MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1 13549
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 13546 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)})
21eleq2d 2825 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)}))
3 breq2 5152 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑀𝑗𝑀𝐾))
4 breq1 5151 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑁𝐾𝑁))
53, 4anbi12d 632 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65elrab 3695 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 3anass 1094 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
86, 7bitr4i 278 . 2 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁))
92, 8bitrdi 287 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cle 11294  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-neg 11493  df-z 12612  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  elfz  13550  elfz2  13551  fzen  13578  fzaddel  13595  fzadd2  13596  elfzm11  13632  fznn0  13656  phicl2  16802  nndiffz1  32795  fzmul  37728  bccl2d  41973  lcmineqlem11  42021  fz1eqin  42757  jm2.27dlem2  42999  fzunt  43445  fzuntd  43446  fzunt1d  43447  fzuntgd  43448  iblspltprt  45929  itgspltprt  45935  natglobalincr  46831
  Copyright terms: Public domain W3C validator