Theorem fzunt1d 42193

Description: Union of two overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzunt1d.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fzunt1d.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
fzunt1d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzunt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzunt1d.km	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
fzunt1d.ml	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
fzunt1d.ln	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzunt1d	⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt1d

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12558	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3		fzunt1d.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5	4	zred 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		fzunt1d.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝐿)
10		fzunt1d.ln	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
12	2, 5, 8, 9, 11	letrd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		fzunt1d.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
17	16	zred 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18		fzunt1d.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	zred 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22		fzunt1d.km	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑀)
24		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
25	17, 20, 21, 23, 24	letrd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
26	25	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
27	26	anim1d 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	14, 27	jaod 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		orc 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30		orc 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
31	29, 30	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
32	31	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
33		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
34	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℤ)
35	34	zred 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
36	9	orcd 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
37	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zred 12662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ∈ ℤ)
40	39	zred 12662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ∈ ℝ)
41		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
42		fzunt1d.ml	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
43	42	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝐿)
44		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ≤ 𝑗)
45	38, 40, 41, 43, 44	letrd 11367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
46	45	olcd 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
47	33, 35, 36, 46	lecasei 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
49		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
50	49	olcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
51	48, 50	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		orddi 1008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
53	32, 51, 52	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
54	53	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
55	28, 54	impbid 211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
56	1, 55	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
57	56	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
58		elfz1 13485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
59	15, 3, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
60		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
61	59, 60	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿))))
62		elfz1 13485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
63	18, 6, 62	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
64		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
65	63, 64	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
66	61, 65	orbi12d 917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
67		elun 4147	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
68		andi 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
69	66, 67, 68	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
70		elfz1 13485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
71	15, 6, 70	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
72		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
73	71, 72	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
74	57, 69, 73	3bitr4d 310	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
75	74	eqrdv 2730	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-neg 11443  df-z 12555  df-fz 13481

This theorem is referenced by: (None)