Theorem supmullem1 11875

Description: Lemma for supmul 11877. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2	⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3426	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
2		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
3	2	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
4	3	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
5	4	cbvrexvw 3373	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
7	6	2rexbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
8	5, 7	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9		supmul.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
10	1, 8, 9	elab2 3606	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	11	simp2bi 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13	12	simp1d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16		suprcl 11865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	11	simp3bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	simp1d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
22	21	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ ℝ)
23		suprcl 11865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		simp1l 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
27	11, 26	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥)
28		breq2 5074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
29	28	rspccv 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
31	30	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
32	31	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑎)
33		simp1r 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
34	11, 33	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥)
35		breq2 5074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
36	35	rspccv 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
38	37	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
39	38	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑏)
40		suprub 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
41	12, 40	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
42	41	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
43		suprub 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
44	19, 43	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
45	44	adantrl 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 11847	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
47	46	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
48		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
49	48	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
50	47, 49	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
51	50	rexlimdvv 3221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
52	10, 51	syl5bi 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
53	52	ralrimiv 3106	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  supmullem2  11876  supmul  11877