MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fznn0 13617
Description: Characterization of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fznn0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))

Proof of Theorem fznn0
StepHypRef Expression
1 0z 12591 . . 3 0 ∈ ℤ
2 nn0z 12605 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 13513 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
41, 2, 3sylancr 586 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
5 df-3an 1087 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁))
6 elnn0z 12593 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
76anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁))
85, 7bitr4i 278 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
94, 8bitrdi 287 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11130  cle 11271  0cn0 12494  cz 12580  ...cfz 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-fz 13509
This theorem is referenced by:  nn0fz0  13623  swrdfv2  14635  efgredlem  19693  coe1mul2lem1  22173  coe1tmmul2  22182  coe1tmmul  22183  coe1mul3  26022  plypf1  26133  dvdsppwf1o  27105  dchrisumlem1  27409  signstfveq0  34145  hbt  42476
  Copyright terms: Public domain W3C validator