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Theorem mertenslem2 15770
Description: Lemma for mertens 15771. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
Assertion
Ref Expression
mertenslem2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑇,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑠)   𝐴(𝑧,𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑗,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem mertenslem2
Dummy variables 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 mertens.9 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
43rphalfcld 12969 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5 nn0uz 12805 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6 0zd 12511 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
8 mertens.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
9 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 15321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
12 mertens.7 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
135, 6, 7, 11, 12isumrecl 15650 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
149absge0d 15329 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1514, 8breqtrrd 5133 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
165, 6, 7, 11, 12, 15isumge0 15651 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
1713, 16ge0p1rpd 12987 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
184, 17rpdivcld 12974 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
19 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
20 mertens.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
21 mertens.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 mertens.8 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
235, 6, 20, 21, 22isumclim2 15643 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)
241, 2, 18, 19, 23climi2 15393 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
25 eluznn 12843 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)) → 𝑚 ∈ ℕ)
2620, 21eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
275, 6, 26serf 13936 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ)
28 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
29 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
315, 6, 20, 21, 22isumcl 15646 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
3330, 32abssubd 15338 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))))
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑚 + 1))
3528adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
39 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝜑)
40 eluznn0 12842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4137, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4239, 41, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
4339, 41, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4526adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
465, 37, 45iserex 15541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4834, 38, 42, 43, 47isumcl 15646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵 ∈ ℂ)
4930, 48pncan2d 11514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵)
5020adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
5121adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
525, 34, 37, 50, 51, 44isumsplit 15725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
53 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
55 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
56 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
5754, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
5857oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0...((𝑚 + 1) − 1)) = (0...𝑚))
5958sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵)
60 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝜑)
61 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6260, 61, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
6335, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
6460, 61, 21syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6562, 63, 64fsumser 15615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
6659, 65eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
6766oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
6852, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
6968oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)))
7042sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵)
7149, 69, 703eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘))
7271fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)))
7333, 72eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)))
7473breq1d 5115 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7525, 74sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7675anassrs 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7776ralbidva 3172 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
78 fvoveq1 7380 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1)))
7978sumeq1d 15586 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))
8079fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
8180breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
8281cbvralvw 3225 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
8377, 82bitrdi 286 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
84 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
85 0zd 12511 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℤ)
864adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
8784simplbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝑠 ∈ ℕ)
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℕ)
8988nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℝ+)
9086, 89rpdivcld 12974 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
91 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
92 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1))
93 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
95 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
98 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
99 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
100 eluznn0 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10196, 100sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10299, 101, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
10322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10426ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
1055, 96, 104iserex 15541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
106103, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10792, 97, 98, 102, 106isumcl 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
108107abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
109 eleq1a 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
111110rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
112111abssdv 4025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))} ⊆ ℝ)
11391, 112eqsstrid 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ⊆ ℝ)
114 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
115 abrexfi 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))} ∈ Fin)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))} ∈ Fin)
11791, 116eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ Fin)
118 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
11988, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
120119, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ (ℤ‘0))
121 eluzfz1 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
123 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
124123, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
125124sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
126125adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
127126fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
128127eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)))
129 fv0p1e1 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 0 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘1))
130129, 1eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 0 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = ℕ)
131130sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 0 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘))
132131fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 0 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)))
133132rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
134122, 128, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
135 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ V
136 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
137136rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
138135, 137, 91elab2 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
139134, 138sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇)
140139ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ≠ ∅)
141 ltso 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
142 fisupcl 9405 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or ℝ ∧ (𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑇 ⊆ ℝ)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
143141, 142mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑇 ⊆ ℝ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
144117, 140, 113, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
145113, 144sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
146 0red 11158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℝ)
147123, 21sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
148 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
1505, 149, 26iserex 15541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
15122, 150mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1521, 2, 124, 147, 151isumcl 15646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
153152adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
154153abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ)
155153absge0d 15329 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
156 fimaxre2 12100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)
157113, 117, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)
158113, 140, 157, 139suprubd 12117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
159146, 154, 145, 155, 158letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
160145, 159ge0p1rpd 12987 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
16190, 160rpdivcld 12974 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
162 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
163 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))
164 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑚) ∈ V
165162, 163, 164fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑚) = (𝐾𝑚))
166165adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑚) = (𝐾𝑚))
167 nn0ex 12419 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
168167mptex 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ∈ V
169168a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ∈ V)
170 elnn0uz 12808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ‘0))
171 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
172 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾𝑗) ∈ V
173171, 163, 172fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
174173adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
175170, 174sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
1766, 175seqfeq 13933 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))) = seq0( + , 𝐾))
177176, 12eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))) ∈ dom ⇝ )
178174, 8eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (abs‘𝐴))
179178, 10eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) ∈ ℝ)
180179recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
1815, 6, 169, 177, 180serf0 15565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ⇝ 0)
182181adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ⇝ 0)
1835, 85, 161, 166, 182climi0 15394 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
184 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝜑)
185 eluznn0 12842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
186185adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
18711, 15absidd 15307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗))
188187ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗))
189 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑚 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑚))
190189fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (abs‘(𝐾𝑗)) = (abs‘(𝐾𝑚)))
191190, 189eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗) ↔ (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚)))
192191rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
193188, 192sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
194184, 186, 193syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
195194breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → ((abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
196195ralbidva 3172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
197162breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
198197cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
199196, 198bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
200 mertens.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
201200ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
2028ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
2039ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20420ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
20521ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
206 mertens.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
207206ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
20812ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
20922ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2103ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
211198anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
212211anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ↔ (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
213212biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
214213adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
215113, 140, 1573jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
216159, 215jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
218201, 202, 203, 204, 205, 207, 208, 209, 210, 91, 84, 214, 217mertenslem1 15769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
219218expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
220199, 219sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
221220rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
222183, 221mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
223222ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜓 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
22484, 223biimtrrid 242 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
225224expdimp 453 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
22683, 225sylbid 239 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
227226rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
22824, 227mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  mertens  15771
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