MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzaddel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzaddel 13538
Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzaddel (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))

Proof of Theorem fzaddel
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
2 zaddcl 12603 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
31, 22thd 265 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℤ ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ))
43adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ ℤ ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ))
5 zre 12563 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6 zre 12563 . . . . . 6 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
7 zre 12563 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
8 leadd1 11683 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
95, 6, 7, 8syl3an 1157 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1093expb 1117 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1110adantlr 712 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐽 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12 zre 12563 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13 leadd1 11683 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
146, 12, 7, 13syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
15143com12 1120 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
16153expb 1117 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
1716adantll 711 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
184, 11, 173anbi123d 1432 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
19 elfz1 13492 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁)))
2019adantr 480 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁)))
21 zaddcl 12603 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
22 zaddcl 12603 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
23 elfz1 13492 . . . . 5 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
2421, 22, 23syl2an 595 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
2524anandirs 676 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
2625adantrl 713 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
2718, 20, 263bitr4d 311 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108   + caddc 11112  cle 11250  cz 12559  ...cfz 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-fz 13488
This theorem is referenced by:  fzsubel  13540  sermono  14002  bcp1nk  14279  mptfzshft  15727  binomlem  15778  fprodser  15896  vdwapun  16913  gsummptshft  19853  ballotlemfc0  34020  ballotlemfcc  34021  poimirlem16  37016  poimirlem17  37017  poimirlem19  37019  poimirlem20  37020  fdc  37125  stoweidlem26  45296
  Copyright terms: Public domain W3C validator