Theorem mertenslem2 15841

Description: Lemma for mertens 15842. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
mertens.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
mertens.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
mertens.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
mertens.11	⊢ (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
mertenslem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑇,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑠)   𝐴(𝑧,𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑗,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem mertenslem2

Dummy variables 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12818	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		mertens.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
4	3	rphalfcld 12989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5		nn0uz 12817	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		0zd 12527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
8		mertens.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
9		mertens.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	8, 10	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
12		mertens.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
13	5, 6, 7, 11, 12	isumrecl 15718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) ∈ ℝ)
14	9	absge0d 15400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	14, 8	breqtrrd 5100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾‘𝑗))
16	5, 6, 7, 11, 12, 15	isumge0 15719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗))
17	13, 16	ge0p1rpd 13007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
18	4, 17	rpdivcld 12994	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
19		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
20		mertens.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
21		mertens.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		mertens.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
23	5, 6, 20, 21, 22	isumclim2 15711	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)
24	1, 2, 18, 19, 23	climi2 15464	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
25		eluznn 12859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)) → 𝑚 ∈ ℕ)
26	20, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 6, 26	serf 13983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ)
28		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
29		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
30	27, 28, 29	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
31	5, 6, 20, 21, 22	isumcl 15714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
33	30, 32	abssubd 15409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))))
34		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑚 + 1))
35	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
39		simpll 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝜑)
40		eluznn0 12858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
41	37, 40	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
42	39, 41, 20	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
43	39, 41, 21	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
45	26	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
46	5, 37, 45	iserex 15610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
47	44, 46	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
48	34, 38, 42, 43, 47	isumcl 15714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵 ∈ ℂ)
49	30, 48	pncan2d 11498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵)
50	20	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
51	21	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
52	5, 34, 37, 50, 51, 44	isumsplit 15796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵))
53		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
55		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
56		pncan 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
57	54, 55, 56	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
58	57	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0...((𝑚 + 1) − 1)) = (0...𝑚))
59	58	sumeq1d 15653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵)
60		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝜑)
61		elfznn0 13565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62	60, 61, 20	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
63	35, 5	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
64	60, 61, 21	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	fsumser 15683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
66	59, 65	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
67	66	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵))
68	52, 67	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵))
69	68	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)))
70	42	sumeq2dv 15655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))𝐵)
71	49, 69, 70	3eqtr4d 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘))
72	71	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)))
73	33, 72	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)))
74	73	breq1d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
75	25, 74	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠))) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
76	75	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
77	76	ralbidva 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
78		fvoveq1 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1)))
79	78	sumeq1d 15653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))
80	79	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
81	80	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
82	81	cbvralvw 3217	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)))
83	77, 82	bitrdi 288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
84		mertens.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))))
85		0zd 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ ℤ)
86	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
87	84	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜓 → 𝑠 ∈ ℕ)
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑠 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑠 ∈ ℝ+)
90	86, 89	rpdivcld 12994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
91		mertens.10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
92		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1))
93		elfznn0 13565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
95		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
97	96	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
98		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
99		simplll 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
100		eluznn0 12858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101	96, 100	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
102	99, 101, 26	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
103	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
104	26	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
105	5, 96, 104	iserex 15610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
106	103, 105	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
107	92, 97, 98, 102, 106	isumcl 15714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
108	107	abscld 15392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
109		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
111	110	rexlimdva 3140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) → 𝑧 ∈ ℝ))
112	111	abssdv 3998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))} ⊆ ℝ)
113	91, 112	eqsstrid 3953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑇 ⊆ ℝ)
114		fzfid 13926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
115		abrexfi 9252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))} ∈ Fin)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))} ∈ Fin)
117	91, 116	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑇 ∈ Fin)
118		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
119	88, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
120	119, 5	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
121		eluzfz1 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
123		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
124	123, 20	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
125	124	sumeq2dv 15655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
127	126	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
128	127	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘)))
129		fv0p1e1 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 0 → (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘1))
130	129, 1	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 0 → (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = ℕ)
131	130	sumeq1d 15653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 0 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘))
132	131	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 0 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘)))
133	132	rspceeqv 3583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺‘𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
134	122, 128, 133	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
135		fvex 6840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ V
136		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
137	136	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
138	135, 137, 91	elab2 3620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
139	134, 138	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇)
140	139	ne0d 4270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑇 ≠ ∅)
141		ltso 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ < Or ℝ
142		fisupcl 9373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑇 ⊆ ℝ)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
143	141, 142	mpan 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑇 ⊆ ℝ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
144	117, 140, 113, 143	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
145	113, 144	sseldd 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
146		0red 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ∈ ℝ)
147	123, 21	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
148		1nn0 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ0
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
150	5, 149, 26	iserex 15610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
151	22, 150	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
152	1, 2, 124, 147, 151	isumcl 15714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
154	153	abscld 15392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ)
155	153	absge0d 15400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
156		fimaxre2 12092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)
157	113, 117, 156	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)
158	113, 140, 157, 139	suprubd 12109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
159	146, 154, 145, 155, 158	letrd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
160	145, 159	ge0p1rpd 13007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
161	90, 160	rpdivcld 12994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
162		fveq2 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑚))
163		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))
164		fvex 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾‘𝑚) ∈ V
165	162, 163, 164	fvmpt 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑚) = (𝐾‘𝑚))
166	165	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑚) = (𝐾‘𝑚))
167		nn0ex 12434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
168	167	mptex 7167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ∈ V
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ∈ V)
170		elnn0uz 12820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
171		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑗))
172		fvex 6840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾‘𝑗) ∈ V
173	171, 163, 172	fvmpt 6935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
175	170, 174	sylan2br 601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (𝐾‘𝑗))
176	6, 175	seqfeq 13980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))) = seq0( + , 𝐾))
177	176, 12	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))) ∈ dom ⇝ )
178	174, 8	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) = (abs‘𝐴))
179	178, 10	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) ∈ ℝ)
180	179	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
181	5, 6, 169, 177, 180	serf0 15634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ⇝ 0)
182	181	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾‘𝑛)) ⇝ 0)
183	5, 85, 161, 166, 182	climi0 15465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
184		simplll 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝜑)
185		eluznn0 12858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
186	185	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
187	11, 15	absidd 15376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗))
188	187	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗))
189		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐾‘𝑗) = (𝐾‘𝑚))
190	189	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (abs‘(𝐾‘𝑚)))
191	190, 189	eqeq12d 2755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗) ↔ (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚)))
192	191	rspccva 3559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾‘𝑗)) = (𝐾‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚))
193	188, 192	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚))
194	184, 186, 193	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → (abs‘(𝐾‘𝑚)) = (𝐾‘𝑚))
195	194	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)) → ((abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
196	195	ralbidva 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
197	162	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
198	197	cbvralvw 3217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
199	196, 198	bitr4di 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
200		mertens.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
201	200	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴)
202	8	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾‘𝑗) = (abs‘𝐴))
203	9	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
204	20	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
205	21	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
206		mertens.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
207	206	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
208	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
209	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
210	3	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
211	198	anbi2i 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
212	211	anbi2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) ↔ (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
213	212	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
214	213	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
215	113, 140, 157	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧))
216	159, 215	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)))
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑤 ≤ 𝑧)))
218	201, 202, 203, 204, 205, 207, 208, 209, 210, 91, 84, 214, 217	mertenslem1 15840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
219	218	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(𝐾‘𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
220	199, 219	sylbid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
221	220	rexlimdva 3140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (∃𝑡 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑡)(abs‘(𝐾‘𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
222	183, 221	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
223	222	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
224	84, 223	biimtrrid 244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
225	224	expdimp 453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
226	83, 225	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
227	226	rexlimdva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾‘𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
228	24, 227	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑚 − 𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   Or wor 5525  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  supcsup 9343  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  seqcseq 13954  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  mertens  15842