 5 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
1716suprubii 11352 . . . 4 (-𝐵𝑅 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
1812, 17syl 17 . . 3 (𝐶𝑋 → -𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
193eleq1d 2843 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2019, 13vtoclga 3473 . . . 4 (𝐶𝑋𝐵 ∈ ℝ)
2116suprclii 11351 . . . 4 sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ
22 lenegcon1 10879 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2320, 21, 22sylancl 580 . . 3 (𝐶𝑋 → (-𝐵 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ) ↔ -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵))
2418, 23mpbid 224 . 2 (𝐶𝑋 → -sup(𝑅, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
251, 24syl5eqbr 4921 1 (𝐶𝑋𝑆𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2106  {cab 2762  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4886  supcsup 8634  cr 10271   < clt 10411  cle 10412  -cneg 10607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator