Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem11 41210
Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem11.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem11.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem11.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem11 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))

Proof of Theorem lcmineqlem11
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem11.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
42, 3addcld 11237 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„‚)
5 lcmineqlem11.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
61nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
7 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
96, 8nn0addcld 12540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•0)
10 lcmineqlem11.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
111nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
125nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
13 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘))
1411, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘))
1510, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)
165, 9, 15bccl2d 41163 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„•)
1716nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„‚)
184, 17mulcld 11238 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) โˆˆ โ„‚)
1918div1d 11986 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))))
2011peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
211peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
2221nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘€ + 1))
2320, 22, 153jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘))
24 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„ค
25 elfz1 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)))
2624, 25mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)))
2823, 27mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘))
29 bcm1k 14279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = ((๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = ((๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1))))
312, 3pncand 11576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
3231oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘C๐‘€))
3331oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
3433oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1)))
3532, 34oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1))) = ((๐‘C๐‘€) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1))))
3630, 35eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = ((๐‘C๐‘€) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1))))
371nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
385nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3937, 38, 10ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
405, 6, 39bccl2d 41163 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C๐‘€) โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C๐‘€) โˆˆ โ„‚)
425nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4342, 2subcld 11575 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4421nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰  0)
4541, 43, 4, 44divassd 12029 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)) = ((๐‘C๐‘€) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1))))
4636, 45eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = (((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)))
4746eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)) = (๐‘C(๐‘€ + 1)))
4841, 43mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
4948, 17, 4, 44divmul2d 12027 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)) = (๐‘C(๐‘€ + 1)) โ†” ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))))
5150eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) = ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
5241, 43mulcomd 11239 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5351, 52eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5419, 53eqtrd 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5543, 41mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
561nnne0d 12266 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5755, 2, 56divcan3d 11999 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5854, 57eqtr4d 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = ((๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€))
592, 43, 41mul12d 11427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
6059oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€))
6158, 60eqtrd 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€))
62 0ne1 12287 . . . . . . 7 0 โ‰  1
6362a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  1)
6463necomd 2994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
6516nnne0d 12266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) โ‰  0)
664, 17, 44, 65mulne0d 11870 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) โ‰  0)
672, 41mulcld 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
6843, 67mulcld 11238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
6937, 10gtned 11353 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘€)
7042, 2, 69subne0d 11584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
7140nnne0d 12266 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C๐‘€) โ‰  0)
722, 41, 56, 71mulne0d 11870 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)) โ‰  0)
7343, 67, 70, 72mulne0d 11870 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) โ‰  0)
743, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73recbothd 41164 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = (๐‘€ / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))) โ†” (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€)))
7561, 74mpbird 256 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = (๐‘€ / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
762mulridd 11235 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
7776oveq1d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))) = (๐‘€ / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
7875, 77eqtr4d 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = ((๐‘€ ยท 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
792, 43, 3, 67, 70, 72divmuldivd 12035 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))) = ((๐‘€ ยท 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
8078, 79eqtr4d 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  Ccbc 14266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-fac 14238  df-bc 14267
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  41212
  Copyright terms: Public domain W3C validator