MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem8 26574
Description: Lemma for 2sq 26578. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2sqlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.e 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
2sqlem8.f 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8 (𝜑𝑀𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑤,𝑏)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑏)   𝐹(𝑤,𝑏)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem8.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b3 12662 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
42, 3sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
54simpld 495 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑁)
7 eluzelz 12592 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnzd 12425 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1311, 5, 124sqlem5 16643 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
15 zsqcl 13848 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1917, 5, 184sqlem5 16643 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
2019simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
21 zsqcl 13848 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
2316, 22zaddcld 12430 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
24 zsqcl 13848 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2625, 16zsubcld 12431 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
27 zsqcl 13848 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2928, 22zsubcld 12431 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
3011, 5, 124sqlem8 16646 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)))
3117, 5, 184sqlem8 16646 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))
328, 26, 29, 30, 31dvds2addd 16001 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
33 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3433oveq1d 7290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
3525zcnd 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3628zcnd 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3716zcnd 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
3822zcnd 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
3935, 36, 37, 38addsub4d 11379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
4034, 39eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
4132, 40breqtrrd 5102 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
42 dvdssub2 16010 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
438, 10, 23, 41, 42syl31anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
446, 43mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
45 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
46 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
47 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
481, 45, 46, 6, 9, 2, 11, 17, 47, 33, 12, 182sqlem8a 26573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
4948nnzd 12425 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ)
50 zsqcl2 13856 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 12295 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
53 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
54 gcddvds 16210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
5514, 20, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
5655simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶)
5748nnne0d 12023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0)
58 dvdsval2 15966 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
5949, 57, 14, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
6153, 60eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
62 zsqcl2 13856 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 12295 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
65 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
6655simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷)
67 dvdsval2 15966 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6849, 57, 20, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
7065, 69eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
71 zsqcl2 13856 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7372nn0cnd 12295 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
7452, 64, 73adddid 10999 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))))
7549zcnd 12427 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℂ)
7661zcnd 12427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7775, 76sqmuld 13876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)))
7853oveq2i 7286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)))
7914zcnd 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8079, 75, 57divcan2d 11753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐶)
8178, 80eqtrid 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = 𝐶)
8281oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (𝐶↑2))
8377, 82eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐶↑2))
8470zcnd 12427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
8575, 84sqmuld 13876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)))
8665oveq2i 7286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)))
8720zcnd 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
8887, 75, 57divcan2d 11753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐷)
8986, 88eqtrid 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = 𝐷)
9089oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (𝐷↑2))
9185, 90eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)) = (𝐷↑2))
9283, 91oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
9374, 92eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
9444, 93breqtrrd 5102 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
95 zsqcl 13848 . . . . . . . 8 ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
9649, 95syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
978, 96gcdcomd 16221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀))
9849, 8gcdcld 16215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 12424 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ)
100 gcddvds 16210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
10149, 8, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
102101simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷))
10399, 49, 14, 102, 56dvdstrd 16004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶)
10411, 14zsubcld 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℤ)
105101simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
10613simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ)
1075nnne0d 12023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≠ 0)
108 dvdsval2 15966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴𝐶) ↔ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
1098, 107, 104, 108syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴𝐶) ↔ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
110106, 109mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∥ (𝐴𝐶))
11199, 8, 104, 105, 110dvdstrd 16004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶))
112 dvdssub2 16010 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
11399, 11, 14, 111, 112syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
114103, 113mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴)
11599, 49, 20, 102, 66dvdstrd 16004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷)
11617, 20zsubcld 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℤ)
11719simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ)
118 dvdsval2 15966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐵𝐷) ↔ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
1198, 107, 116, 118syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐵𝐷) ↔ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
120117, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∥ (𝐵𝐷))
12199, 8, 116, 105, 120dvdstrd 16004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷))
122 dvdssub2 16010 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
12399, 17, 20, 121, 122syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
124115, 123mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵)
125 ax-1ne0 10940 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
12747, 126eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
128127neneqd 2948 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
129 gcdeq0 16224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
13011, 17, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
131128, 130mtbid 324 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
132 dvdslegcd 16211 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
13399, 11, 17, 131, 132syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
134114, 124, 133mp2and 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
135134, 47breqtrd 5100 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1)
136 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
137136necon3ai 2968 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 0 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
138107, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
139 gcdn0cl 16209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
14049, 8, 138, 139syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
141 nnle1eq1 12003 . . . . . . . . 9 (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
142140, 141syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
143135, 142mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1)
144 2nn 12046 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
145144a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
146 rplpwr 16267 . . . . . . . 8 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
14748, 5, 145, 146syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
148143, 147mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1)
14997, 148eqtrd 2778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1)
15063, 72nn0addcld 12297 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
151150nn0zd 12424 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
152 coprmdvds 16358 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
1538, 96, 151, 152syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
15494, 149, 153mp2and 696 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
155 dvdsval2 15966 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
1568, 107, 151, 155syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
157154, 156mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
15863nn0red 12294 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
15972nn0red 12294 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
160158, 159readdcld 11004 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
1615nnred 11988 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1621, 452sqlem7 26572 . . . . . . 7 𝑌 ⊆ (𝑆 ∩ ℕ)
163 inss2 4163 . . . . . . 7 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
164162, 163sstri 3930 . . . . . 6 𝑌 ⊆ ℕ
16561, 70gcdcld 16215 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℕ0)
166165nn0cnd 12295 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℂ)
167 1cnd 10970 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16875mulid1d 10992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 1) = (𝐶 gcd 𝐷))
16981, 89oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = (𝐶 gcd 𝐷))
17014, 20gcdcld 16215 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ0)
171 mulgcd 16256 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
172170, 61, 70, 171syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
173168, 169, 1723eqtr2rd 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · 1))
174166, 167, 75, 57, 173mulcanad 11610 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) = 1)
175 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
176 oveq1 7282 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝑦))
177176eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝑦) = 1))
178 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥↑2) = (𝐸↑2))
179178oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))
180179eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐸 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))))
181177, 180anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐸 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))))
182 oveq2 7283 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐹 → (𝐸 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝐹))
183182eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝐹) = 1))
184 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐹 → (𝑦↑2) = (𝐹↑2))
185184oveq2d 7291 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
186185eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
187183, 186anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))))
188181, 187rspc2ev 3572 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
18961, 70, 174, 175, 188syl112anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
190 ovex 7308 . . . . . . . 8 ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ V
191 eqeq1 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
192191anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
1931922rexbidv 3229 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
194190, 193, 45elab2 3613 . . . . . . 7 (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
195189, 194sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
196164, 195sselid 3919 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ)
197196nngt0d 12022 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
1985nngt0d 12022 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
199160, 161, 197, 198divgt0d 11910 . . 3 (𝜑 → 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
200 elnnz 12329 . . 3 ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
201157, 199, 200sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
202 prmnn 16379 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
203202ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℕ)
204203nnred 11988 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℝ)
205157adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
206205zred 12426 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℝ)
207 peano2zm 12363 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2088, 207syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
209208zred 12426 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
210209adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
211 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
212 prmz 16380 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
213212ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℤ)
214201adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
215 dvdsle 16019 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
216213, 214, 215syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
217211, 216mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
218 zsqcl 13848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
2198, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
220219zred 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
221220rehalfcld 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
22216zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
22322zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
224222, 223readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
225 1red 10976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
22648nnsqcld 13959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ)
227226nnred 11988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℝ)
228150nn0ge0d 12296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
229226nnge1d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2))
230225, 227, 160, 228, 229lemul1ad 11914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ≤ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
231150nn0cnd 12295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
232231mulid2d 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
233230, 232, 933brtr3d 5105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
234221rehalfcld 12220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
23511, 5, 124sqlem7 16645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
23617, 5, 184sqlem7 16645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
237222, 223, 234, 234, 235, 236le2addd 11594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
238221recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
2392382halvesd 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
240237, 239breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
241160, 224, 221, 233, 240letrd 11132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
2425nnsqcld 13959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
243242nnrpd 12770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ+)
244 rphalflt 12759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
246160, 221, 220, 241, 245lelttrd 11133 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀↑2))
2478zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
248247sqvald 13861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
249246, 248breqtrd 5100 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀))
250 ltdivmul 11850 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
251160, 161, 161, 198, 250syl112anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
252249, 251mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀)
253 zltlem1 12373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
254157, 8, 253syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
255252, 254mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
256255adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
257204, 206, 210, 217, 256letrd 11132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))
258208adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
259 fznn 13324 . . . . . . . 8 ((𝑀 − 1) ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
260258, 259syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
261203, 257, 260mpbir2and 710 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)))
262195adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
263261, 262jca 512 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌))
26446adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
265151adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
266 dvdsmul2 15988 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
2678, 157, 266syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
268231, 247, 107divcan2d 11753 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
269267, 268breqtrd 5100 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
270269adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
271213, 205, 265, 211, 270dvdstrd 16004 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
272 breq1 5077 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝑎𝑝𝑎))
273 eleq1w 2821 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝑆𝑝𝑆))
274272, 273imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑏𝑎𝑏𝑆) ↔ (𝑝𝑎𝑝𝑆)))
275 breq2 5078 . . . . . . 7 (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑝𝑎𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
276275imbi1d 342 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → ((𝑝𝑎𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝𝑆)))
277274, 276rspc2v 3570 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌) → (∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆) → (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝𝑆)))
278263, 264, 271, 277syl3c 66 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝𝑆)
279278expr 457 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝𝑆))
280279ralrimiva 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝𝑆))
281 inss1 4162 . . . . 5 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ 𝑆
282162, 281sstri 3930 . . . 4 𝑌𝑆
283282, 195sselid 3919 . . 3 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑆)
284268, 283eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
2851, 5, 201, 280, 2842sqlem6 26571 1 (𝜑𝑀𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  cin 3886   class class class wbr 5074  cmpt 5157  ran crn 5590  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  +crp 12730  ...cfz 13239   mod cmo 13589  cexp 13782  abscabs 14945  cdvds 15963   gcd cgcd 16201  cprime 16376  ℤ[i]cgz 16630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-gz 16631
This theorem is referenced by:  2sqlem9  26575
  Copyright terms: Public domain W3C validator