Theorem fzunt1d 43481

Description: Union of two overlapping finite sets of sequential integers. (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzunt1d.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fzunt1d.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
fzunt1d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzunt1d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzunt1d.km	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
fzunt1d.ml	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
fzunt1d.ln	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzunt1d	⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt1d

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12592	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
2		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ∈ ℝ)
3		fzunt1d.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5	4	zred 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		fzunt1d.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝐿)
10		fzunt1d.ln	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑁)
12	2, 5, 8, 9, 11	letrd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		fzunt1d.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
17	16	zred 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
18		fzunt1d.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	zred 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
22		fzunt1d.km	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑀)
24		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
25	17, 20, 21, 23, 24	letrd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → 𝐾 ≤ 𝑗)
26	25	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
27	26	anim1d 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	14, 27	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		orc 867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30		orc 867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
31	29, 30	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
34	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℤ)
35	34	zred 12697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
36	9	orcd 873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
37	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zred 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ∈ ℤ)
40	39	zred 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ∈ ℝ)
41		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
42		fzunt1d.ml	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝐿)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝐿 ≤ 𝑗)
45	38, 40, 41, 43, 44	letrd 11392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → 𝑀 ≤ 𝑗)
46	45	olcd 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑗) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
47	33, 35, 36, 46	lecasei 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
49		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
50	49	olcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
51	48, 50	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		orddi 1011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝐿 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
53	32, 51, 52	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
54	53	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
55	28, 54	impbid 212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
56	1, 55	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
57	56	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
58		elfz1 13529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
59	15, 3, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
60		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)))
61	59, 60	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿))))
62		elfz1 13529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
63	18, 6, 62	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
64		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
65	63, 64	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
66	61, 65	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
67		elun 4128	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝐿) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
68		andi 1009	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
69	66, 67, 68	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝐿) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
70		elfz1 13529	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
71	15, 6, 70	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
72		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
73	71, 72	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
74	57, 69, 73	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
75	74	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾...𝐿) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-neg 11469  df-z 12589  df-fz 13525

This theorem is referenced by: (None)