Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27dlem2 42999
Description: Lemma for rmydioph 43003. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2 elfzelz 13561 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ∈ ℤ
4 elfzle1 13564 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
51, 4ax-mp 5 . 2 1 ≤ 𝐴
63zrei 12617 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ
87nnrei 12273 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
9 elfzle2 13565 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴𝐵)
101, 9ax-mp 5 . . . 4 𝐴𝐵
11 letrp1 12109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
126, 8, 10, 11mp3an 1460 . . 3 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13 jm2.27dlem2.2 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
1412, 13breqtrri 5175 . 2 𝐴𝐶
15 1z 12645 . . 3 1 ∈ ℤ
16 nnz 12632 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17 peano2z 12656 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
187, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (𝐵 + 1) ∈ ℤ
1913, 18eqeltri 2835 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
20 elfz1 13549 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶)))
2115, 19, 20mp2an 692 . 2 (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶))
223, 5, 14, 21mpbir3an 1340 1 𝐴 ∈ (1...𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cn 12264  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  rmydioph  43003  expdiophlem2  43011
  Copyright terms: Public domain W3C validator