Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem11 39276
Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem11.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.3 (𝜑𝑀 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem11 (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

Proof of Theorem lcmineqlem11
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem11.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nncnd 11653 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3 1cnd 10635 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42, 3addcld 10659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
5 lcmineqlem11.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61nnnn0d 11955 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
7 1nn0 11913 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 11959 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
10 lcmineqlem11.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 < 𝑁)
111nnzd 12086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
125nnzd 12086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 zltp1le 12032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
1411, 12, 13syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
1510, 14mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
165, 9, 15bccl2d 39228 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
1716nncnd 11653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
184, 17mulcld 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
1918div1d 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
2011peano2zd 12090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
211peano2nnd 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2221nnge1d 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
2320, 22, 153jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
24 1z 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
25 elfz1 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
2624, 25mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
2823, 27mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
29 bcm1k 13683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
312, 3pncand 10997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
3231oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁C𝑀))
3331oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁𝑀))
3433oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁𝑀) / (𝑀 + 1)))
3532, 34oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁𝑀) / (𝑀 + 1))))
3630, 35eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁𝑀) / (𝑀 + 1))))
371nnred 11652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
385nnred 11652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3937, 38, 10ltled 10787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀𝑁)
405, 6, 39bccl2d 39228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
4140nncnd 11653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
425nncnd 11653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342, 2subcld 10996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4421nnne0d 11687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 0)
4541, 43, 4, 44divassd 11450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁𝑀) / (𝑀 + 1))))
4636, 45eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = (((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) / (𝑀 + 1)))
4746eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)))
4841, 43mulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
4948, 17, 4, 44divmul2d 11448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))))
5047, 49mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
5150eqcomd 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)))
5241, 43mulcomd 10661 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁𝑀)) = ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀)))
5351, 52eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀)))
5419, 53eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀)))
5543, 41mulcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
561nnne0d 11687 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5755, 2, 56divcan3d 11420 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀)))
5854, 57eqtr4d 2862 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 · ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
592, 43, 41mul12d 10848 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀))) = ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
6059oveq1d 7165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = (((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
6158, 60eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
62 0ne1 11708 . . . . . . 7 0 ≠ 1
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≠ 1)
6463necomd 3069 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≠ 0)
6516nnne0d 11687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ≠ 0)
664, 17, 44, 65mulne0d 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ≠ 0)
672, 41mulcld 10660 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
6843, 67mulcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℂ)
6937, 10gtned 10774 . . . . . . 7 (𝜑𝑁𝑀)
7042, 2, 69subne0d 11005 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ≠ 0)
7140nnne0d 11687 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
722, 41, 56, 71mulne0d 11291 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
7343, 67, 70, 72mulne0d 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ≠ 0)
743, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73recbothd 39229 . . . 4 (𝜑 → ((1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ↔ (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀)))
7561, 74mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
762mulid1d 10657 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
7776oveq1d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 · 1) / ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = (𝑀 / ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
7875, 77eqtr4d 2862 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
792, 43, 3, 67, 70, 72divmuldivd 11456 . 2 (𝜑 → ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
8078, 79eqtr4d 2862 1 (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  (class class class)co 7150  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869   / cdiv 11296  cn 11637  0cn0 11897  cz 11981  ...cfz 12897  Ccbc 13670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-seq 13377  df-fac 13642  df-bc 13671
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  39278
  Copyright terms: Public domain W3C validator