Theorem jm2.27dlem2 43737

Description: Lemma for rmydioph 43741. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...;10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27dlem2.1	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
jm2.27dlem2	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27dlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2		elfzelz 13547	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
4		elfzle1 13550	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1 ≤ 𝐴
6	3	zrei 12592	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
7		jm2.27dlem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
8	7	nnrei 12237	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
9		elfzle2 13551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
11		letrp1 12054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
12	6, 8, 10, 11	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13		jm2.27dlem2.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
14	12, 13	breqtrri 5138	. 2 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
15		1z 12619	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
16		nnz 12607	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17		peano2z 12630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
18	7, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 1) ∈ ℤ
19	13, 18	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
20		elfz1 13535	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)))
21	15, 19, 20	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
22	3, 5, 14, 21	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  ℤcz 12586  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  rmydioph  43741  expdiophlem2  43749