lcmineqlem11 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem11 42406

Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

**Proof of Theorem lcmineqlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem11.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		1cnd 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	addcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
5		lcmineqlem11.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
7		1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
9	6, 8	nn0addcld 12478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ₀)
10		lcmineqlem11.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
11	1	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	5	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
15	10, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
16	5, 9, 15	bccl2d 42358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
18	4, 17	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
19	18	div1d 11921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
20	11	peano2zd 12611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
21	1	peano2nnd 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
23	20, 22, 15	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
24		1z 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		elfz1 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
26	24, 25	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
29		bcm1k 14250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
31	2, 3	pncand 11505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
32	31	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁C𝑀))
33	31	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁 − 𝑀))
34	33	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1)))
35	32, 34	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
36	30, 35	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
37	1	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	5	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38, 10	ltled 11293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
40	5, 6, 39	bccl2d 42358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
42	5	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42, 2	subcld 11504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
44	21	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 0)
45	41, 43, 4, 44	divassd 11964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
46	36, 45	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)))
47	46	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)))
48	41, 43	mulcld 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
49	48, 17, 4, 44	divmul2d 11962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
51	50	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)))
52	41, 43	mulcomd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
53	51, 52	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
54	19, 53	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
55	43, 41	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
56	1	nnne0d 12207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
57	55, 2, 56	divcan3d 11934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
58	54, 57	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
59	2, 43, 41	mul12d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
60	59	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
61	58, 60	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
62		0ne1 12228	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
64	63	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
65	16	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ≠ 0)
66	4, 17, 44, 65	mulne0d 11801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ≠ 0)
67	2, 41	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
68	43, 67	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℂ)
69	37, 10	gtned 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑀)
70	42, 2, 69	subne0d 11513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
71	40	nnne0d 12207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
72	2, 41, 56, 71	mulne0d 11801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
73	43, 67, 70, 72	mulne0d 11801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ≠ 0)
74	3, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73	recbothd 42359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ↔ (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀)))
75	61, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
76	2	mulridd 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
77	76	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
78	75, 77	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
79	2, 43, 3, 67, 70, 72	divmuldivd 11970	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
80	78, 79	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5100 (class class class)co 7368 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 / cdiv 11806 ℕcn 12157 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 ...cfz 13435 Ccbc 14237

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fz 13436 df-seq 13937 df-fac 14209 df-bc 14238

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42408

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