Theorem jm2.27dlem2 43043

Description: Lemma for rmydioph 43047. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...;10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27dlem2.1	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
jm2.27dlem2	⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27dlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2		elfzelz 13419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
4		elfzle1 13422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1 ≤ 𝐴
6	3	zrei 12469	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
7		jm2.27dlem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
8	7	nnrei 12129	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
9		elfzle2 13423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
11		letrp1 11960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
12	6, 8, 10, 11	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13		jm2.27dlem2.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
14	12, 13	breqtrri 5113	. 2 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
15		1z 12497	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
16		nnz 12484	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17		peano2z 12508	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
18	7, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 1) ∈ ℤ
19	13, 18	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
20		elfz1 13407	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)))
21	15, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
22	3, 5, 14, 21	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  1c1 11002   + caddc 11004   ≤ cle 11142  ℕcn 12120  ℤcz 12463  ...cfz 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403

This theorem is referenced by:  rmydioph  43047  expdiophlem2  43055