Theorem supmullem2 11946

Description: Lemma for supmul 11947. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
4	3	rexbidv 3226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
5	4	cbvrexvw 3384	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
7	6	2rexbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
8	5, 7	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9		supmul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
10	1, 8, 9	elab2 3613	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	11	simp2bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
15	11	simp3bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
16	15	simp1d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
17	16	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ ℝ))
18	14, 17	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
19		remulcl 10956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ))
21		eleq1a 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
22	20, 21	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
23	22	rexlimdvv 3222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
24	10, 23	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ))
25	24	ssrdv 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ)
26	12	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
27	15	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
28		ovex 7308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
29	28	isseti 3447	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
30	29	rgenw 3076	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
31		r19.2z 4425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
32	27, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
33		rexcom4 3233	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
34	32, 33	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
35	34	ralrimivw 3104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
36		r19.2z 4425	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
37	26, 35, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
38		rexcom4 3233	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑤∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
39	37, 38	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
40		n0 4280	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
41	10	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
42	40, 41	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
43	39, 42	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
44		suprcl 11935	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
45	12, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46		suprcl 11935	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	15, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
48	45, 47	remulcld 11005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
49	9, 11	supmullem1 11945	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
50		brralrspcev 5134	. . 3 ⊢ (((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥)
52	25, 43, 51	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  supmul  11947  sqrlem5  14958