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Theorem fzen 12919
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7170 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ V)
2 ovexd 7170 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ V)
3 elfz1 12890 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
43biimpd 232 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
543adant3 1129 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
6 zaddcl 12010 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ)
76expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
873ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
98adantrd 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ))
10 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13 leadd1 11097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
1410, 11, 12, 13syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
1514biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
1615adantrd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
17163com23 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
18173expia 1118 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
1918impd 414 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
20193adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
21 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22 leadd1 11097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
2311, 21, 12, 22syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
2423biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
2524adantld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
26253coml 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
27263expia 1118 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
2827impd 414 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
29283adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
309, 20, 293jcad 1126 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
31 zaddcl 12010 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
32313adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
33 zaddcl 12010 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
34333adant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
35 elfz1 12890 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
3632, 34, 35syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
3736biimprd 251 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) ∧ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3830, 37syldc 48 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
39383impb 1112 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
4039com12 32 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
415, 40syld 47 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
42 elfz1 12890 . . . . 5 (((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4332, 34, 42syl2anc 587 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4443biimpd 232 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
45 zsubcl 12012 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ ℤ)
4645expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
47463ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
4847adantrd 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ ℤ))
49 zre 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
50 leaddsub 11105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
5110, 12, 49, 50syl3an 1157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
5251biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
5352adantrd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
54533expia 1118 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾))))
5554impd 414 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
56553adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
57 lesubadd 11101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
5849, 12, 21, 57syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
5958biimprd 251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
6059adantld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
61603coml 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
62613expia 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
6362impd 414 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
6463ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
65643adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
6648, 56, 653jcad 1126 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
67 elfz1 12890 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
6867biimprd 251 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
69683adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑚𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) ∧ (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
7066, 69syldc 48 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
71703impb 1112 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
7271com12 32 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
7344, 72syld 47 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
745imp 410 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁))
7574simp1d 1139 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7675ex 416 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ))
7744imp 410 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7877simp1d 1139 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ∈ ℤ)
7978ex 416 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ))
80 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
81 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
82 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
83 subadd 10878 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
84 eqcom 2805 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐾) = 𝑘𝑘 = (𝑚𝐾))
85 eqcom 2805 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
8683, 84, 853bitr3g 316 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
87 addcom 10815 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
88873adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
8988eqeq2d 2809 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
9086, 89bitrd 282 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
9180, 81, 82, 90syl3an 1157 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
92913coml 1124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
93923expib 1119 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
94933ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
9576, 79, 94syl2and 610 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
961, 2, 41, 73, 95en3d 8529 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  cen 8489  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529  cle 10665  cmin 10859  cz 11969  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  fz01en  12930  fzen2  13332  hashfz  13784  mertenslem1  15232  hashdvds  16102  birthdaylem2  25538  eldioph2lem1  39696
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