MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmullem1 12183
Description: Lemma for supmul 12185. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
supmul.2 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
supmullem1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ง   ๐ต,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ค   ๐œ‘,๐‘,๐‘ค,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ฃ)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . 4 ๐‘ค โˆˆ V
2 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘))
32eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
43rexbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
54cbvrexvw 3235 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
6 eqeq1 2736 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
762rexbidv 3219 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
85, 7bitrid 282 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
9 supmul.1 . . . 4 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
101, 8, 9elab2 3672 . . 3 (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
1211simp2bi 1146 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
1312simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
1413sselda 3982 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1514adantrr 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
16 suprcl 12173 . . . . . . . . 9 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1911simp3bi 1147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
2019simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
2120sselda 3982 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2221adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
23 suprcl 12173 . . . . . . . . 9 ((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
26 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2711, 26sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
28 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘Ž))
2928rspccv 3609 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
3130imp 407 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
3231adantrr 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
33 simp1r 1198 . . . . . . . . . . 11 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
3411, 33sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
35 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
3635rspccv 3609 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
3837imp 407 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3938adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
40 suprub 12174 . . . . . . . . 9 (((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
4112, 40sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
4241adantrr 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
43 suprub 12174 . . . . . . . . 9 (((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
4419, 43sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
4544adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 12155 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
4746ex 413 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
48 breq1 5151 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
4948biimprcd 249 . . . . 5 ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†’ (๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5047, 49syl6 35 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))))
5150rexlimdvv 3210 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5210, 51biimtrid 241 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5352ralrimiv 3145 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  supcsup 9434  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  supmullem2  12184  supmul  12185
  Copyright terms: Public domain W3C validator