MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmullem2 12240
Description: Lemma for supmul 12241. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmullem2 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3483 . . . . 5 𝑤 ∈ V
2 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
32eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
43rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
54cbvrexvw 3237 . . . . . 6 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
762rexbidv 3221 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
85, 7bitrid 283 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9 supmul.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
101, 8, 9elab2 3681 . . . 4 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1211simp2bi 1146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1312simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413sseld 3981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
1511simp3bi 1147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1615simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1716sseld 3981 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵𝑏 ∈ ℝ))
1814, 17anim12d 609 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
19 remulcl 11241 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
2018, 19syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ))
21 eleq1a 2835 . . . . . 6 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
2220, 21syl6 35 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
2322rexlimdvv 3211 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
2410, 23biimtrid 242 . . 3 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
2524ssrdv 3988 . 2 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
2612simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2715simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
28 ovex 7465 . . . . . . . . . 10 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
2928isseti 3497 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
3029rgenw 3064 . . . . . . . 8 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
31 r19.2z 4494 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3227, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
33 rexcom4 3287 . . . . . . 7 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3432, 33sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3534ralrimivw 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
36 r19.2z 4494 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3726, 35, 36syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
38 rexcom4 3287 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3937, 38sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
40 n0 4352 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4110exbii 1847 . . . 4 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
4240, 41bitri 275 . . 3 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
4339, 42sylibr 234 . 2 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
44 suprcl 12229 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4512, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 suprcl 12229 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4715, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4845, 47remulcld 11292 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
499, 11supmullem1 12239 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
50 brralrspcev 5202 . . 3 (((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5148, 49, 50syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5225, 43, 513jca 1128 1 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  {cab 2713  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  supcsup 9481  cr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496
This theorem is referenced by:  supmul  12241  01sqrexlem5  15286
  Copyright terms: Public domain W3C validator