Theorem fzen 13596

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7449	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
2		ovexd 7449	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
3		elfz1 13567	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
4	3	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
5	4	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
6		zaddcl 12659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
8	7	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
9	8	adantrd 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
10		zre 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11		zre 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12		zre 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13		leadd1 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
14	10, 11, 12, 13	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
15	14	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
16	15	adantrd 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
17	16	3com23 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
18	17	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
19	18	impd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
20	19	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
21		zre 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22		leadd1 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
23	11, 21, 12, 22	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
24	23	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
25	24	adantld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
26	25	3coml 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
27	26	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
28	27	impd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
29	28	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
30	9, 20, 29	3jcad 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
31		zaddcl 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
33		zaddcl 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
34	33	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
35		elfz1 13567	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
36	32, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
37	36	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
38	30, 37	syldc 49	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
39	38	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
40	39	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
41	5, 40	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
42		elfz1 13567	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
43	32, 34, 42	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
44	43	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
45		zsubcl 12661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ)
46	45	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
47	46	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
48	47	adantrd 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
49		zre 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
50		leaddsub 11715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
51	10, 12, 49, 50	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
52	51	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
53	52	adantrd 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
54	53	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾))))
55	54	impd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
56	55	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
57		lesubadd 11711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
58	49, 12, 21, 57	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
59	58	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
60	59	adantld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
61	60	3coml 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
62	61	3expia 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
63	62	impd 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
64	63	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
65	64	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
66	48, 56, 65	3jcad 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
67		elfz1 13567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
68	67	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
69	68	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
70	66, 69	syldc 49	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
71	70	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
72	71	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
73	44, 72	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
74	5	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
75	74	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
76	75	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
77	44	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
78	77	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
79	78	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
80		zcn 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
81		zcn 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
82		zcn 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
83		subadd 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
84		eqcom 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (𝑚 − 𝐾))
85		eqcom 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚 ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
86	83, 84, 85	3bitr3g 316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
87		addcom 11421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
88	87	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
89	88	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
90	86, 89	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
91	80, 81, 82, 90	syl3an 1178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
92	91	3coml 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
93	92	3expib 1140	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
94	93	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
95	76, 79, 94	syl2and 620	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
96	1, 2, 41, 73, 95	en3d 8996	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   ≈ cen 8950  ℂcc 11123  ℝcr 11124   + caddc 11128   ≤ cle 11269   − cmin 11466  ℤcz 12616  ...cfz 13562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-fz 13563

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