MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem8 26696
Description: Lemma for 2sq 26700. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem7.2 ๐‘Œ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))}
2sqlem9.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
2sqlem9.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
2sqlem8.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem8.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2sqlem8.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2sqlem8.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2sqlem8.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
2sqlem8.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
2sqlem8.c ๐ถ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
2sqlem8.d ๐ท = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
2sqlem8.e ๐ธ = (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท))
2sqlem8.f ๐น = (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ด,๐‘Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ท   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐น,๐‘Ž,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐ด(๐‘ค,๐‘)   ๐ต(๐‘ง,๐‘ค)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ค)   ๐ธ(๐‘ค,๐‘)   ๐น(๐‘ค,๐‘)   ๐‘€(๐‘ค)   ๐‘(๐‘ค,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2 2sqlem8.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3 eluz2b3 12775 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
42, 3sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
54simpld 495 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
7 eluzelz 12705 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12538 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12 ๐ถ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
1311, 5, 124sqlem5 16748 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1413simpld 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
15 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12 ๐ท = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
1917, 5, 184sqlem5 16748 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2019simpld 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
21 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2316, 22zaddcld 12543 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
24 zsqcl 13961 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2625, 16zsubcld 12544 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
27 zsqcl 13961 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2928, 22zsubcld 12544 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
3011, 5, 124sqlem8 16751 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
3117, 5, 184sqlem8 16751 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)))
328, 26, 29, 30, 31dvds2addd 16108 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2))))
33 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3433oveq1d 7364 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
3525zcnd 12540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3628zcnd 12540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3716zcnd 12540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3822zcnd 12540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3935, 36, 37, 38addsub4d 11492 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2))))
4034, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2))))
4132, 40breqtrrd 5131 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
42 dvdssub2 16117 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆฅ (๐‘ โˆ’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
438, 10, 23, 41, 42syl31anc 1373 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
446, 43mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
45 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘Œ = {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))}
46 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
47 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
481, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 182sqlem8a 26695 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„•)
4948nnzd 12538 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค)
50 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
5251nn0cnd 12408 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
53 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11 ๐ธ = (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท))
54 gcddvds 16317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท))
5514, 20, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท))
5655simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ)
5748nnne0d 12136 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โ‰  0)
58 dvdsval2 16073 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โ‰  0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
5949, 57, 14, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
6153, 60eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
62 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . 10 (๐ธ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
6463nn0cnd 12408 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
65 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11 ๐น = (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท))
6655simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท)
67 dvdsval2 16073 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ gcd ๐ท) โ‰  0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท โ†” (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
6849, 57, 20, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) โˆฅ ๐ท โ†” (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
7065, 69eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
71 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
7372nn0cnd 12408 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7452, 64, 73adddid 11112 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = ((((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) + (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))))
7549zcnd 12540 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7661zcnd 12540 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
7775, 76sqmuld 13989 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ)โ†‘2) = (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)))
7853oveq2i 7360 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)))
7914zcnd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8079, 75, 57divcan2d 11866 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท))) = ๐ถ)
8178, 80eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) = ๐ถ)
8281oveq1d 7364 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ)โ†‘2) = (๐ถโ†‘2))
8377, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
8470zcnd 12540 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
8575, 84sqmuld 13989 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)โ†‘2) = (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)))
8665oveq2i 7360 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)))
8720zcnd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8887, 75, 57divcan2d 11866 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท))) = ๐ท)
8986, 88eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น) = ๐ท)
9089oveq1d 7364 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)โ†‘2) = (๐ทโ†‘2))
9185, 90eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2)) = (๐ทโ†‘2))
9283, 91oveq12d 7367 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐ธโ†‘2)) + (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท (๐นโ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
9374, 92eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
9444, 93breqtrrd 5131 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
95 zsqcl 13961 . . . . . . . 8 ((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
9649, 95syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
978, 96gcdcomd 16328 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€))
9849, 8gcdcld 16322 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
9998nn0zd 12537 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
100 gcddvds 16317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ถ gcd ๐ท) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
10149, 8, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ถ gcd ๐ท) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
102101simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ถ gcd ๐ท))
10399, 49, 14, 102, 56dvdstrd 16111 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ถ)
10411, 14zsubcld 12544 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
105101simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€)
10613simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1075nnne0d 12136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
108 dvdsval2 16073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1098, 107, 104, 108syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ถ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
110106, 109mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ))
11199, 8, 104, 105, 110dvdstrd 16111 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ))
112 dvdssub2 16117 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ถ)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ถ))
11399, 11, 14, 111, 112syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ถ))
114103, 113mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด)
11599, 49, 20, 102, 66dvdstrd 16111 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ท)
11617, 20zsubcld 12544 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ค)
11719simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
118 dvdsval2 16073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ†” ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1198, 107, 116, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ†” ((๐ต โˆ’ ๐ท) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
120117, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท))
12199, 8, 116, 105, 120dvdstrd 16111 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท))
122 dvdssub2 16117 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ท)) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ท))
12399, 17, 20, 121, 122syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ท))
124115, 123mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต)
125 ax-1ne0 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โ‰  0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
12747, 126eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
128127neneqd 2946 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด gcd ๐ต) = 0)
129 gcdeq0 16331 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
13011, 17, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
131128, 130mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
132 dvdslegcd 16318 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค (๐ด gcd ๐ต)))
13399, 11, 17, 131, 132syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ด โˆง ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค (๐ด gcd ๐ต)))
134114, 124, 133mp2and 697 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค (๐ด gcd ๐ต))
135134, 47breqtrd 5129 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค 1)
136 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
137136necon3ai 2966 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โ‰  0 โ†’ ยฌ ((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0))
138107, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0))
139 gcdn0cl 16316 . . . . . . . . . 10 ((((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((๐ถ gcd ๐ท) = 0 โˆง ๐‘€ = 0)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•)
14049, 8, 138, 139syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„•)
141 nnle1eq1 12116 . . . . . . . . 9 (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค 1 โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1))
142140, 141syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) โ‰ค 1 โ†” ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1))
143135, 142mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1)
144 2nn 12159 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
145144a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
146 rplpwr 16372 . . . . . . . 8 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€) = 1))
14748, 5, 145, 146syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€) = 1))
148143, 147mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) gcd ๐‘€) = 1)
14997, 148eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = 1)
15063, 72nn0addcld 12410 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
151150nn0zd 12537 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
152 coprmdvds 16463 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆง (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
1538, 96, 151, 152syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆง (๐‘€ gcd ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2)) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
15494, 149, 153mp2and 697 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
155 dvdsval2 16073 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1568, 107, 151, 155syl3anc 1371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
157154, 156mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
15863nn0red 12407 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„)
15972nn0red 12407 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„)
160158, 159readdcld 11117 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1615nnred 12101 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1621, 452sqlem7 26694 . . . . . . 7 ๐‘Œ โŠ† (๐‘† โˆฉ โ„•)
163 inss2 4187 . . . . . . 7 (๐‘† โˆฉ โ„•) โŠ† โ„•
164162, 163sstri 3951 . . . . . 6 ๐‘Œ โŠ† โ„•
16561, 70gcdcld 16322 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ gcd ๐น) โˆˆ โ„•0)
166165nn0cnd 12408 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ gcd ๐น) โˆˆ โ„‚)
167 1cnd 11083 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16875mulid1d 11105 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท 1) = (๐ถ gcd ๐ท))
16981, 89oveq12d 7367 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) gcd ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)) = (๐ถ gcd ๐ท))
17014, 20gcdcld 16322 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„•0)
171 mulgcd 16363 . . . . . . . . . . 11 (((๐ถ gcd ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) gcd ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ธ gcd ๐น)))
172170, 61, 70, 171syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐ธ) gcd ((๐ถ gcd ๐ท) ยท ๐น)) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ธ gcd ๐น)))
173168, 169, 1723eqtr2rd 2784 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท) ยท (๐ธ gcd ๐น)) = ((๐ถ gcd ๐ท) ยท 1))
174166, 167, 75, 57, 173mulcanad 11723 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ gcd ๐น) = 1)
175 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
176 oveq1 7356 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = (๐ธ gcd ๐‘ฆ))
177176eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โ†” (๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1))
178 oveq1 7356 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐ธโ†‘2))
179178oveq1d 7364 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
180179eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
181177, 180anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” ((๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))))
182 oveq2 7357 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (๐ธ gcd ๐‘ฆ) = (๐ธ gcd ๐น))
183182eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ ((๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1 โ†” (๐ธ gcd ๐น) = 1))
184 oveq1 7356 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = (๐นโ†‘2))
185184oveq2d 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
186185eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
187183, 186anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (((๐ธ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” ((๐ธ gcd ๐น) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))))
188181, 187rspc2ev 3590 . . . . . . . 8 ((๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ๐น โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ธ gcd ๐น) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
18961, 70, 174, 175, 188syl112anc 1374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
190 ovex 7382 . . . . . . . 8 ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ V
191 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
192191anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))))
1931922rexbidv 3211 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ๐‘ง = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))))
194190, 193, 45elab2 3632 . . . . . . 7 (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ gcd ๐‘ฆ) = 1 โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
195189, 194sylibr 233 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ)
196164, 195sselid 3940 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
197196nngt0d 12135 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
1985nngt0d 12135 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
199160, 161, 197, 198divgt0d 12023 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))
200 elnnz 12442 . . 3 ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†” ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
201157, 199, 200sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„•)
202 prmnn 16484 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
203202ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
204203nnred 12101 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
205157adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
206205zred 12539 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
207 peano2zm 12476 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2088, 207syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
209208zred 12539 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
210209adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
211 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))
212 prmz 16485 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
213212ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
214201adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„•)
215 dvdsle 16126 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
216213, 214, 215syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
217211, 216mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))
218 zsqcl 13961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2198, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
220219zred 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„)
221220rehalfcld 12333 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
22216zred 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
22322zred 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„)
224222, 223readdcld 11117 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„)
225 1red 11089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22648nnsqcld 14072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
227226nnred 12101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„)
228150nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
229226nnge1d 12134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2))
230225, 227, 160, 228, 229lemul1ad 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โ‰ค (((๐ถ gcd ๐ท)โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
231150nn0cnd 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
232231mulid2d 11106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
233230, 232, 933brtr3d 5134 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
234221rehalfcld 12333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„)
23511, 5, 124sqlem7 16750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
23617, 5, 184sqlem7 16750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
237222, 223, 234, 234, 235, 236le2addd 11707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
238221recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
2392382halvesd 12332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) = ((๐‘€โ†‘2) / 2))
240237, 239breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
241160, 224, 221, 233, 240letrd 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
2425nnsqcld 14072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
243242nnrpd 12883 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„+)
244 rphalflt 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) < (๐‘€โ†‘2))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) < (๐‘€โ†‘2))
246160, 221, 220, 241, 245lelttrd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€โ†‘2))
2478zcnd 12540 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
248247sqvald 13974 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
249246, 248breqtrd 5129 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€ ยท ๐‘€))
250 ltdivmul 11963 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€ ยท ๐‘€)))
251160, 161, 161, 198, 250syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) < (๐‘€ ยท ๐‘€)))
252249, 251mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€)
253 zltlem1 12486 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1)))
254157, 8, 253syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) < ๐‘€ โ†” (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1)))
255252, 254mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
256255adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
257204, 206, 210, 217, 256letrd 11245 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))
258208adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
259 fznn 13437 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))))
260258, 259syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘€ โˆ’ 1))))
261203, 257, 260mpbir2and 711 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)))
262195adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ)
263261, 262jca 512 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ))
26446adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
265151adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
266 dvdsmul2 16095 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
2678, 157, 266syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)))
268231, 247, 107divcan2d 11866 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
269267, 268breqtrd 5129 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
270269adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
271213, 205, 265, 211, 270dvdstrd 16111 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))
272 breq1 5106 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘Ž))
273 eleq1w 2820 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
274272, 273imbi12d 344 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
275 breq2 5107 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
276275imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘Ž = ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
277274, 276rspc2v 3588 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ โˆฅ ๐‘Ž โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
278263, 264, 271, 277syl3c 66 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
279278expr 457 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
280279ralrimiva 3141 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
281 inss1 4186 . . . . 5 (๐‘† โˆฉ โ„•) โŠ† ๐‘†
282162, 281sstri 3951 . . . 4 ๐‘Œ โŠ† ๐‘†
283282, 195sselid 3940 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
284268, 283eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) / ๐‘€)) โˆˆ ๐‘†)
2851, 5, 201, 280, 2842sqlem6 26693 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2714   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   โˆฉ cin 3907   class class class wbr 5103   โ†ฆ cmpt 5186  ran crn 5631  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  โ„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   < clt 11122   โ‰ค cle 11123   โˆ’ cmin 11318   / cdiv 11745  โ„•cn 12086  2c2 12141  โ„•0cn0 12346  โ„คcz 12432  โ„คโ‰ฅcuz 12695  โ„+crp 12843  ...cfz 13352   mod cmo 13702  โ†‘cexp 13895  abscabs 15052   โˆฅ cdvds 16070   gcd cgcd 16308  โ„™cprime 16481  โ„ค[i]cgz 16735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071  df-gcd 16309  df-prm 16482  df-gz 16736
This theorem is referenced by:  2sqlem9  26697
  Copyright terms: Public domain W3C validator