Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem11 40904
Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem11.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem11.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem11.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem11 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))

Proof of Theorem lcmineqlem11
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem11.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
42, 3addcld 11233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„‚)
5 lcmineqlem11.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
61nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
7 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
96, 8nn0addcld 12536 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•0)
10 lcmineqlem11.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
111nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
125nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
13 zltp1le 12612 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘))
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘))
1510, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)
165, 9, 15bccl2d 40857 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„•)
1716nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„‚)
184, 17mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) โˆˆ โ„‚)
1918div1d 11982 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))))
2011peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
211peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
2221nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘€ + 1))
2320, 22, 153jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘))
24 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„ค
25 elfz1 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)))
2624, 25mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (๐‘€ + 1) โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘)))
2823, 27mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘))
29 bcm1k 14275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = ((๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = ((๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1))))
312, 3pncand 11572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
3231oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘C๐‘€))
3331oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
3433oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1)))
3532, 34oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) / (๐‘€ + 1))) = ((๐‘C๐‘€) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1))))
3630, 35eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = ((๐‘C๐‘€) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1))))
371nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
385nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3937, 38, 10ltled 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
405, 6, 39bccl2d 40857 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C๐‘€) โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C๐‘€) โˆˆ โ„‚)
425nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4342, 2subcld 11571 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4421nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰  0)
4541, 43, 4, 44divassd 12025 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)) = ((๐‘C๐‘€) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) / (๐‘€ + 1))))
4636, 45eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) = (((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)))
4746eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)) = (๐‘C(๐‘€ + 1)))
4841, 43mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
4948, 17, 4, 44divmul2d 12023 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) / (๐‘€ + 1)) = (๐‘C(๐‘€ + 1)) โ†” ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))))
5150eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) = ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
5241, 43mulcomd 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘C๐‘€) ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5351, 52eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5419, 53eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5543, 41mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
561nnne0d 12262 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5755, 2, 56divcan3d 11995 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€)))
5854, 57eqtr4d 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = ((๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€))
592, 43, 41mul12d 11423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
6059oveq1d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€))
6158, 60eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€))
62 0ne1 12283 . . . . . . 7 0 โ‰  1
6362a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  1)
6463necomd 2997 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
6516nnne0d 12262 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C(๐‘€ + 1)) โ‰  0)
664, 17, 44, 65mulne0d 11866 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) โ‰  0)
672, 41mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
6843, 67mulcld 11234 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
6937, 10gtned 11349 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘€)
7042, 2, 69subne0d 11580 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
7140nnne0d 12262 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C๐‘€) โ‰  0)
722, 41, 56, 71mulne0d 11866 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)) โ‰  0)
7343, 67, 70, 72mulne0d 11866 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) โ‰  0)
743, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73recbothd 40858 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = (๐‘€ / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))) โ†” (((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1))) / 1) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))) / ๐‘€)))
7561, 74mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = (๐‘€ / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
762mulridd 11231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
7776oveq1d 7424 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))) = (๐‘€ / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
7875, 77eqtr4d 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = ((๐‘€ ยท 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
792, 43, 3, 67, 70, 72divmuldivd 12031 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))) = ((๐‘€ ยท 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
8078, 79eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐‘€ + 1) ยท (๐‘C(๐‘€ + 1)))) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  Ccbc 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  40906
  Copyright terms: Public domain W3C validator