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Theorem 2sqlem8 27470
Description: Lemma for 2sq 27474. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2sqlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.e 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
2sqlem8.f 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8 (𝜑𝑀𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑤,𝑏)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑏)   𝐹(𝑤,𝑏)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem8.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b3 12964 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
42, 3sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
54simpld 494 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑁)
7 eluzelz 12888 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1311, 5, 124sqlem5 16980 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
15 zsqcl 14169 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1917, 5, 184sqlem5 16980 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
2019simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
21 zsqcl 14169 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
2316, 22zaddcld 12726 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
24 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2625, 16zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
27 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2928, 22zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
3011, 5, 124sqlem8 16983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)))
3117, 5, 184sqlem8 16983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))
328, 26, 29, 30, 31dvds2addd 16329 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
33 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3433oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
3525zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3628zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3716zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
3822zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
3935, 36, 37, 38addsub4d 11667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
4034, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
4132, 40breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
42 dvdssub2 16338 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
438, 10, 23, 41, 42syl31anc 1375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
446, 43mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
45 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
46 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
47 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
481, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 182sqlem8a 27469 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
4948nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ)
50 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
53 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
54 gcddvds 16540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
5514, 20, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
5655simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶)
5748nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0)
58 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
5949, 57, 14, 58syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6056, 59mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
6153, 60eqeltrid 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
62 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
65 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
6655simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷)
67 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6849, 57, 20, 67syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6966, 68mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
7065, 69eqeltrid 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
71 zsqcl2 14178 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7372nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
7452, 64, 73adddid 11285 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))))
7549zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℂ)
7661zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7775, 76sqmuld 14198 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)))
7853oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)))
7914zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8079, 75, 57divcan2d 12045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐶)
8178, 80eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = 𝐶)
8281oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (𝐶↑2))
8377, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐶↑2))
8470zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
8575, 84sqmuld 14198 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)))
8665oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)))
8720zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
8887, 75, 57divcan2d 12045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐷)
8986, 88eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = 𝐷)
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (𝐷↑2))
9185, 90eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)) = (𝐷↑2))
9283, 91oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
9374, 92eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
9444, 93breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
95 zsqcl 14169 . . . . . . . 8 ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
9649, 95syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
978, 96gcdcomd 16551 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀))
9849, 8gcdcld 16545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ)
100 gcddvds 16540 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
10149, 8, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
102101simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷))
10399, 49, 14, 102, 56dvdstrd 16332 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶)
10411, 14zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℤ)
105101simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
10613simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ)
1075nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≠ 0)
108 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴𝐶) ↔ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
1098, 107, 104, 108syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴𝐶) ↔ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
110106, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∥ (𝐴𝐶))
11199, 8, 104, 105, 110dvdstrd 16332 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶))
112 dvdssub2 16338 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
11399, 11, 14, 111, 112syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
114103, 113mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴)
11599, 49, 20, 102, 66dvdstrd 16332 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷)
11617, 20zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℤ)
11719simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ)
118 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐵𝐷) ↔ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
1198, 107, 116, 118syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐵𝐷) ↔ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
120117, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∥ (𝐵𝐷))
12199, 8, 116, 105, 120dvdstrd 16332 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷))
122 dvdssub2 16338 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
12399, 17, 20, 121, 122syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
124115, 123mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵)
125 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
12747, 126eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
128127neneqd 2945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
129 gcdeq0 16554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
13011, 17, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
131128, 130mtbid 324 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
132 dvdslegcd 16541 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
13399, 11, 17, 131, 132syl31anc 1375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
134114, 124, 133mp2and 699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
135134, 47breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1)
136 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
137136necon3ai 2965 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 0 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
138107, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
139 gcdn0cl 16539 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
14049, 8, 138, 139syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
141 nnle1eq1 12296 . . . . . . . . 9 (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
142140, 141syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
143135, 142mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1)
144 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
145144a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
146 rplpwr 16595 . . . . . . . 8 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
14748, 5, 145, 146syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
148143, 147mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1)
14997, 148eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1)
15063, 72nn0addcld 12591 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
151150nn0zd 12639 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
152 coprmdvds 16690 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
1538, 96, 151, 152syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
15494, 149, 153mp2and 699 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
155 dvdsval2 16293 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
1568, 107, 151, 155syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
157154, 156mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
15863nn0red 12588 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
15972nn0red 12588 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
1615nnred 12281 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1621, 452sqlem7 27468 . . . . . . 7 𝑌 ⊆ (𝑆 ∩ ℕ)
163 inss2 4238 . . . . . . 7 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
164162, 163sstri 3993 . . . . . 6 𝑌 ⊆ ℕ
16561, 70gcdcld 16545 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℕ0)
166165nn0cnd 12589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℂ)
167 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16875mulridd 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 1) = (𝐶 gcd 𝐷))
16981, 89oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = (𝐶 gcd 𝐷))
17014, 20gcdcld 16545 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ0)
171 mulgcd 16585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
172170, 61, 70, 171syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
173168, 169, 1723eqtr2rd 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · 1))
174166, 167, 75, 57, 173mulcanad 11898 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) = 1)
175 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
176 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝑦))
177176eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝑦) = 1))
178 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥↑2) = (𝐸↑2))
179178oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))
180179eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐸 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))))
181177, 180anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐸 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))))
182 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐹 → (𝐸 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝐹))
183182eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝐹) = 1))
184 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐹 → (𝑦↑2) = (𝐹↑2))
185184oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
186185eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
187183, 186anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))))
188181, 187rspc2ev 3635 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
18961, 70, 174, 175, 188syl112anc 1376 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
190 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ V
191 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
192191anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
1931922rexbidv 3222 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
194190, 193, 45elab2 3682 . . . . . . 7 (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
195189, 194sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
196164, 195sselid 3981 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ)
197196nngt0d 12315 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
1985nngt0d 12315 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
199160, 161, 197, 198divgt0d 12203 . . 3 (𝜑 → 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
200 elnnz 12623 . . 3 ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
201157, 199, 200sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
202 prmnn 16711 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
203202ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℕ)
204203nnred 12281 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℝ)
205157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
206205zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℝ)
207 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2088, 207syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
209208zred 12722 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
210209adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
211 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
212 prmz 16712 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
213212ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℤ)
214201adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
215 dvdsle 16347 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
216213, 214, 215syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
217211, 216mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
218 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
2198, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
220219zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
221220rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
22216zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
22322zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
224222, 223readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
225 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
22648nnsqcld 14283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ)
227226nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℝ)
228150nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
229226nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2))
230225, 227, 160, 228, 229lemul1ad 12207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ≤ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
231150nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
232231mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
233230, 232, 933brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
234221rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
23511, 5, 124sqlem7 16982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
23617, 5, 184sqlem7 16982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
237222, 223, 234, 234, 235, 236le2addd 11882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
238221recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
2392382halvesd 12512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
240237, 239breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
241160, 224, 221, 233, 240letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
2425nnsqcld 14283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
243242nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ+)
244 rphalflt 13064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
246160, 221, 220, 241, 245lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀↑2))
2478zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
248247sqvald 14183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
249246, 248breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀))
250 ltdivmul 12143 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
251160, 161, 161, 198, 250syl112anc 1376 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
252249, 251mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀)
253 zltlem1 12670 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
254157, 8, 253syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
255252, 254mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
256255adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
257204, 206, 210, 217, 256letrd 11418 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))
258208adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
259 fznn 13632 . . . . . . . 8 ((𝑀 − 1) ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
260258, 259syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
261203, 257, 260mpbir2and 713 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)))
262195adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
263261, 262jca 511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌))
26446adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
265151adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
266 dvdsmul2 16316 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
2678, 157, 266syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
268231, 247, 107divcan2d 12045 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
269267, 268breqtrd 5169 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
270269adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
271213, 205, 265, 211, 270dvdstrd 16332 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
272 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝑎𝑝𝑎))
273 eleq1w 2824 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝑆𝑝𝑆))
274272, 273imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑏𝑎𝑏𝑆) ↔ (𝑝𝑎𝑝𝑆)))
275 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑝𝑎𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
276275imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → ((𝑝𝑎𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝𝑆)))
277274, 276rspc2v 3633 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌) → (∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆) → (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝𝑆)))
278263, 264, 271, 277syl3c 66 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝𝑆)
279278expr 456 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝𝑆))
280279ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝𝑆))
281 inss1 4237 . . . . 5 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ 𝑆
282162, 281sstri 3993 . . . 4 𝑌𝑆
283282, 195sselid 3981 . . 3 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑆)
284268, 283eqeltrd 2841 . 2 (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
2851, 5, 201, 280, 2842sqlem6 27467 1 (𝜑𝑀𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547   mod cmo 13909  cexp 14102  abscabs 15273  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  ℤ[i]cgz 16967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-gz 16968
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