Theorem supmullem2 12126

Description: Lemma for supmul 12127. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3449	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
4	3	rexbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
5	4	cbvrexvw 3226	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
7	6	2rexbidv 3213	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
8	5, 7	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9		supmul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
10	1, 8, 9	elab2 3634	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	11	simp2bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sseld 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
15	11	simp3bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
16	15	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
17	16	sseld 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ ℝ))
18	14, 17	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
19		remulcl 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ))
21		eleq1a 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
22	20, 21	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
23	22	rexlimdvv 3204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
24	10, 23	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
25	24	ssrdv 3950	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
26	12	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
27	15	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
28		ovex 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
29	28	isseti 3460	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
30	29	rgenw 3068	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
31		r19.2z 4452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
32	27, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
33		rexcom4 3271	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
34	32, 33	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
35	34	ralrimivw 3147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
36		r19.2z 4452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
37	26, 35, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
38		rexcom4 3271	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
39	37, 38	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
40		n0 4306	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
41	10	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
42	40, 41	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
43	39, 42	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
44		suprcl 12115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
45	12, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46		suprcl 12115	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	15, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
48	45, 47	remulcld 11185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
49	9, 11	supmullem1 12125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
50		brralrspcev 5165	. . 3 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
52	25, 43, 51	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2713   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388

This theorem is referenced by:  supmul  12127  01sqrexlem5  15131