Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem6 37803
Description: Lemma for heibor 37808. Since the sequence of balls connected by the function 𝑇 ensures that each ball nontrivially intersects with the next (since the empty set has a finite subcover, the intersection of any two successive balls in the sequence is nonempty), and each ball is half the size of the previous one, the distance between the centers is at most 3 / 2 times the size of the larger, and so if we expand each ball by a factor of 3 we get a nested sequence of balls. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑈(𝑘,𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem6
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12531 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 heibor.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3 cmetmet 25334 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 24360 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 heibor.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
9 inss1 4245 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
10 fss 6753 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋)
12 peano2nn0 12564 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
13 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ0⟶𝒫 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝒫 𝑋)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝒫 𝑋)
1514elpwid 4614 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ⊆ 𝑋)
16 heibor.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
18 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
19 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
20 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
21 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
22 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
23 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
2416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 37801 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))
2512, 24sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1))
26 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ V
27 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑘 + 1) ∈ V
2816, 17, 18, 26, 27heiborlem2 37799 . . . . . . . 8 ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∧ ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐵(𝑘 + 1)) ∈ 𝐾))
2928simp2bi 1145 . . . . . . 7 ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐺(𝑘 + 1) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3115, 30sseldd 3996 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
3211ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
3332elpwid 4614 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ⊆ 𝑋)
3416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 37801 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘)𝐺𝑘)
35 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑘) ∈ V
36 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ V
3716, 17, 18, 35, 36heiborlem2 37799 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
3837simp2bi 1145 . . . . . . 7 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3934, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
4033, 39sseldd 3996 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
41 3re 12344 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
42 2nn 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
43 nnexpcl 14112 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4442, 12, 43sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4544nnrpd 13073 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
4645adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
47 rerpdivcl 13063 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
4841, 46, 47sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
49 nnexpcl 14112 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
5042, 49mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 13073 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
5251adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
53 rerpdivcl 13063 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
5441, 52, 53sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
55 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑆𝑘) → (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
56 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (2↑𝑚) = (2↑𝑘))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑚)) = (1 / (2↑𝑘)))
5857oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
59 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∈ V
6055, 58, 19, 59ovmpo 7593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑘) ∈ 𝑋𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
6140, 60sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))))
62 df-br 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺)
63 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
64 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) = (𝑇‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
6563, 64eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝑇𝑥) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
6635, 36op2ndd 8024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (2nd𝑥) = 𝑘)
6766oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((2nd𝑥) + 1) = (𝑘 + 1))
6865, 67breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ↔ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1)))
69 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩))
70 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) = (𝐵‘⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩)
7169, 70eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (𝐵𝑥) = ((𝑆𝑘)𝐵𝑘))
7265, 67oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)))
7371, 72ineq12d 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) = (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))))
7473eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
7568, 74anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ → (((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7675rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾) → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7721, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⟨(𝑆𝑘), 𝑘⟩ ∈ 𝐺 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7862, 77biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)))
8034, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ∧ (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾))
8180simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1))
82 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ V
8316, 17, 18, 82, 27heiborlem2 37799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∧ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) ∈ 𝐾))
8483simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐺(𝑘 + 1) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8581, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8615, 85sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋)
8712adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
88 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) → (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
89 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑘 + 1)))
9089oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑚)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
9190oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
92 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ V
9388, 91, 19, 92ovmpo 7593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
9486, 87, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
9561, 94ineq12d 4229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) = (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
9680simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾)
97 0elpw 5362 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 𝑈
98 0fi 9081 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
99 elin 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∅ ∈ Fin))
10097, 98, 99mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)
101 0ss 4406 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ⊆
102 unieq 4923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = ∅ → 𝑣 = ∅)
103102sseq2d 4028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = ∅ → (∅ ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ ∅))
104103rspcev 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣)
105100, 101, 104mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣
106 0ex 5313 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
107 sseq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ∅ → (𝑢 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣))
108107rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = ∅ → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣))
109108notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ∅ → (¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣))
110106, 109, 17elab2 3685 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝐾 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣)
111110con2bii 357 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∅ ⊆ 𝑣 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐾)
112105, 111mpbi 230 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ 𝐾
113 nelne2 3038 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ∈ 𝐾 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐾) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ≠ ∅)
11496, 112, 113sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐵(𝑘 + 1))) ≠ ∅)
11595, 114eqnetrrd 3007 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) ≠ ∅)
11651rpreccld 13085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ+)
118117rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
11945rpreccld 13085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
121120rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
122 rexadd 13271 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
123118, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
124123breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ↔ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘))))
125117rpxrd 13076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ*)
126120rpxrd 13076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
127 bldisj 24424 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅)
1281273exp2 1353 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) → ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* → ((1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ* → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))))
129128imp32 418 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
1307, 40, 86, 125, 126, 129syl32anc 1377 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) +𝑒 (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
131124, 130sylbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → (((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) = ∅))
132131necon3ad 2951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑘))) ∩ (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)(ball‘𝐷)(1 / (2↑(𝑘 + 1))))) ≠ ∅ → ¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘))))
133115, 132mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
134117, 120rpaddcld 13090 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ+)
135134rpred 13075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
1364adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
137 metcl 24358 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∈ ℝ)
138136, 40, 86, 137syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∈ ℝ)
139135, 138letrid 11411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ∨ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
140139ord 864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) ≤ ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1))))))
141133, 140mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)) ≤ ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
142 seqp1 14054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
143 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
144142, 143eleq2s 2857 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
14523fveq1i 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘(𝑘 + 1))
14623fveq1i 6908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑘) = (seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)
147146oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))‘𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)))
148144, 145, 1473eqtr4g 2800 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))))
149 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))
150 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑘 + 1) = 0))
151 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
152150, 151ifbieq2d 4557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
153 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
154 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ≠ 0)
155154neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
156153, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ (𝑘 + 1) = 0)
157156iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑘 + 1) − 1))
158 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) − 1) ∈ V
159157, 158eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)) ∈ V)
160149, 152, 12, 159fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) = 0, 𝐶, ((𝑘 + 1) − 1)))
161 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
162 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
163 pncan 11512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
164161, 162, 163sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
165160, 157, 1643eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1)) = 𝑘)
166165oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑘)𝑇((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1)))‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
167148, 166eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
168167adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆𝑘)𝑇𝑘))
169168oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) = (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)))
170 metsym 24376 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑆𝑘)𝑇𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
171136, 86, 40, 170syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆𝑘)𝑇𝑘)𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
172169, 171eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘)𝐷((𝑆𝑘)𝑇𝑘)))
173 3cn 12345 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
1741732timesi 12402 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = (3 + 3)
175174oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 3) − 3) = ((3 + 3) − 3)
176173, 173pncan3oi 11522 . . . . . . . . . . 11 ((3 + 3) − 3) = 3
177 df-3 12328 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
178175, 176, 1773eqtri 2767 . . . . . . . . . 10 ((2 · 3) − 3) = (2 + 1)
179178oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1)))
180 rpcn 13043 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
181 rpne0 13049 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)
182 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
183182, 173mulcli 11266 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) ∈ ℂ
184 divsubdir 11959 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
185183, 173, 184mp3an12 1450 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0) → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
186180, 181, 185syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
18745, 186syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 3) − 3) / (2↑(𝑘 + 1))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
188 divdir 11945 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
189182, 162, 188mp3an12 1450 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
190180, 181, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+ → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
19145, 190syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 + 1) / (2↑(𝑘 + 1))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
192179, 187, 1913eqtr3a 2799 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
193 rpcn 13043 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
194 rpne0 13049 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
195 2cnne0 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
196 divcan5 11967 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
197173, 195, 196mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
198193, 194, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
19951, 198syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = (3 / (2↑𝑘)))
20051, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
201 mulcom 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (2↑𝑘)) = ((2↑𝑘) · 2))
202182, 200, 201sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑘)) = ((2↑𝑘) · 2))
203 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
204182, 203mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
205202, 204eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑘)) = (2↑(𝑘 + 1)))
206205oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 3) / (2 · (2↑𝑘))) = ((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))))
207199, 206eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 / (2↑𝑘)) = ((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))))
208207oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = (((2 · 3) / (2↑(𝑘 + 1))) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
209 divcan5 11967 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
210162, 195, 209mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
211193, 194, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
21251, 211syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (1 / (2↑𝑘)))
213 2t1e2 12427 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
214213a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 1) = 2)
215214, 205oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 1) / (2 · (2↑𝑘))) = (2 / (2↑(𝑘 + 1))))
216212, 215eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (2↑𝑘)) = (2 / (2↑(𝑘 + 1))))
217216oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((2 / (2↑(𝑘 + 1))) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
218192, 208, 2173eqtr4d 2785 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
219218adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((1 / (2↑𝑘)) + (1 / (2↑(𝑘 + 1)))))
220141, 172, 2193brtr4d 5180 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) ≤ ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
221 blss2 24430 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑆‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((3 / (2↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (3 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆‘(𝑘 + 1))𝐷(𝑆𝑘)) ≤ ((3 / (2↑𝑘)) − (3 / (2↑(𝑘 + 1)))))) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
2227, 31, 40, 48, 54, 220, 221syl33anc 1384 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
2231, 222sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
224 peano2nn 12276 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
225 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑆𝑛) = (𝑆‘(𝑘 + 1)))
226 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑘 + 1)))
227226oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑(𝑘 + 1))))
228225, 227opeq12d 4886 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
229 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
230 opex 5475 . . . . . . . 8 ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩ ∈ V
231228, 229, 230fvmpt 7016 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
232224, 231syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
233232adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝑘 + 1)) = ⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
234233fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩))
235 df-ov 7434 . . . 4 ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆‘(𝑘 + 1)), (3 / (2↑(𝑘 + 1)))⟩)
236234, 235eqtr4di 2793 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) = ((𝑆‘(𝑘 + 1))(ball‘𝐷)(3 / (2↑(𝑘 + 1)))))
237 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
238 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
239238oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
240237, 239opeq12d 4886 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
241 opex 5475 . . . . . . 7 ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
242240, 229, 241fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀𝑘) = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
243242fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
244 df-ov 7434 . . . . 5 ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
245243, 244eqtr4di 2793 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
246245adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)) = ((𝑆𝑘)(ball‘𝐷)(3 / (2↑𝑘))))
247223, 236, 2463sstr4d 4043 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
248247ralrimiva 3144 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  cop 4637   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  2nd c2nd 8012  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cuz 12876  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150  seqcseq 14039  cexp 14099  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372  CMetccmet 25302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-seq 14040  df-exp 14100  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-cmet 25305
This theorem is referenced by:  heiborlem8  37805  heiborlem9  37806
  Copyright terms: Public domain W3C validator