Theorem jm2.27dlem2 43006

Description: Lemma for rmydioph 43010. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...;10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27dlem2.1	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
jm2.27dlem2	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27dlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2		elfzelz 13492	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
4		elfzle1 13495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1 ≤ 𝐴
6	3	zrei 12542	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
7		jm2.27dlem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
8	7	nnrei 12202	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
9		elfzle2 13496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
11		letrp1 12033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
12	6, 8, 10, 11	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13		jm2.27dlem2.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
14	12, 13	breqtrri 5137	. 2 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
15		1z 12570	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
16		nnz 12557	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17		peano2z 12581	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
18	7, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 1) ∈ ℤ
19	13, 18	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
20		elfz1 13480	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)))
21	15, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
22	3, 5, 14, 21	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  rmydioph  43010  expdiophlem2  43018