Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem6 37823
Description: Lemma for heibor 37828. Since the sequence of balls connected by the function 𝑇 ensures that each ball nontrivially intersects with the next (since the empty set has a finite subcover, the intersection of any two successive balls in the sequence is nonempty), and each ball is half the size of the previous one, the distance between the centers is at most 3 / 2 times the size of the larger, and so if we expand each ball by a factor of 3 we get a nested sequence of balls. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑈(𝑘,𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem6
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12533 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 heibor.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3 cmetmet 25320 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 24344 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 heibor.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
9 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
10 fss 6752 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋)
12 peano2nn0 12566 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
13 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝒫 𝑋)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝒫 𝑋)
1514elpwid 4609 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ⊆ 𝑋)
16 heibor.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
18 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
19 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
20 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
21 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
22 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
23 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
2416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 37821 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))
2512, 24sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))
26 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ V
27 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑘 + 1) ∈ V
2816, 17, 18, 26, 27heiborlem2 37819 . . . . . . . 8 ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∧ ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐵(𝑘 + 1)) ∈ 𝐾))
2928simp2bi 1147 . . . . . . 7 ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3115, 30sseldd 3984 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
3211ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
3332elpwid 4609 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ⊆ 𝑋)
3416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 37821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘)𝐺𝑘)
35 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑘) ∈ V
36 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ V
3716, 17, 18, 35, 36heiborlem2 37819 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
3837simp2bi 1147 . . . . . . 7 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3934, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
4033, 39sseldd 3984 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
41 3re 12346 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
42 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
43 nnexpcl 14115 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4442, 12, 43sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4544nnrpd 13075 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
4645adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
47 rerpdivcl 13065 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
4841, 46, 47sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
49 nnexpcl 14115 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
5042, 49mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 13075 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
5251adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
53 rerpdivcl 13065 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
5441, 52, 53sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
55 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑆𝑘) → (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
56 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (2↑𝑚) = (2↑𝑘))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑚)) = (1 / (2↑𝑘)))
5857oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
59 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∈ V
6055, 58, 19, 59ovmpo 7593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑘) ∈ 𝑋𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
6140, 60sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
62 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺)
63 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
64 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
6563, 64eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
6635, 36op2ndd 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (2nd𝑥) = 𝑘)
6766oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((2nd𝑥) + 1) = (𝑘 + 1))
6865, 67breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ↔ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1)))
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
70 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
7169, 70eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = ((𝑆𝑘)𝐵𝑘))
7265, 67oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)))
7371, 72ineq12d 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) = (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))))
7473eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
7568, 74anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7675rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7721, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7862, 77biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
8034, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
8180simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1))
82 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ V
8316, 17, 18, 82, 27heiborlem2 37819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) ∈ 𝐾))
8483simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8581, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8615, 85sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋)
8712adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
88 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) → (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
89 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑘 + 1)))
9089oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑚)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
9190oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
92 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ V
9388, 91, 19, 92ovmpo 7593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
9486, 87, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
9561, 94ineq12d 4221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) = (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
9680simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)
97 0elpw 5356 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 𝑈
98 0fi 9082 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
99 elin 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∅ ∈ Fin))
10097, 98, 99mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)
101 0ss 4400 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ⊆
102 unieq 4918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ∅ → 𝑣 = ∅)
103102sseq2d 4016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = ∅ → (∅ ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ ∅))
104103rspcev 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣)
105100, 101, 104mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣
106 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
107 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ∅ → (𝑢 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣))
108107rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ∅ → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣))
109108notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ∅ → (¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣))
110106, 109, 17elab2 3682 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝐾 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣)
111110con2bii 357 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐾)
112105, 111mpbi 230 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ 𝐾
113 nelne2 3040 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐾) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ≠ ∅)
11496, 112, 113sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ≠ ∅)
11595, 114eqnetrrd 3009 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) ≠ ∅)
11651rpreccld 13087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
118117rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
11945rpreccld 13087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
121120rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
122 rexadd 13274 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
123118, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
124123breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ↔ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘))))
125117rpxrd 13078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ*)
126120rpxrd 13078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
127 bldisj 24408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅)
1281273exp2 1355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) → ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* → ((1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ* → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))))
129128imp32 418 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
1307, 40, 86, 125, 126, 129syl32anc 1380 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
131124, 130sylbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
132131necon3ad 2953 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) ≠ ∅ → ¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘))))
133115, 132mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
134117, 120rpaddcld 13092 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ+)
135134rpred 13077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
1364adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
137 metcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∈ ℝ)
138136, 40, 86, 137syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∈ ℝ)
139135, 138letrid 11413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∨ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
140139ord 865 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
141133, 140mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
142 seqp1 14057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
143 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
144142, 143eleq2s 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
14523fveq1i 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1))
14623fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑘) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)
147146oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)))
148144, 145, 1473eqtr4g 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
149 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))
150 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑘 + 1) = 0))
151 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
152150, 151ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
153 nn0p1nn 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
154 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ≠ 0)
155154neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
156153, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
157156iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑘 + 1) − 1))
158 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) − 1) ∈ V
159157, 158eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) ∈ V)
160149, 152, 12, 159fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
161 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
162 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
163 pncan 11514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
164161, 162, 163sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
165160, 157, 1643eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = 𝑘)
166165oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
167148, 166eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
168167adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
169168oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)))
170 metsym 24360 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
171136, 86, 40, 170syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
172169, 171eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
173 3cn 12347 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
1741732timesi 12404 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = (3 + 3)
175174oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 3) − 3) = ((3 + 3) − 3)
176173, 173pncan3oi 11524 . . . . . . . . . . 11 ((3 + 3) − 3) = 3
177 df-3 12330 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
178175, 176, 1773eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 ((2 · 3) − 3) = (2 + 1)
179178oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1)))
180 rpcn 13045 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
181 rpne0 13051 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)
182 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
183182, 173mulcli 11268 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) ∈ ℂ
184 divsubdir 11961 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
185183, 173, 184mp3an12 1453 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0) → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
186180, 181, 185syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
18745, 186syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
188 divdir 11947 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
189182, 162, 188mp3an12 1453 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
190180, 181, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
19145, 190syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
192179, 187, 1913eqtr3a 2801 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
193 rpcn 13045 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
194 rpne0 13051 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
195 2cnne0 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
196 divcan5 11969 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
197173, 195, 196mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
198193, 194, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
19951, 198syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
20051, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
201 mulcom 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (2↑𝑘)) = ((2↑𝑘) · 2))
202182, 200, 201sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑘)) = ((2↑𝑘) · 2))
203 expp1 14109 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
204182, 203mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
205202, 204eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑘)) = (2↑(𝑘 + 1)))
206205oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = ((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))))
207199, 206eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 / (2↑𝑘)) = ((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))))
208207oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
209 divcan5 11969 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
210162, 195, 209mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
211193, 194, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
21251, 211syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
213 2t1e2 12429 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
214213a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 1) = 2)
215214, 205oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (2 / (2↑(𝑘 + 1))))
216212, 215eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑𝑘)) = (2 / (2↑(𝑘 + 1))))
217216oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
218192, 208, 2173eqtr4d 2787 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
219218adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
220141, 172, 2193brtr4d 5175 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) ≤ ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
221 blss2 24414 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) ≤ ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
2227, 31, 40, 48, 54, 220, 221syl33anc 1387 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
2231, 222sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
224 peano2nn 12278 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
225 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑆𝑛) = (𝑆‘(𝑘 + 1)))
226 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑘 + 1)))
227226oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑(𝑘 + 1))))
228225, 227opeq12d 4881 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
229 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
230 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩ ∈ V
231228, 229, 230fvmpt 7016 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
232224, 231syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
233232adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
234233fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩))
235 df-ov 7434 . . . 4 ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
236234, 235eqtr4di 2795 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
237 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
238 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
239238oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
240237, 239opeq12d 4881 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
241 opex 5469 . . . . . . 7 ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
242240, 229, 241fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀𝑘) = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
243242fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
244 df-ov 7434 . . . . 5 ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
245243, 244eqtr4di 2795 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
246245adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
247223, 236, 2463sstr4d 4039 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
248247ralrimiva 3146 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  cop 4632   cuni 4907   ciun 4991   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  2nd c2nd 8013  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152  seqcseq 14042  cexp 14102  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354  CMetccmet 25288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-seq 14043  df-exp 14103  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cmet 25291
This theorem is referenced by:  heiborlem8  37825  heiborlem9  37826
  Copyright terms: Public domain W3C validator