MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmullem2 11803
Description: Lemma for supmul 11804. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmullem2 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3412 . . . . 5 𝑤 ∈ V
2 oveq1 7220 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
32eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
43rexbidv 3216 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
54cbvrexvw 3359 . . . . . 6 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
762rexbidv 3219 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
85, 7syl5bb 286 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9 supmul.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
101, 8, 9elab2 3591 . . . 4 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1211simp2bi 1148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1312simp1d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413sseld 3900 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
1511simp3bi 1149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1615simp1d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1716sseld 3900 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵𝑏 ∈ ℝ))
1814, 17anim12d 612 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
19 remulcl 10814 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
2018, 19syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ))
21 eleq1a 2833 . . . . . 6 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
2220, 21syl6 35 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
2322rexlimdvv 3212 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
2410, 23syl5bi 245 . . 3 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
2524ssrdv 3907 . 2 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
2612simp2d 1145 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2715simp2d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
28 ovex 7246 . . . . . . . . . 10 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
2928isseti 3423 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
3029rgenw 3073 . . . . . . . 8 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
31 r19.2z 4406 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3227, 30, 31sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
33 rexcom4 3172 . . . . . . 7 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3432, 33sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3534ralrimivw 3106 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
36 r19.2z 4406 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3726, 35, 36syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
38 rexcom4 3172 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3937, 38sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
40 n0 4261 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4110exbii 1855 . . . 4 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
4240, 41bitri 278 . . 3 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
4339, 42sylibr 237 . 2 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
44 suprcl 11792 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4512, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 suprcl 11792 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4715, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4845, 47remulcld 10863 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
499, 11supmullem1 11802 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
50 brralrspcev 5113 . . 3 (((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5148, 49, 50syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5225, 43, 513jca 1130 1 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  supcsup 9056  cr 10728  0cc0 10729   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065
This theorem is referenced by:  supmul  11804  sqrlem5  14810
  Copyright terms: Public domain W3C validator