| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | vex 3483 | . . . . 5
⊢ 𝑤 ∈ V | 
| 2 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 3 | 2 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))) | 
| 4 | 3 | rexbidv 3178 | . . . . . . 7
⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))) | 
| 5 | 4 | cbvrexvw 3237 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 6 |  | eqeq1 2740 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))) | 
| 7 | 6 | 2rexbidv 3221 | . . . . . 6
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))) | 
| 8 | 5, 7 | bitrid 283 | . . . . 5
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))) | 
| 9 |  | supmul.1 | . . . . 5
⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)} | 
| 10 | 1, 8, 9 | elab2 3681 | . . . 4
⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 11 |  | supmul.2 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))) | 
| 12 | 11 | simp2bi 1146 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) | 
| 13 | 12 | simp1d 1142 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) | 
| 14 | 13 | sseld 3981 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ)) | 
| 15 | 11 | simp3bi 1147 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) | 
| 16 | 15 | simp1d 1142 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ) | 
| 17 | 16 | sseld 3981 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ ℝ)) | 
| 18 | 14, 17 | anim12d 609 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))) | 
| 19 |  | remulcl 11241 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ) | 
| 20 | 18, 19 | syl6 35 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)) | 
| 21 |  | eleq1a 2835 | . . . . . 6
⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)) | 
| 22 | 20, 21 | syl6 35 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))) | 
| 23 | 22 | rexlimdvv 3211 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)) | 
| 24 | 10, 23 | biimtrid 242 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ)) | 
| 25 | 24 | ssrdv 3988 | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ) | 
| 26 | 12 | simp2d 1143 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅) | 
| 27 | 15 | simp2d 1143 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅) | 
| 28 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V | 
| 29 | 28 | isseti 3497 | . . . . . . . . 9
⊢
∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) | 
| 30 | 29 | rgenw 3064 | . . . . . . . 8
⊢
∀𝑏 ∈
𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) | 
| 31 |  | r19.2z 4494 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧
∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 32 | 27, 30, 31 | sylancl 586 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 33 |  | rexcom4 3287 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑏 ∈
𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 34 | 32, 33 | sylib 218 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 35 | 34 | ralrimivw 3149 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 36 |  | r19.2z 4494 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧
∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 37 | 26, 35, 36 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 38 |  | rexcom4 3287 | . . . 4
⊢
(∃𝑎 ∈
𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 39 | 37, 38 | sylib 218 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 40 |  | n0 4352 | . . . 4
⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔
∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶) | 
| 41 | 10 | exbii 1847 | . . . 4
⊢
(∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 42 | 40, 41 | bitri 275 | . . 3
⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔
∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) | 
| 43 | 39, 42 | sylibr 234 | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅) | 
| 44 |  | suprcl 12229 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈
ℝ) | 
| 45 | 12, 44 | syl 17 | . . . 4
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈
ℝ) | 
| 46 |  | suprcl 12229 | . . . . 5
⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) | 
| 47 | 15, 46 | syl 17 | . . . 4
⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈
ℝ) | 
| 48 | 45, 47 | remulcld 11292 | . . 3
⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈
ℝ) | 
| 49 | 9, 11 | supmullem1 12239 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, <
))) | 
| 50 |  | brralrspcev 5202 | . . 3
⊢
(((sup(𝐴, ℝ,
< ) · sup(𝐵,
ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) →
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) | 
| 51 | 48, 49, 50 | syl2anc 584 | . 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥) | 
| 52 | 25, 43, 51 | 3jca 1128 | 1
⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)) |