Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzuntd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzuntd 41802
Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fzuntd.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fzuntd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzuntd.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fzuntd.km (𝜑𝐾𝑀)
fzuntd.mn (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
fzuntd (𝜑 → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzuntd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
21zred 12614 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
3 fzuntd.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43zred 12614 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 fzuntd.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76zred 12614 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗𝑀)
10 fzuntd.mn . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑁)
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑀𝑁)
122, 5, 8, 9, 11letrd 11319 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗𝑁)
1312expr 458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝑀𝑗𝑁))
1413anim2d 613 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
15 fzuntd.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1615zred 12614 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
184adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
19 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑗 ∈ ℤ)
2019zred 12614 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
21 fzuntd.km . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝑀)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾𝑀)
23 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑀𝑗)
2417, 18, 20, 22, 23letrd 11319 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾𝑗)
2524expr 458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀𝑗𝐾𝑗))
2625anim1d 612 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2714, 26jaod 858 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
28 orc 866 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑀𝑗))
29 orc 866 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑗𝑁))
3028, 29jca 513 . . . . . . . 8 (𝐾𝑗 → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
3130ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℤ)
3332zred 12614 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
344adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3533, 34letrid 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
37 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
3837olcd 873 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝑀𝑗𝑁))
3936, 38jca 513 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝑀𝑗𝑁)))
40 orddi 1009 . . . . . . 7 (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) ∧ ((𝑗𝑀𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝑀𝑗𝑁))))
4131, 39, 40sylanbrc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
4241ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑁) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
4327, 42impbid 211 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
4443pm5.32da 580 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
45 elfz1 13436 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀)))
4615, 3, 45syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀)))
47 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)))
4846, 47bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀))))
49 elfz1 13436 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
503, 6, 49syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
51 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
5250, 51bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
5348, 52orbi12d 918 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
54 elun 4113 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
55 andi 1007 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
5653, 54, 553bitr4g 314 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
57 elfz1 13436 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
5815, 6, 57syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
59 3anass 1096 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6058, 59bitrdi 287 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
6144, 56, 603bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
6261eqrdv 2735 1 (𝜑 → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  cle 11197  cz 12506  ...cfz 13431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-neg 11395  df-z 12507  df-fz 13432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator