2sqlem8 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqlem8 26010

Description: Lemma for 2sq 26014. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2	⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎 ∈ 𝑌 (𝑏 ∥ 𝑎 → 𝑏 ∈ 𝑆))
2sqlem9.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)
2sqlem8.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
2sqlem8.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c	⊢ 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d	⊢ 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.e	⊢ 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
2sqlem8.f	⊢ 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝐶 𝜑,𝑥,𝑦 𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦 𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧 𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝐷 𝐸,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝑁,𝑦,𝑧 𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦 𝐹,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏) 𝐴(𝑤,𝑏) 𝐵(𝑧,𝑤) 𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏) 𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏) 𝑆(𝑤) 𝐸(𝑤,𝑏) 𝐹(𝑤,𝑏) 𝑀(𝑤) 𝑁(𝑤,𝑎,𝑏) 𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8 Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. 2 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		2sqlem8.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		eluz2b3 12310	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
4	2, 3	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
5	4	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		2sqlem9.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)
7		eluzelz 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		2sqlem8.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		2sqlem8.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		2sqlem8.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
13	11, 5, 12	4sqlem5 16268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
14	13	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
15		zsqcl 13490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
17		2sqlem8.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
18		2sqlem8.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
19	17, 5, 18	4sqlem5 16268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
20	19	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
21		zsqcl 13490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
23	16, 22	zaddcld 12079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
24	11, 5, 12	4sqlem8 16271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)))
25	17, 5, 18	4sqlem8 16271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))
26		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
28	27, 16	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
29		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
31	30, 22	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
32		dvds2add 15635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))))
33	8, 28, 31, 32	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))))
34	24, 25, 33	mp2and 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
35		2sqlem8.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
36	35	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
37	27	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38	30	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
39	16	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
40	22	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
41	37, 38, 39, 40	addsub4d 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
42	36, 41	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
43	34, 42	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
44		dvdssub2 15643	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
45	8, 10, 23, 43, 44	syl31anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
46	6, 45	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
47		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
48		2sqlem9.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎 ∈ 𝑌 (𝑏 ∥ 𝑎 → 𝑏 ∈ 𝑆))
49		2sqlem8.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
50	1, 47, 48, 6, 9, 2, 11, 17, 49, 35, 12, 18	2sqlem8a 26009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
51	50	nnzd 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ)
52		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ₀)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ₀)
54	53	nn0cnd 11945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
55		2sqlem8.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
56		gcddvds 15842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
57	14, 20, 56	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
58	57	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶)
59	50	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0)
60		dvdsval2 15602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
61	51, 59, 14, 60	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
62	58, 61	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
63	55, 62	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
64		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
66	65	nn0cnd 11945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
67		2sqlem8.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
68	57	simprd 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷)
69		dvdsval2 15602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
70	51, 59, 20, 69	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
71	68, 70	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
72	67, 71	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
73		zsqcl2 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
75	74	nn0cnd 11945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
76	54, 66, 75	adddid 10654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))))
77	51	zcnd 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℂ)
78	63	zcnd 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
79	77, 78	sqmuld 13518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)))
80	55	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)))
81	14	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
82	81, 77, 59	divcan2d 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐶)
83	80, 82	syl5eq 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = 𝐶)
84	83	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (𝐶↑2))
85	79, 84	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐶↑2))
86	72	zcnd 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
87	77, 86	sqmuld 13518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)))
88	67	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)))
89	20	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
90	89, 77, 59	divcan2d 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐷)
91	88, 90	syl5eq 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = 𝐷)
92	91	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (𝐷↑2))
93	87, 92	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)) = (𝐷↑2))
94	85, 93	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
95	76, 94	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
96	46, 95	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
97		zsqcl 13490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
98	51, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
99		gcdcom 15852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀))
100	8, 98, 99	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀))
101		gcddvds 15842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
102	51, 8, 101	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
103	102	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷))
104	51, 8	gcdcld 15847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
105	104	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ)
106		dvdstr 15638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
107	105, 51, 14, 106	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
108	103, 58, 107	mp2and 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶)
109	102	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
110	13	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ)
111	5	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
112	11, 14	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ)
113		dvdsval2 15602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
114	8, 111, 112, 113	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
115	110, 114	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐶))
116		dvdstr 15638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐶)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴 − 𝐶)))
117	105, 8, 112, 116	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐶)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴 − 𝐶)))
118	109, 115, 117	mp2and 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴 − 𝐶))
119		dvdssub2 15643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴 − 𝐶)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
120	105, 11, 14, 118, 119	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
121	108, 120	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴)
122		dvdstr 15638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
123	105, 51, 20, 122	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
124	103, 68, 123	mp2and 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷)
125	19	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ)
126	17, 20	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℤ)
127		dvdsval2 15602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐵 − 𝐷) ↔ ((𝐵 − 𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
128	8, 111, 126, 127	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐵 − 𝐷) ↔ ((𝐵 − 𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
129	125, 128	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝐵 − 𝐷))
130		dvdstr 15638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (𝐵 − 𝐷)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵 − 𝐷)))
131	105, 8, 126, 130	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (𝐵 − 𝐷)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵 − 𝐷)))
132	109, 129, 131	mp2and 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵 − 𝐷))
133		dvdssub2 15643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵 − 𝐷)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
134	105, 17, 20, 132, 133	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
135	124, 134	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵)
136		ax-1ne0 10595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
138	49, 137	eqnetrd 3054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
139	138	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
140		gcdeq0 15855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
141	11, 17, 140	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
142	139, 141	mtbid 327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
143		dvdslegcd 15843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
144	105, 11, 17, 142, 143	syl31anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
145	121, 135, 144	mp2and 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
146	145, 49	breqtrd 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1)
147		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
148	147	necon3ai 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ≠ 0 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
149	111, 148	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
150		gcdn0cl 15841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
151	51, 8, 149, 150	syl21anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
152		nnle1eq1 11655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
154	146, 153	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1)
155		2nn 11698	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
156	155	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
157		rplpwr 15897	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
158	50, 5, 156, 157	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
159	154, 158	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1)
160	100, 159	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1)
161	65, 74	nn0addcld 11947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
162	161	nn0zd 12073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
163		coprmdvds 15987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
164	8, 98, 162, 163	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
165	96, 160, 164	mp2and 698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
166		dvdsval2 15602	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
167	8, 111, 162, 166	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
168	165, 167	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
169	65	nn0red 11944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
170	74	nn0red 11944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
171	169, 170	readdcld 10659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
172	5	nnred 11640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
173	1, 47	2sqlem7 26008	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑆 ∩ ℕ)
174		inss2 4156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
175	173, 174	sstri 3924	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ ℕ
176	63, 72	gcdcld 15847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℕ₀)
177	176	nn0cnd 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℂ)
178		1cnd 10625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	77	mulid1d 10647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 1) = (𝐶 gcd 𝐷))
180	83, 91	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = (𝐶 gcd 𝐷))
181	14, 20	gcdcld 15847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ₀)
182		mulgcd 15886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
183	181, 63, 72, 182	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
184	179, 180, 183	3eqtr2rd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · 1))
185	177, 178, 77, 59, 184	mulcanad 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) = 1)
186		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
187		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝑦))
188	187	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝑦) = 1))
189		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥↑2) = (𝐸↑2))
190	189	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))
191	190	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))))
192	188, 191	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))))
193		oveq2 7143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (𝐸 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝐹))
194	193	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝐹) = 1))
195		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (𝑦↑2) = (𝐹↑2))
196	195	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
197	196	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
198	194, 197	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))))
199	192, 198	rspc2ev 3583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
200	63, 72, 185, 186, 199	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
201		ovex 7168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ V
202		eqeq1 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
203	202	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
204	203	2rexbidv 3259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
205	201, 204, 47	elab2 3618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
206	200, 205	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
207	175, 206	sseldi 3913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ)
208	207	nngt0d 11674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
209	5	nngt0d 11674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
210	171, 172, 208, 209	divgt0d 11564	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
211		elnnz 11979	. . 3 ⊢ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
212	168, 210, 211	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
213		prmnn 16008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
214	213	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℕ)
215	214	nnred 11640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℝ)
216	168	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
217	216	zred 12075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℝ)
218		peano2zm 12013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
219	8, 218	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
220	219	zred 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
221	220	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
222		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
223		prmz 16009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
224	223	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℤ)
225	212	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
226		dvdsle 15652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
227	224, 225, 226	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
228	222, 227	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
229		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
230	8, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
231	230	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
232	231	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
233	16	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
234	22	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
235	233, 234	readdcld 10659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
236		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
237	50	nnsqcld 13601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ)
238	237	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℝ)
239	161	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
240	237	nnge1d 11673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2))
241	236, 238, 171, 239, 240	lemul1ad 11568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ≤ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
242	161	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
243	242	mulid2d 10648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
244	241, 243, 95	3brtr3d 5061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
245	232	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
246	11, 5, 12	4sqlem7 16270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
247	17, 5, 18	4sqlem7 16270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
248	233, 234, 245, 245, 246, 247	le2addd 11248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
249	232	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
250	249	2halvesd 11871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
251	248, 250	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
252	171, 235, 232, 244, 251	letrd 10786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
253	5	nnsqcld 13601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
254	253	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ⁺)
255		rphalflt 12406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀↑2) ∈ ℝ⁺ → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
256	254, 255	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
257	171, 232, 231, 252, 256	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀↑2))
258	8	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
259	258	sqvald 13503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
260	257, 259	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀))
261		ltdivmul 11504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
262	171, 172, 172, 209, 261	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
263	260, 262	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀)
264		zltlem1 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
265	168, 8, 264	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
266	263, 265	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
267	266	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
268	215, 217, 221, 228, 267	letrd 10786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))
269	219	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
270		fznn 12970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
271	269, 270	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
272	214, 268, 271	mpbir2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)))
273	206	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
274	272, 273	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌))
275	48	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎 ∈ 𝑌 (𝑏 ∥ 𝑎 → 𝑏 ∈ 𝑆))
276		dvdsmul2 15624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
277	8, 168, 276	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
278	242, 258, 111	divcan2d 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
279	277, 278	breqtrd 5056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
280	279	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
281	162	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
282		dvdstr 15638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
283	224, 216, 281, 282	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
284	222, 280, 283	mp2and 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
285		breq1 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ∥ 𝑎 ↔ 𝑝 ∥ 𝑎))
286		eleq1w 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ 𝑝 ∈ 𝑆))
287	285, 286	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → ((𝑏 ∥ 𝑎 → 𝑏 ∈ 𝑆) ↔ (𝑝 ∥ 𝑎 → 𝑝 ∈ 𝑆)))
288		breq2 5034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑝 ∥ 𝑎 ↔ 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
289	288	imbi1d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → ((𝑝 ∥ 𝑎 → 𝑝 ∈ 𝑆) ↔ (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝 ∈ 𝑆)))
290	287, 289	rspc2v 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌) → (∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎 ∈ 𝑌 (𝑏 ∥ 𝑎 → 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝 ∈ 𝑆)))
291	274, 275, 284, 290	syl3c 66	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ 𝑆)
292	291	expr 460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ∈ 𝑆))
293	292	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ∈ 𝑆))
294		inss1 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ 𝑆
295	173, 294	sstri 3924	. . . 4 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝑆
296	295, 206	sseldi 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑆)
297	278, 296	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
298	1, 5, 212, 293, 297	2sqlem6 26007	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 {cab 2776 ≠ wne 2987 ∀wral 3106 ∃wrex 3107 ∩ cin 3880 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ran crn 5520 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 ℝ⁺crp 12377 ...cfz 12885 mod cmo 13232 ↑cexp 13425 abscabs 14585 ∥ cdvds 15599 gcd cgcd 15833 ℙcprime 16005 ℤ[i]cgz 16255

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-fz 12886 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-prm 16006 df-gz 16256

This theorem is referenced by: 2sqlem9 26011

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