lcmineqlem11 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem11 42040

Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

**Proof of Theorem lcmineqlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem11.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		1cnd 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	addcld 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
5		lcmineqlem11.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
7		1nn0 12542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
9	6, 8	nn0addcld 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ₀)
10		lcmineqlem11.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
11	1	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	5	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
15	10, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
16	5, 9, 15	bccl2d 41992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
18	4, 17	mulcld 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
19	18	div1d 12035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
20	11	peano2zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
21	1	peano2nnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
23	20, 22, 15	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
24		1z 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		elfz1 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
26	24, 25	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
29		bcm1k 14354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
31	2, 3	pncand 11621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
32	31	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁C𝑀))
33	31	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁 − 𝑀))
34	33	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1)))
35	32, 34	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
36	30, 35	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
37	1	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	5	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38, 10	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
40	5, 6, 39	bccl2d 41992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
42	5	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42, 2	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
44	21	nnne0d 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 0)
45	41, 43, 4, 44	divassd 12078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
46	36, 45	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)))
47	46	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)))
48	41, 43	mulcld 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
49	48, 17, 4, 44	divmul2d 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
51	50	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)))
52	41, 43	mulcomd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
53	51, 52	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
54	19, 53	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
55	43, 41	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
56	1	nnne0d 12316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
57	55, 2, 56	divcan3d 12048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
58	54, 57	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
59	2, 43, 41	mul12d 11470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
60	59	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
61	58, 60	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
62		0ne1 12337	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
64	63	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
65	16	nnne0d 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ≠ 0)
66	4, 17, 44, 65	mulne0d 11915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ≠ 0)
67	2, 41	mulcld 11281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
68	43, 67	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℂ)
69	37, 10	gtned 11396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑀)
70	42, 2, 69	subne0d 11629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
71	40	nnne0d 12316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
72	2, 41, 56, 71	mulne0d 11915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
73	43, 67, 70, 72	mulne0d 11915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ≠ 0)
74	3, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73	recbothd 41993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ↔ (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀)))
75	61, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
76	2	mulridd 11278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
77	76	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
78	75, 77	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
79	2, 43, 3, 67, 70, 72	divmuldivd 12084	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
80	78, 79	eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 class class class wbr 5143 (class class class)co 7431 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ...cfz 13547 Ccbc 14341

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fz 13548 df-seq 14043 df-fac 14313 df-bc 14342

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42042

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