MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem8 26696
Description: Lemma for 2sq 26700. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem7.2 ๐‘Œ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))}
2sqlem9.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
2sqlem9.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
2sqlem8.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem8.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2sqlem8.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2sqlem8.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2sqlem8.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
2sqlem8.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
2sqlem8.c ๐ถ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
2sqlem8.d ๐ท = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
2sqlem8.e ๐ธ = (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท))
2sqlem8.f ๐น = (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ด,๐‘Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ท   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐น,๐‘Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐ด(๐‘ค,๐‘)   ๐ต(๐‘ง,๐‘ค)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ค)   ๐ธ(๐‘ค,๐‘)   ๐น(๐‘ค,๐‘)   ๐‘€(๐‘ค)   ๐‘(๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2 2sqlem8.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3 eluz2b3 12776 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
42, 3sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
54simpld 496 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
7 eluzelz 12706 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12539 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12 ๐ถ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
1311, 5, 124sqlem5 16749 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1413simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
15 zsqcl 13962 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12 ๐ท = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
1917, 5, 184sqlem5 16749 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2019simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
21 zsqcl 13962 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2316, 22zaddcld 12544 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
24 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2625, 16zsubcld 12545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
27 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2928, 22zsubcld 12545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
3011, 5, 124sqlem8 16752 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
3117, 5, 184sqlem8 16752 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)))
328, 26, 29, 30, 31dvds2addd 16109 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2))))
33 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3433oveq1d 7365 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
3525zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3628zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3716zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3822zcnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3935, 36, 37, 38addsub4d 11493 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2))))
4034, 39eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2))))
4132, 40breqtrrd 5132 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
42 dvdssub2 16118 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆฅ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
438, 10, 23, 41, 42syl31anc 1374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
446, 43mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
45 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘Œ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))}
46 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
47 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
481, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 182sqlem8a 26695 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„•)
4948nnzd 12539 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค)
50 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
5251nn0cnd 12409 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
53 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11 ๐ธ = (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท))
54 gcddvds 16318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท))
5514, 20, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท))
5655simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ)
5748nnne0d 12137 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โ‰  0)
58 dvdsval2 16074 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โ‰  0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
5949, 57, 14, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
6153, 60eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
62 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . 10 (๐ธ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
6463nn0cnd 12409 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
65 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท))
6655simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท)
67 dvdsval2 16074 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โ‰  0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท โ†” (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
6849, 57, 20, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท โ†” (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
7065, 69eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
71 zsqcl2 13970 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
7372nn0cnd 12409 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7452, 64, 73adddid 11113 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = ((((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) + (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
7549zcnd 12541 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7661zcnd 12541 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
7775, 76sqmuld 13990 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ)โ†‘2) = (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)))
7853oveq2i 7361 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)))
7914zcnd 12541 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8079, 75, 57divcan2d 11867 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท))) = ๐ถ)
8178, 80eqtrid 2790 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) = ๐ถ)
8281oveq1d 7365 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ)โ†‘2) = (๐ถโ†‘2))
8377, 82eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
8470zcnd 12541 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
8575, 84sqmuld 13990 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)โ†‘2) = (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)))
8665oveq2i 7361 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)))
8720zcnd 12541 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8887, 75, 57divcan2d 11867 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท))) = ๐ท)
8986, 88eqtrid 2790 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น) = ๐ท)
9089oveq1d 7365 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)โ†‘2) = (๐ทโ†‘2))
9185, 90eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ทโ†‘2))
9283, 91oveq12d 7368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) + (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
9374, 92eqtrd 2778 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
9444, 93breqtrrd 5132 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
95 zsqcl 13962 . . . . . . . 8 ((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
9649, 95syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
978, 96gcdcomd 16329 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€))
9849, 8gcdcld 16323 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
9998nn0zd 12538 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
100 gcddvds 16318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ถ gcd ๐ท) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
10149, 8, 100syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ถ gcd ๐ท) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
102101simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ถ gcd ๐ท))
10399, 49, 14, 102, 56dvdstrd 16112 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ถ)
10411, 14zsubcld 12545 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
105101simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€)
10613simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1075nnne0d 12137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
108 dvdsval2 16074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1098, 107, 104, 108syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
110106, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ))
11199, 8, 104, 105, 110dvdstrd 16112 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ))
112 dvdssub2 16118 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ถ))
11399, 11, 14, 111, 112syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ถ))
114103, 113mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด)
11599, 49, 20, 102, 66dvdstrd 16112 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ท)
11617, 20zsubcld 12545 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ค)
11719simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
118 dvdsval2 16074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ†” ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1198, 107, 116, 118syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ†” ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
120117, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท))
12199, 8, 116, 105, 120dvdstrd 16112 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท))
122 dvdssub2 16118 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ท))
12399, 17, 20, 121, 122syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ท))
124115, 123mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต)
125 ax-1ne0 11054 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โ‰  0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
12747, 126eqnetrd 3010 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
128127neneqd 2947 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด gcd ๐ต) = 0)
129 gcdeq0 16332 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
13011, 17, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
131128, 130mtbid 324 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
132 dvdslegcd 16319 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค (๐ด gcd ๐ต)))
13399, 11, 17, 131, 132syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค (๐ด gcd ๐ต)))
134114, 124, 133mp2and 698 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค (๐ด gcd ๐ต))
135134, 47breqtrd 5130 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค 1)
136 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
137136necon3ai 2967 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โ‰  0 โ†’ ยฌ ((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0))
138107, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0))
139 gcdn0cl 16317 . . . . . . . . . 10 ((((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•)
14049, 8, 138, 139syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•)
141 nnle1eq1 12117 . . . . . . . . 9 (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค 1 โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1))
142140, 141syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค 1 โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1))
143135, 142mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1)
144 2nn 12160 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
145144a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
146 rplpwr 16373 . . . . . . . 8 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€) = 1))
14748, 5, 145, 146syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€) = 1))
148143, 147mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€) = 1)
14997, 148eqtrd 2778 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = 1)
15063, 72nn0addcld 12411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
151150nn0zd 12538 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
152 coprmdvds 16464 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆง (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
1538, 96, 151, 152syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆง (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
15494, 149, 153mp2and 698 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
155 dvdsval2 16074 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1568, 107, 151, 155syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
157154, 156mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
15863nn0red 12408 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„)
15972nn0red 12408 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„)
160158, 159readdcld 11118 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1615nnred 12102 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1621, 452sqlem7 26694 . . . . . . 7 ๐‘Œ โŠ† (๐‘† โˆฉ โ„•)
163 inss2 4188 . . . . . . 7 (๐‘† โˆฉ โ„•) โŠ† โ„•
164162, 163sstri 3952 . . . . . 6 ๐‘Œ โŠ† โ„•
16561, 70gcdcld 16323 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ gcd ๐น) โˆˆ โ„•0)
166165nn0cnd 12409 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ gcd ๐น) โˆˆ โ„‚)
167 1cnd 11084 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16875mulid1d 11106 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท 1) = (๐ถ gcd ๐ท))
16981, 89oveq12d 7368 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) gcd ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)) = (๐ถ gcd ๐ท))
17014, 20gcdcld 16323 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„•0)
171 mulgcd 16364 . . . . . . . . . . 11 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) gcd ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ธ gcd ๐น)))
172170, 61, 70, 171syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) gcd ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ธ gcd ๐น)))
173168, 169, 1723eqtr2rd 2785 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ธ gcd ๐น)) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท 1))
174166, 167, 75, 57, 173mulcanad 11724 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ gcd ๐น) = 1)
175 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
176 oveq1 7357 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = (๐ธ gcd ๐‘ฆ))
177176eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โ†” (๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1))
178 oveq1 7357 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐ธโ†‘2))
179178oveq1d 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
180179eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
181177, 180anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” ((๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))))
182 oveq2 7358 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (๐ธ gcd ๐‘ฆ) = (๐ธ gcd ๐น))
183182eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ ((๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1 โ†” (๐ธ gcd ๐น) = 1))
184 oveq1 7357 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = (๐นโ†‘2))
185184oveq2d 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
186185eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
187183, 186anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (((๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” ((๐ธ gcd ๐น) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))))
188181, 187rspc2ev 3591 . . . . . . . 8 ((๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ๐น โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ธ gcd ๐น) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
18961, 70, 174, 175, 188syl112anc 1375 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
190 ovex 7383 . . . . . . . 8 ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ V
191 eqeq1 2742 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
192191anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))))
1931922rexbidv 3212 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))))
194190, 193, 45elab2 3633 . . . . . . 7 (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
195189, 194sylibr 233 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ)
196164, 195sselid 3941 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
197196nngt0d 12136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
1985nngt0d 12136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
199160, 161, 197, 198divgt0d 12024 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))
200 elnnz 12443 . . 3 ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†” ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
201157, 199, 200sylanbrc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„•)
202 prmnn 16485 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
203202ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
204203nnred 12102 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
205157adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
206205zred 12540 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
207 peano2zm 12477 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2088, 207syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
209208zred 12540 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
210209adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
211 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))
212 prmz 16486 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
213212ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
214201adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„•)
215 dvdsle 16127 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
216213, 214, 215syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
217211, 216mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))
218 zsqcl 13962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2198, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
220219zred 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„)
221220rehalfcld 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
22216zred 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
22322zred 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„)
224222, 223readdcld 11118 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„)
225 1red 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22648nnsqcld 14073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
227226nnred 12102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„)
228150nn0ge0d 12410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
229226nnge1d 12135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2))
230225, 227, 160, 228, 229lemul1ad 12028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โ‰ค (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
231150nn0cnd 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
232231mulid2d 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
233230, 232, 933brtr3d 5135 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
234221rehalfcld 12334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„)
23511, 5, 124sqlem7 16751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
23617, 5, 184sqlem7 16751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
237222, 223, 234, 234, 235, 236le2addd 11708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
238221recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
2392382halvesd 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) = ((๐‘€โ†‘2) / 2))
240237, 239breqtrd 5130 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
241160, 224, 221, 233, 240letrd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
2425nnsqcld 14073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
243242nnrpd 12884 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„+)
244 rphalflt 12873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) < (๐‘€โ†‘2))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) < (๐‘€โ†‘2))
246160, 221, 220, 241, 245lelttrd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€โ†‘2))
2478zcnd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
248247sqvald 13975 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
249246, 248breqtrd 5130 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€ ยท ๐‘€))
250 ltdivmul 11964 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€ ยท ๐‘€)))
251160, 161, 161, 198, 250syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€ ยท ๐‘€)))
252249, 251mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€)
253 zltlem1 12487 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1)))
254157, 8, 253syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1)))
255252, 254mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
256255adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
257204, 206, 210, 217, 256letrd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
258208adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
259 fznn 13438 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))))
260258, 259syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))))
261203, 257, 260mpbir2and 712 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)))
262195adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ)
263261, 262jca 513 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ))
26446adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
265151adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
266 dvdsmul2 16096 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
2678, 157, 266syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
268231, 247, 107divcan2d 11867 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
269267, 268breqtrd 5130 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
270269adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
271213, 205, 265, 211, 270dvdstrd 16112 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
272 breq1 5107 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘Ž))
273 eleq1w 2821 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
274272, 273imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
275 breq2 5108 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
276275imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘Ž = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
277274, 276rspc2v 3589 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
278263, 264, 271, 277syl3c 66 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
279278expr 458 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
280279ralrimiva 3142 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
281 inss1 4187 . . . . 5 (๐‘† โˆฉ โ„•) โŠ† ๐‘†
282162, 281sstri 3952 . . . 4 ๐‘Œ โŠ† ๐‘†
283282, 195sselid 3941 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
284268, 283eqeltrd 2839 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)) โˆˆ ๐‘†)
2851, 5, 201, 280, 2842sqlem6 26693 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2715   โ‰  wne 2942  โˆ€wral 3063  โˆƒwrex 3072   โˆฉ cin 3908   class class class wbr 5104   โ†ฆ cmpt 5187  ran crn 5632  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โ‰ค cle 11124   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  โ„•cn 12087  2c2 12142  โ„•0cn0 12347  โ„คcz 12433  โ„คโ‰ฅcuz 12696  โ„+crp 12844  ...cfz 13353   mod cmo 13703  โ†‘cexp 13896  abscabs 15053   โˆฅ cdvds 16071   gcd cgcd 16309  โ„™cprime 16482  โ„ค[i]cgz 16736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310  df-prm 16483  df-gz 16737
This theorem is referenced by:  2sqlem9  26697
  Copyright terms: Public domain W3C validator