lcmineqlem11 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem11 42034

Description: Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem11.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

**Proof of Theorem lcmineqlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem11.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		1cnd 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	addcld 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
5		lcmineqlem11.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
7		1nn0 12465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
9	6, 8	nn0addcld 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ₀)
10		lcmineqlem11.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
11	1	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	5	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
15	10, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
16	5, 9, 15	bccl2d 41986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
18	4, 17	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
19	18	div1d 11957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
20	11	peano2zd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
21	1	peano2nnd 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnge1d 12241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
23	20, 22, 15	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
24		1z 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		elfz1 13480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
26	24, 25	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
29		bcm1k 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))))
31	2, 3	pncand 11541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
32	31	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁C𝑀))
33	31	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑁 − 𝑀))
34	33	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1)))
35	32, 34	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C((𝑀 + 1) − 1)) · ((𝑁 − ((𝑀 + 1) − 1)) / (𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
36	30, 35	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
37	1	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	5	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38, 10	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
40	5, 6, 39	bccl2d 41986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
42	5	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42, 2	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
44	21	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 0)
45	41, 43, 4, 44	divassd 12000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = ((𝑁C𝑀) · ((𝑁 − 𝑀) / (𝑀 + 1))))
46	36, 45	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) = (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)))
47	46	eqcomd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)))
48	41, 43	mulcld 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
49	48, 17, 4, 44	divmul2d 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) / (𝑀 + 1)) = (𝑁C(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))))
51	50	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)))
52	41, 43	mulcomd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑀) · (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
53	51, 52	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
54	19, 53	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
55	43, 41	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
56	1	nnne0d 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
57	55, 2, 56	divcan3d 11970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀)))
58	54, 57	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
59	2, 43, 41	mul12d 11390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) = ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
60	59	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ((𝑁 − 𝑀) · (𝑁C𝑀))) / 𝑀) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
61	58, 60	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀))
62		0ne1 12264	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
64	63	necomd 2981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
65	16	nnne0d 12243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C(𝑀 + 1)) ≠ 0)
66	4, 17, 44, 65	mulne0d 11837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) ≠ 0)
67	2, 41	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
68	43, 67	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℂ)
69	37, 10	gtned 11316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑀)
70	42, 2, 69	subne0d 11549	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
71	40	nnne0d 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
72	2, 41, 56, 71	mulne0d 11837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
73	43, 67, 70, 72	mulne0d 11837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ≠ 0)
74	3, 64, 18, 66, 2, 56, 68, 73	recbothd 41987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ↔ (((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1))) / 1) = (((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀))) / 𝑀)))
75	61, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
76	2	mulridd 11198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
77	76	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = (𝑀 / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
78	75, 77	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
79	2, 43, 3, 67, 70, 72	divmuldivd 12006	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) = ((𝑀 · 1) / ((𝑁 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
80	78, 79	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝑀 + 1) · (𝑁C(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 class class class wbr 5110 (class class class)co 7390 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 / cdiv 11842 ℕcn 12193 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ...cfz 13475 Ccbc 14274

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-n0 12450 df-z 12537 df-uz 12801 df-rp 12959 df-fz 13476 df-seq 13974 df-fac 14246 df-bc 14275

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42036

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