Theorem elfz1 13486

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 13483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)})
2	1	eleq2d 2811	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)}))
3		breq2 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		breq1 5141	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	elrab 3675	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   ≤ cle 11246  ℤcz 12555  ...cfz 13481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-neg 11444  df-z 12556  df-fz 13482

This theorem is referenced by:  elfz  13487  elfz2  13488  fzen  13515  fzaddel  13532  fzadd2  13533  elfzm11  13569  fznn0  13590  phicl2  16700  nndiffz1  32466  fzmul  37099  bccl2d  41350  lcmineqlem11  41397  fz1eqin  41996  jm2.27dlem2  42238  fzunt  42695  fzuntd  42696  fzunt1d  42697  fzuntgd  42698  iblspltprt  45174  itgspltprt  45180  natglobalincr  46076