Theorem supmullem2 12240

Description: Lemma for supmul 12241. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3483	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
4	3	rexbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
5	4	cbvrexvw 3237	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
7	6	2rexbidv 3221	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
8	5, 7	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9		supmul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
10	1, 8, 9	elab2 3681	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	11	simp2bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sseld 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
15	11	simp3bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
16	15	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
17	16	sseld 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ ℝ))
18	14, 17	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
19		remulcl 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ))
21		eleq1a 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
22	20, 21	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
23	22	rexlimdvv 3211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
24	10, 23	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
25	24	ssrdv 3988	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
26	12	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
27	15	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
28		ovex 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
29	28	isseti 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
30	29	rgenw 3064	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
31		r19.2z 4494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
32	27, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
33		rexcom4 3287	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
34	32, 33	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
35	34	ralrimivw 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
36		r19.2z 4494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
37	26, 35, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
38		rexcom4 3287	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
39	37, 38	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
40		n0 4352	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
41	10	exbii 1847	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
42	40, 41	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
43	39, 42	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
44		suprcl 12229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
45	12, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46		suprcl 12229	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	15, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
48	45, 47	remulcld 11292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
49	9, 11	supmullem1 12239	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
50		brralrspcev 5202	. . 3 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
52	25, 43, 51	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  {cab 2713   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  supcsup 9481  ℝcr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496

This theorem is referenced by:  supmul  12241  01sqrexlem5  15286