Theorem supmullem1 12125

Description: Lemma for supmul 12127. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3449	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
4	3	rexbidv 3175	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
5	4	cbvrexvw 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
7	6	2rexbidv 3213	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
8	5, 7	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9		supmul.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
10	1, 8, 9	elab2 3634	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	11	simp2bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16		suprcl 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	11	simp3bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
22	21	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ ℝ)
23		suprcl 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		simp1l 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
27	11, 26	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
28		breq2 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
29	28	rspccv 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
31	30	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
32	31	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑎)
33		simp1r 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
34	11, 33	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
35		breq2 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
36	35	rspccv 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
38	37	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
39	38	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑏)
40		suprub 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
41	12, 40	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
42	41	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
43		suprub 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
44	19, 43	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
45	44	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 12097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
47	46	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
48		breq1 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
49	48	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
50	47, 49	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
51	50	rexlimdvv 3204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
52	10, 51	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
53	52	ralrimiv 3142	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388

This theorem is referenced by:  supmullem2  12126  supmul  12127