Theorem supmullem1 11465

Description: Lemma for supmul 11467. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3443	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
4	3	rexbidv 3262	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
5	4	cbvrexv 3406	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6		eqeq1 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
7	6	2rexbidv 3265	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
8	5, 7	syl5bb 284	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9		supmul.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
10	1, 8, 9	elab2 3611	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	11	simp2bi 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16		suprcl 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	11	simp3bi 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	simp1d 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
22	21	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ ℝ)
23		suprcl 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		simp1l 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
27	11, 26	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
28		breq2 4972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
29	28	rspccv 3558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
31	30	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
32	31	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑎)
33		simp1r 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
34	11, 33	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
35		breq2 4972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
36	35	rspccv 3558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
38	37	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
39	38	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑏)
40		suprub 11456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
41	12, 40	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
42	41	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
43		suprub 11456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
44	19, 43	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
45	44	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 11436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
47	46	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
48		breq1 4971	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
49	48	biimprcd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
50	47, 49	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
51	50	rexlimdvv 3258	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
52	10, 51	syl5bi 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
53	52	ralrimiv 3150	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  {cab 2777   ≠ wne 2986  ∀wral 3107  ∃wrex 3108   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  supcsup 8757  ℝcr 10389  0cc0 10390   · cmul 10395   < clt 10528   ≤ cle 10529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726

This theorem is referenced by:  supmullem2  11466  supmul  11467