Theorem elfz1 13461

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 13458	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)})
2	1	eleq2d 2827	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)}))
3		breq2 5079	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		breq1 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
5	3, 4	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	elrab 3631	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		3anass 1101	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	6, 7	bitr4i 280	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	2, 8	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-neg 11375  df-z 12520  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  elfz  13462  elfz2  13463  fzen  13490  fzaddel  13507  fzadd2  13508  elfzm11  13544  fznn0  13568  phicl2  16733  nndiffz1  32882  fzmul  38123  bccl2d  42491  lcmineqlem11  42539  fz1eqin  43233  jm2.27dlem2  43470  fzunt  43914  fzuntd  43915  fzunt1d  43916  fzuntgd  43917  iblspltprt  46430  itgspltprt  46436  natglobalincr  47336