MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1 12890
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 12887 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)})
21eleq2d 2902 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)}))
3 breq2 5066 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑀𝑗𝑀𝐾))
4 breq1 5065 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑁𝐾𝑁))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65elrab 3683 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 3anass 1089 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
86, 7bitr4i 279 . 2 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁))
92, 8syl6bb 288 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3146   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cle 10668  cz 11973  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-neg 10865  df-z 11974  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  elfz  12891  elfz2  12892  fzen  12917  fzaddel  12934  fzadd2  12935  elfzm11  12971  fznn0  12992  phicl2  16097  nndiffz1  30424  fzmul  34886  fz1eqin  39233  jm2.27dlem2  39474  iblspltprt  42125  itgspltprt  42131
  Copyright terms: Public domain W3C validator