Theorem fzunt1d 44648

Description: Union of two overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzunt1d.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fzunt1d.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
fzunt1d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzunt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzunt1d.km	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
fzunt1d.ml	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
fzunt1d.ln	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzunt1d	⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt1d

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12721	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3		fzunt1d.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5	4	zred 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		fzunt1d.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝐿)
10		fzunt1d.ln	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
12	2, 5, 8, 9, 11	letrd 11491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		fzunt1d.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
17	16	zred 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18		fzunt1d.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	zred 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22		fzunt1d.km	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑀)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
25	17, 20, 21, 23, 24	letrd 11491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
26	25	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
27	26	anim1d 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	14, 27	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		orc 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30		orc 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
31	29, 30	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
32	31	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
34	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℤ)
35	34	zred 12827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
36	9	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
37	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zred 12827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ∈ ℤ)
40	39	zred 12827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ∈ ℝ)
41		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
42		fzunt1d.ml	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝐿)
44		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ≤ 𝑗)
45	38, 40, 41, 43, 44	letrd 11491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
46	45	olcd 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
47	33, 35, 36, 46	lecasei 11440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
49		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
50	49	olcd 888	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
51	48, 50	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		orddi 1027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
53	32, 51, 52	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
54	53	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
55	28, 54	impbid 215	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
56	1, 55	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
57	56	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
58		elfz1 13668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
59	15, 3, 58	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
60		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
61	59, 60	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿))))
62		elfz1 13668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
63	18, 6, 62	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
64		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
65	63, 64	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
66	61, 65	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
67		elun 4155	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
68		andi 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
69	66, 67, 68	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
70		elfz1 13668	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
71	15, 6, 70	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
72		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
73	71, 72	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
74	57, 69, 73	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
75	74	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-fz 13664

This theorem is used by: (None)