Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27dlem2 39783
Description: Lemma for rmydioph 39787. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2 elfzelz 12900 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ∈ ℤ
4 elfzle1 12903 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
51, 4ax-mp 5 . 2 1 ≤ 𝐴
63zrei 11973 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ
87nnrei 11632 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
9 elfzle2 12904 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴𝐵)
101, 9ax-mp 5 . . . 4 𝐴𝐵
11 letrp1 11469 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
126, 8, 10, 11mp3an 1458 . . 3 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13 jm2.27dlem2.2 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
1412, 13breqtrri 5074 . 2 𝐴𝐶
15 1z 11998 . . 3 1 ∈ ℤ
16 nnz 11990 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17 peano2z 12009 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
187, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (𝐵 + 1) ∈ ℤ
1913, 18eqeltri 2912 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
20 elfz1 12888 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶)))
2115, 19, 20mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶))
223, 5, 14, 21mpbir3an 1338 1 𝐴 ∈ (1...𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cr 10521  1c1 10523   + caddc 10525  cle 10661  cn 11623  cz 11967  ...cfz 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884
This theorem is referenced by:  rmydioph  39787  expdiophlem2  39795
  Copyright terms: Public domain W3C validator