Theorem mertenslem2 15855

Description: Lemma for mertens 15856. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
mertens.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
mertens.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
mertens.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
mertens.11	⊢ (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
mertenslem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑇,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑠)   𝐴(𝑧,𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑗,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem mertenslem2

Dummy variables 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12887	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12615	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		mertens.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
4	3	rphalfcld 13052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5		nn0uz 12886	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		0zd 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7		eqidd 2728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
8		mertens.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
9		mertens.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	8, 10	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
12		mertens.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
13	5, 6, 7, 11, 12	isumrecl 15735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
14	9	absge0d 15415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	14, 8	breqtrrd 5170	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
16	5, 6, 7, 11, 12, 15	isumge0 15736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗))
17	13, 16	ge0p1rpd 13070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
18	4, 17	rpdivcld 13057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
19		eqidd 2728	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
20		mertens.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
21		mertens.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		mertens.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
23	5, 6, 20, 21, 22	isumclim2 15728	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)
24	1, 2, 18, 19, 23	climi2 15479	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
25		eluznn 12924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)) → 𝑚 ∈ ℕ)
26	20, 21	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 6, 26	serf 14019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ)
28		nnnn0 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
29		ffvelcdm 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
30	27, 28, 29	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
31	5, 6, 20, 21, 22	isumcl 15731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
33	30, 32	abssubd 15424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))))
34		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑚 + 1))
35	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36		peano2nn0 12534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
39		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝜑)
40		eluznn0 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
41	37, 40	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
42	39, 41, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
43	39, 41, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
45	26	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
46	5, 37, 45	iserex 15627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
47	44, 46	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
48	34, 38, 42, 43, 47	isumcl 15731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵 ∈ ℂ)
49	30, 48	pncan2d 11595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵)
50	20	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
51	21	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	5, 34, 37, 50, 51, 44	isumsplit 15810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵))
53		nncn 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
55		ax-1cn 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
56		pncan 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
57	54, 55, 56	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
58	57	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0...((𝑚 + 1) − 1)) = (0...𝑚))
59	58	sumeq1d 15671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵)
60		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝜑)
61		elfznn0 13618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62	60, 61, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
63	35, 5	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
64	60, 61, 21	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	fsumser 15700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
66	59, 65	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
67	66	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵))
68	52, 67	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵))
69	68	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)))
70	42	sumeq2dv 15673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵)
71	49, 69, 70	3eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘))
72	71	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)))
73	33, 72	eqtrd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)))
74	73	breq1d 5152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
75	25, 74	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠))) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
76	75	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
77	76	ralbidva 3170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
78		fvoveq1 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))
79	78	sumeq1d 15671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))
80	79	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
81	80	breq1d 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
82	81	cbvralvw 3229	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
83	77, 82	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
84		mertens.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
85		0zd 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ ℤ)
86	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
87	84	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜓 → 𝑠 ∈ ℕ)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑠 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑠 ∈ ℝ+)
90	86, 89	rpdivcld 13057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
91		mertens.10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
92		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1))
93		elfznn0 13618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
95		peano2nn0 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
97	96	nn0zd 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
98		eqidd 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
99		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
100		eluznn0 12923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	96, 100	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
102	99, 101, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
103	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
104	26	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
105	5, 96, 104	iserex 15627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
106	103, 105	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
107	92, 97, 98, 102, 106	isumcl 15731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
108	107	abscld 15407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
109		eleq1a 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
111	110	rexlimdva 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
112	111	abssdv 4061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))} ⊆ ℝ)
113	91, 112	eqsstrid 4026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑇 ⊆ ℝ)
114		fzfid 13962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
115		abrexfi 9368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))} ∈ Fin)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))} ∈ Fin)
117	91, 116	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑇 ∈ Fin)
118		nnm1nn0 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
119	88, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
120	119, 5	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
121		eluzfz1 13532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
123		nnnn0 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
124	123, 20	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
125	124	sumeq2dv 15673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
127	126	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
128	127	eqcomd 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘)))
129		fv0p1e1 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 0 → (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘1))
130	129, 1	eqtr4di 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 0 → (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = ℕ)
131	130	sumeq1d 15671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 0 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘))
132	131	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 0 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘)))
133	132	rspceeqv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
134	122, 128, 133	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
135		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ V
136		eqeq1 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
137	136	rexbidv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
138	135, 137, 91	elab2 3669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
139	134, 138	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇)
140	139	ne0d 4331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑇 ≠ ∅)
141		ltso 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ < Or ℝ
142		fisupcl 9484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑇 ⊆ ℝ)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
143	141, 142	mpan 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑇 ⊆ ℝ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
144	117, 140, 113, 143	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
145	113, 144	sseldd 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
146		0red 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ ℝ)
147	123, 21	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
148		1nn0 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ0
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
150	5, 149, 26	iserex 15627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
151	22, 150	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
152	1, 2, 124, 147, 151	isumcl 15731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
153	152	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
154	153	abscld 15407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ)
155	153	absge0d 15415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
156		fimaxre2 12181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)
157	113, 117, 156	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)
158	113, 140, 157, 139	suprubd 12198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
159	146, 154, 145, 155, 158	letrd 11393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
160	145, 159	ge0p1rpd 13070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
161	90, 160	rpdivcld 13057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
162		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑚))
163		eqid 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))
164		fvex 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾‘𝑚) ∈ V
165	162, 163, 164	fvmpt 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑚) = (𝐾‘𝑚))
166	165	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑚) = (𝐾‘𝑚))
167		nn0ex 12500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
168	167	mptex 7229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ∈ V
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ∈ V)
170		elnn0uz 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
171		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑗))
172		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾‘𝑗) ∈ V
173	171, 163, 172	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
174	173	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
175	170, 174	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
176	6, 175	seqfeq 14016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))) = seq0( + , 𝐾))
177	176, 12	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))) ∈ dom ⇝ )
178	174, 8	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (abs‘𝐴))
179	178, 10	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) ∈ ℝ)
180	179	recnd 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
181	5, 6, 169, 177, 180	serf0 15651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ⇝ 0)
182	181	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ⇝ 0)
183	5, 85, 161, 166, 182	climi0 15480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
184		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝜑)
185		eluznn0 12923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
186	185	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
187	11, 15	absidd 15393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗))
188	187	ralrimiva 3141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗))
189		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐾‘𝑗) = (𝐾‘𝑚))
190	189	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (abs‘(𝐾‘𝑚)))
191	190, 189	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗) ↔ (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚)))
192	191	rspccva 3606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚))
193	188, 192	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚))
194	184, 186, 193	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚))
195	194	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → ((abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
196	195	ralbidva 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
197	162	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
198	197	cbvralvw 3229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
199	196, 198	bitr4di 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
200		mertens.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
201	200	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
202	8	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
203	9	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
204	20	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
205	21	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
206		mertens.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
207	206	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
208	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
209	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
210	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
211	198	anbi2i 622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
212	211	anbi2i 622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ↔ (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
213	212	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
214	213	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
215	113, 140, 157	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧))
216	159, 215	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)))
217	216	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)))
218	201, 202, 203, 204, 205, 207, 208, 209, 210, 91, 84, 214, 217	mertenslem1 15854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
219	218	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
220	199, 219	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
221	220	rexlimdva 3150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (∃𝑡 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
222	183, 221	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
223	222	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
224	84, 223	biimtrrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
225	224	expdimp 452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
226	83, 225	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
227	226	rexlimdva 3150	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
228	24, 227	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Or wor 5583  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  supcsup 9455  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466   / cdiv 11893  ℕcn 12234  2c2 12289  ℕ₀cn0 12494  ℤ_≥cuz 12844  ℝ⁺crp 12998  ...cfz 13508  seqcseq 13990  abscabs 15205   ⇝ cli 15452  Σcsu 15656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657

This theorem is referenced by:  mertens  15856