Theorem fzen 13524

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7448	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
2		ovexd 7448	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
3		elfz1 13495	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
4	3	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
5	4	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
6		zaddcl 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	expcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
8	7	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
9	8	adantrd 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
10		zre 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11		zre 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12		zre 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13		leadd1 11688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
14	10, 11, 12, 13	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
15	14	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
16	15	adantrd 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
17	16	3com23 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
18	17	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
19	18	impd 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
20	19	3adant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
21		zre 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22		leadd1 11688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
23	11, 21, 12, 22	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
24	23	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
25	24	adantld 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
26	25	3coml 1125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
27	26	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
28	27	impd 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
29	28	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
30	9, 20, 29	3jcad 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
31		zaddcl 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant2 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
33		zaddcl 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
34	33	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
35		elfz1 13495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
36	32, 34, 35	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
37	36	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
38	30, 37	syldc 48	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
39	38	3impb 1113	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
40	39	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
41	5, 40	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
42		elfz1 13495	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
43	32, 34, 42	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
44	43	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
45		zsubcl 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ)
46	45	expcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
47	46	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
48	47	adantrd 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ))
49		zre 12568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
50		leaddsub 11696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
51	10, 12, 49, 50	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
52	51	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
53	52	adantrd 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
54	53	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾))))
55	54	impd 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
56	55	3adant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾)))
57		lesubadd 11692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
58	49, 12, 21, 57	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
59	58	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
60	59	adantld 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
61	60	3coml 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
62	61	3expia 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
63	62	impd 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
64	63	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
65	64	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁))
66	48, 56, 65	3jcad 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
67		elfz1 13495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
68	67	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
69	68	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚 − 𝐾) ∧ (𝑚 − 𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
70	66, 69	syldc 48	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
71	70	3impb 1113	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
72	71	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
73	44, 72	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
74	5	imp 405	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
75	74	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
76	75	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
77	44	imp 405	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
78	77	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
79	78	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
80		zcn 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
81		zcn 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
82		zcn 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
83		subadd 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
84		eqcom 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 − 𝐾) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (𝑚 − 𝐾))
85		eqcom 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚 ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
86	83, 84, 85	3bitr3g 312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
87		addcom 11406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
88	87	3adant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
89	88	eqeq2d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
90	86, 89	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
91	80, 81, 82, 90	syl3an 1158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
92	91	3coml 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
93	92	3expib 1120	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
94	93	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
95	76, 79, 94	syl2and 606	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚 − 𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
96	1, 2, 41, 73, 95	en3d 8989	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413   ≈ cen 8940  ℂcc 11112  ℝcr 11113   + caddc 11117   ≤ cle 11255   − cmin 11450  ℤcz 12564  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  fz01en  13535  fzen2  13940  hashfz  14393  mertenslem1  15836  hashdvds  16714  birthdaylem2  26691  eldioph2lem1  41802