Theorem jm2.27dlem2 43438

Description: Lemma for rmydioph 43442. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...;10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27dlem2.1	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
jm2.27dlem2	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27dlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2		elfzelz 13478	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
4		elfzle1 13481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1 ≤ 𝐴
6	3	zrei 12530	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
7		jm2.27dlem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
8	7	nnrei 12183	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
9		elfzle2 13482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
11		letrp1 11999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
12	6, 8, 10, 11	mp3an 1464	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13		jm2.27dlem2.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
14	12, 13	breqtrri 5112	. 2 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
15		1z 12557	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
16		nnz 12545	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17		peano2z 12568	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
18	7, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 1) ∈ ℤ
19	13, 18	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
20		elfz1 13466	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)))
21	15, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
22	3, 5, 14, 21	mpbir3an 1343	1 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  rmydioph  43442  expdiophlem2  43450