lcmineqlem11 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem11 42012

Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

**Proof of Theorem lcmineqlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem11.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		1cnd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	addcld 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
5		lcmineqlem11.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
7		1nn0 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
9	6, 8	nn0addcld 12467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ₀)
10		lcmineqlem11.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
11	1	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	5	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
15	10, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
16	5, 9, 15	bccl2d 41964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
18	4, 17	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
19	18	div1d 11910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
20	11	peano2zd 12601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
21	1	peano2nnd 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
23	20, 22, 15	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
24		1z 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		elfz1 13433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
26	24, 25	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
29		bcm1k 14240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
31	2, 3	pncand 11494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
32	31	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁C𝑀))
33	31	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁 − 𝑀))
34	33	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1)))
35	32, 34	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
36	30, 35	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
37	1	nnred 12161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	5	nnred 12161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38, 10	ltled 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
40	5, 6, 39	bccl2d 41964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
42	5	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42, 2	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
44	21	nnne0d 12196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 0)
45	41, 43, 4, 44	divassd 11953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
46	36, 45	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)))
47	46	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)))
48	41, 43	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
49	48, 17, 4, 44	divmul2d 11951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
51	50	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)))
52	41, 43	mulcomd 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
53	51, 52	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
54	19, 53	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
55	43, 41	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
56	1	nnne0d 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
57	55, 2, 56	divcan3d 11923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
58	54, 57	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
59	2, 43, 41	mul12d 11343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
60	59	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
61	58, 60	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
62		0ne1 12217	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
64	63	necomd 2980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
65	16	nnne0d 12196	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ≠ 0)
66	4, 17, 44, 65	mulne0d 11790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ≠ 0)
67	2, 41	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
68	43, 67	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℂ)
69	37, 10	gtned 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑀)
70	42, 2, 69	subne0d 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
71	40	nnne0d 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
72	2, 41, 56, 71	mulne0d 11790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
73	43, 67, 70, 72	mulne0d 11790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ≠ 0)
74	3, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73	recbothd 41965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ↔ (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀)))
75	61, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
76	2	mulridd 11151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
77	76	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
78	75, 77	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
79	2, 43, 3, 67, 70, 72	divmuldivd 11959	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
80	78, 79	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 class class class wbr 5095 (class class class)co 7353 0cc0 11028 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 < clt 11168 ≤ cle 11169 − cmin 11365 / cdiv 11795 ℕcn 12146 ℕ₀cn0 12402 ℤcz 12489 ...cfz 13428 Ccbc 14227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4862 df-iun 4946 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-er 8632 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-n0 12403 df-z 12490 df-uz 12754 df-rp 12912 df-fz 13429 df-seq 13927 df-fac 14199 df-bc 14228

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42014

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