MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmullem1 12133
Description: Lemma for supmul 12135. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
supmul.2 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
Assertion
Ref Expression
supmullem1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ง   ๐ต,๐‘,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ค   ๐œ‘,๐‘,๐‘ค,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ฃ)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3451 . . . 4 ๐‘ค โˆˆ V
2 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘))
32eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
43rexbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘Ž โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
54cbvrexvw 3225 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘))
6 eqeq1 2737 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
762rexbidv 3210 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
85, 7bitrid 283 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
9 supmul.1 . . . 4 ๐ถ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ง = (๐‘ฃ ยท ๐‘)}
101, 8, 9elab2 3638 . . 3 (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘))
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†” ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)))
1211simp2bi 1147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
1312simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
1413sselda 3948 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
1514adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
16 suprcl 12123 . . . . . . . . 9 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ sup(๐ด, โ„, < ) โˆˆ โ„)
1911simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ))
2019simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
2120sselda 3948 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2221adantrl 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
23 suprcl 12123 . . . . . . . . 9 ((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ sup(๐ต, โ„, < ) โˆˆ โ„)
26 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2711, 26sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
28 breq2 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘Ž))
2928rspccv 3580 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž))
3130imp 408 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
3231adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
33 simp1r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
3411, 33sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
35 breq2 5113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
3635rspccv 3580 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐‘))
3837imp 408 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3938adantrl 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
40 suprub 12124 . . . . . . . . 9 (((๐ด โŠ† โ„ โˆง ๐ด โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
4112, 40sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
4241adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค sup(๐ด, โ„, < ))
43 suprub 12124 . . . . . . . . 9 (((๐ต โŠ† โ„ โˆง ๐ต โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
4419, 43sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
4544adantrl 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โ‰ค sup(๐ต, โ„, < ))
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 12105 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
4746ex 414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
48 breq1 5112 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
4948biimprcd 250 . . . . 5 ((๐‘Ž ยท ๐‘) โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )) โ†’ (๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5047, 49syl6 35 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))))
5150rexlimdvv 3201 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ๐‘ค = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5210, 51biimtrid 241 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < ))))
5352ralrimiv 3139 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ถ ๐‘ค โ‰ค (sup(๐ด, โ„, < ) ยท sup(๐ต, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  supcsup 9384  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  supmullem2  12134  supmul  12135
  Copyright terms: Public domain W3C validator