iblspltprt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem iblspltprt 41634

Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
iblspltprt.1	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
iblspltprt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iblspltprt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑀 + 1)))
iblspltprt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ)
iblspltprt.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
iblspltprt.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
iblspltprt.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)

**Assertion**
Ref	Expression
iblspltprt	⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖 𝑖,𝑀,𝑡 𝑖,𝑁,𝑡 𝑃,𝑖,𝑡 𝜑,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑡) 𝐴(𝑡)

Proof of Theorem iblspltprt Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblspltprt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑀 + 1)))
2		eluzelz 12061	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eluzle 12064	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
6	3	zred 11893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	leidd 10999	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
8		iblspltprt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	peano2zd 11896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10		elfz1 12706	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
11	9, 3, 10	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
12	3, 5, 7, 11	mpbir3and 1322	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
13		fveq2 6493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑀 + 1)))
14	13	oveq2d 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))))
15	14	mpteq1d 5010	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴))
16	15	eleq1d 2844	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
17	16	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
18		fveq2 6493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑘))
19	18	oveq2d 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)))
20	19	mpteq1d 5010	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴))
21	20	eleq1d 2844	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
22	21	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
23		fveq2 6493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
24	23	oveq2d 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
25	24	mpteq1d 5010	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴))
26	25	eleq1d 2844	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
27	26	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
28		fveq2 6493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑁))
29	28	oveq2d 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)))
30	29	mpteq1d 5010	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴))
31	30	eleq1d 2844	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
32	31	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
33		uzid 12066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
34	8, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
35	8	zred 11893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
36		1red 10432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 10461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
38	35	ltp1d 11363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
39	35, 37, 6, 38, 5	ltletrd 10592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
40		elfzo2 12850	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
41	34, 3, 39, 40	syl3anbrc 1323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
42		fveq2 6493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
43		fvoveq1 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑀 + 1)))
44	42, 43	oveq12d 6988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))))
45	44	mpteq1d 5010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴))
46	45	eleq1d 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
47	46	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
48		iblspltprt.7	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
49	48	expcom 406	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
50	47, 49	vtoclga 3487	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
51	41, 50	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
52	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
53		nfv 1873	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
54		iblspltprt.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
55		nfmpt1 5019	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴)
56	55	nfel1 2940	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹
57	54, 56	nfim 1859	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
58	53, 57, 54	nf3an 1864	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑)
59		simp3 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → 𝜑)
60		simp1 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
61	35	leidd 10999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
62	35, 6, 39	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
63		elfz1 12706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
64	8, 3, 63	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
65	8, 61, 62, 64	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
66	65	ancli 541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
67		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
68	67	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))))
69	42	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ))
70	68, 69	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ)))
71		iblspltprt.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ)
72	70, 71	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ))
73	65, 66, 72	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ)
74	73	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ)
75	74	rexrd 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^*)
76		simpl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝜑)
77		elfzoelz 12847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
78	77	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
79	35	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
80	78	zred 11893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
81	37	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
82	38	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
83		elfzole1 12855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
84	83	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
85	79, 81, 80, 82, 84	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < 𝑘)
86	79, 80, 85	ltled 10580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
87	6	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88		elfzolt2 12856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
89	88	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 < 𝑁)
90	80, 87, 89	ltled 10580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
91	8, 3	jca 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
92	91	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
93		elfz1 12706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
95	78, 86, 90, 94	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
96		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
97	96	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))))
98		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑘))
99	98	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ))
100	97, 99	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ)))
101	100, 71	chvarv 2325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ)
102	76, 95, 101	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ)
103	102	rexrd 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ^*)
104	78	peano2zd 11896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
105	104	zred 11893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
106		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
107	79, 80, 106, 85	ltadd1dd 11044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) < (𝑘 + 1))
108	79, 81, 105, 82, 107	lttrd 10593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑘 + 1))
109	79, 105, 108	ltled 10580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
110		zltp1le 11838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
111	77, 3, 110	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
112	89, 111	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
113		elfz1 12706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
114	92, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
115	104, 109, 112, 114	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
116	76, 115	jca 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
117		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
118	117	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
119		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
120	119	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
121	118, 120	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
122	121, 71	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
123	115, 116, 122	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
124	123	rexrd 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
125		eluz 12065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
126	8, 77, 125	syl2an 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
127	86, 126	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
128		simpll 754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝜑)
129		elfzelz 12717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
130	129	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
131		elfzle1 12719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑖)
132	131	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
133	130	zred 11893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℝ)
134	128, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
135	80	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
136		elfzle2 12720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ≤ 𝑘)
137	136	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ≤ 𝑘)
138	89	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 < 𝑁)
139	133, 135, 134, 137, 138	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 < 𝑁)
140	133, 134, 139	ltled 10580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ≤ 𝑁)
141		elfz1 12706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
142	128, 91, 141	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
143	130, 132, 140, 142	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
144	128, 143, 71	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ)
145		simpll 754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
146		elfzelz 12717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
147	146	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
148		elfzle1 12719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
149	148	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀 ≤ 𝑖)
150	147	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
151	145, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
152	80	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
153		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
154	152, 153	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
155		elfzle2 12720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1))
156	155	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1))
157	77	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
158		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
159	157, 158	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
160		elfzoel2 12846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
161	160	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
162	157	ltm1d 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
163	159, 157, 161, 162, 88	lttrd 10593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑁)
164	163	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) < 𝑁)
165	150, 154, 151, 156, 164	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
166	150, 151, 165	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑁)
167	145, 91, 141	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
168	147, 149, 166, 167	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
169	145, 168, 71	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ)
170	147	peano2zd 11896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
171		elfzel1 12716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
172	171	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
173	146	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
174		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
175	173, 174	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
176	173	ltp1d 11363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
177	172, 173, 175, 148, 176	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 < (𝑖 + 1))
178	172, 175, 177	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
179	178	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
180	145, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
181		zltp1le 11838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
182	147, 180, 181	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
183	165, 182	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
184		elfz1 12706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
185	145, 91, 184	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
186	170, 179, 183, 185	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
187	145, 186	jca 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
188		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
189	188	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
190		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
191	190	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))
192	189, 191	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)))
193	192, 101	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))
194	186, 187, 193	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
195		elfzuz 12713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
196	195	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
197		elfzo2 12850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
198	196, 180, 165, 197	syl3anbrc 1323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁))
199		iblspltprt.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
200	145, 198, 199	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
201	169, 194, 200	ltled 10580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
202	127, 144, 201	monoord 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑘))
203	160	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
204		elfzo2 12850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 < 𝑁))
205	127, 203, 89, 204	syl3anbrc 1323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
206		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
207	206	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))))
208		fvoveq1 6993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
209	98, 208	breq12d 4936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
210	207, 209	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
211	210, 199	chvarv 2325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
212	76, 205, 211	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
213	102, 123, 212	ltled 10580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
214		iccintsng 41176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*) ∧ ((𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑘) ∧ (𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃‘𝑘)})
215	75, 103, 124, 202, 213, 214	syl32anc 1358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃‘𝑘)})
216	215	fveq2d 6497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol‘(((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = (vol‘{(𝑃‘𝑘)}))
217		ovolsn 23789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ℝ → (vol*‘{(𝑃‘𝑘)}) = 0)
218	102, 217	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘{(𝑃‘𝑘)}) = 0)
219	216, 218	eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0)
220	59, 60, 219	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → (vol*‘(((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0)
221	74, 123, 102, 202, 213	eliccd 41156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
222	74, 123, 221	3jca 1108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
223	59, 60, 222	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
224		iccsplit 12680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∪ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
225	223, 224	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∪ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
226		simpl3 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
227		simpl1 1171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
228		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
229		simp1 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
230		eliccxr 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ^*)
231	230	3ad2ant3 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ^*)
232	73	rexrd 10482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^*)
233	232	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^*)
234	124	3adant3 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
235		simp3 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
236		iccgelb 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡)
237	233, 234, 235, 236	syl3anc 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡)
238	74, 123	jca 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
239	238	3adant3 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
240		iccssre 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
241	240	sseld 3853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ))
242	239, 235, 241	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
243	123	3adant3 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
244		elfz1 12706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
245	8, 3, 244	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
246	3, 62, 7, 245	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
247	246	ancli 541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
248		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
249	248	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))))
250		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑁))
251	250	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ))
252	249, 251	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ)))
253	252, 71	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ))
254	3, 247, 253	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ)
255	254	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ)
256		elicc1 12591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ^ ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
257	233, 234, 256	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
258	235, 257	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
259	258	simp3d 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
260		elfzop1le2 40931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
261	77	peano2zd 11896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
262		eluz 12065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
263	261, 160, 262	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
264	260, 263	mpbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 + 1)))
265	264	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑘 + 1)))
266		simpll 754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝜑)
267		elfzelz 12717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
268	267	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
269	266, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
270	268	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
271	80	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
272	85	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑘)
273	157	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
274		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
275	273, 274	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
276	267	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
277	276	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
278	273	ltp1d 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
279		elfzle1 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
280	279	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
281	273, 275, 277, 278, 280	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖)
282	281	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖)
283	269, 271, 270, 272, 282	lttrd 10593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑖)
284	269, 270, 283	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑖)
285		elfzle2 12720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁)
286	285	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁)
287	266, 91, 141	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
288	268, 284, 286, 287	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
289	266, 288, 71	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ)
290		simpll 754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
291		elfzelz 12717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
292	291	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
293	290, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
294	292	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
295	80	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
296	85	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
297	157	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
298		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
299	297, 298	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
300	291	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
301	300	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
302	297	ltp1d 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
303		elfzle1 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
304	303	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
305	297, 299, 301, 302, 304	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖)
306	305	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖)
307	293, 295, 294, 296, 306	lttrd 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑖)
308	293, 294, 307	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ≤ 𝑖)
309	300	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
310	6	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
311		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
312	310, 311	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
313		elfzle2 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1))
314	313	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1))
315	310	ltm1d 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
316	309, 312, 310, 314, 315	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
317	309, 310, 316	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑁)
318	317	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑁)
319	290, 91, 141	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
320	292, 308, 318, 319	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
321	290, 320, 71	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ)
322	292	peano2zd 11896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
323	322	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
324	301, 298	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
325	297, 301, 305	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ≤ 𝑖)
326	297, 301, 298, 325	leadd1dd 11047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
327	297, 299, 324, 302, 326	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
328	327	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
329	293, 295, 323, 296, 328	lttrd 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < (𝑖 + 1))
330	293, 323, 329	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
331	291, 3, 181	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
332	316, 331	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
333	332	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
334	290, 91, 184	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
335	322, 330, 333, 334	mpbir3and 1322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
336	290, 335	jca 504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
337	335, 336, 193	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
338	290, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
339		eluz 12065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
340	338, 292, 339	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖))
341	308, 340	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
342	290, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
343	316	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
344	341, 342, 343, 197	syl3anbrc 1323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁))
345	290, 344, 199	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
346	321, 337, 345	ltled 10580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
347	265, 289, 346	monoord 13208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑁))
348	347	3adant3 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑁))
349	242, 243, 255, 259, 348	letrd 10589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃‘𝑁))
350	255	rexrd 10482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ^*)
351		elicc1 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ^) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ^ ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘𝑁))))
352	233, 350, 351	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ^* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘𝑁))))
353	231, 237, 349, 352	mpbir3and 1322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)))
354		iblspltprt.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
355	229, 353, 354	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
356	226, 227, 228, 355	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
357		simp2 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
358	59, 357	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
359	59, 60	jca 504	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
360	76, 205	jca 504	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
361	98, 208	oveq12d 6988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
362	361	mpteq1d 5010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴))
363	362	eleq1d 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
364	207, 363	imbi12d 337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
365	364, 48	chvarv 2325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
366	359, 360, 365	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
367	58, 220, 225, 356, 358, 366	iblsplitf 41631	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)
368	367	3exp 1099	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)))
369	17, 22, 27, 32, 52, 368	fzind2 12963	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹))
370	12, 369	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿¹)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 Ⅎwnf 1746 ∈ wcel 2048 ∪ cun 3823 ∩ cin 3824 {csn 4435 class class class wbr 4923 ↦ cmpt 5002 ‘cfv 6182 (class class class)co 6970 ℂcc 10325 ℝcr 10326 0cc0 10327 1c1 10328 + caddc 10330 ℝ^*cxr 10465 < clt 10466 ≤ cle 10467 − cmin 10662 ℤcz 11786 ℤ_≥cuz 12051 [,]cicc 12550 ...cfz 12701 ..^cfzo 12842 vol*covol 23756 𝐿¹cibl 23911

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1964 ax-8 2050 ax-9 2057 ax-10 2077 ax-11 2091 ax-12 2104 ax-13 2299 ax-ext 2745 ax-rep 5043 ax-sep 5054 ax-nul 5061 ax-pow 5113 ax-pr 5180 ax-un 7273 ax-inf2 8890 ax-cnex 10383 ax-resscn 10384 ax-1cn 10385 ax-icn 10386 ax-addcl 10387 ax-addrcl 10388 ax-mulcl 10389 ax-mulrcl 10390 ax-mulcom 10391 ax-addass 10392 ax-mulass 10393 ax-distr 10394 ax-i2m1 10395 ax-1ne0 10396 ax-1rid 10397 ax-rnegex 10398 ax-rrecex 10399 ax-cnre 10400 ax-pre-lttri 10401 ax-pre-lttrn 10402 ax-pre-ltadd 10403 ax-pre-mulgt0 10404 ax-pre-sup 10405 ax-addf 10406

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-fal 1520 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2014 df-mo 2544 df-eu 2580 df-clab 2754 df-cleq 2765 df-clel 2840 df-nfc 2912 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3087 df-rex 3088 df-reu 3089 df-rmo 3090 df-rab 3091 df-v 3411 df-sbc 3678 df-csb 3783 df-dif 3828 df-un 3830 df-in 3832 df-ss 3839 df-pss 3841 df-nul 4174 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-tp 4440 df-op 4442 df-uni 4707 df-int 4744 df-iun 4788 df-disj 4892 df-br 4924 df-opab 4986 df-mpt 5003 df-tr 5025 df-id 5305 df-eprel 5310 df-po 5319 df-so 5320 df-fr 5359 df-se 5360 df-we 5361 df-xp 5406 df-rel 5407 df-cnv 5408 df-co 5409 df-dm 5410 df-rn 5411 df-res 5412 df-ima 5413 df-pred 5980 df-ord 6026 df-on 6027 df-lim 6028 df-suc 6029 df-iota 6146 df-fun 6184 df-fn 6185 df-f 6186 df-f1 6187 df-fo 6188 df-f1o 6189 df-fv 6190 df-isom 6191 df-riota 6931 df-ov 6973 df-oprab 6974 df-mpo 6975 df-of 7221 df-ofr 7222 df-om 7391 df-1st 7494 df-2nd 7495 df-wrecs 7743 df-recs 7805 df-rdg 7843 df-1o 7897 df-2o 7898 df-oadd 7901 df-er 8081 df-map 8200 df-pm 8201 df-en 8299 df-dom 8300 df-sdom 8301 df-fin 8302 df-fi 8662 df-sup 8693 df-inf 8694 df-oi 8761 df-dju 9116 df-card 9154 df-pnf 10468 df-mnf 10469 df-xr 10470 df-ltxr 10471 df-le 10472 df-sub 10664 df-neg 10665 df-div 11091 df-nn 11432 df-2 11496 df-3 11497 df-n0 11701 df-z 11787 df-uz 12052 df-q 12156 df-rp 12198 df-xneg 12317 df-xadd 12318 df-xmul 12319 df-ioo 12551 df-ico 12553 df-icc 12554 df-fz 12702 df-fzo 12843 df-fl 12970 df-seq 13178 df-exp 13238 df-hash 13499 df-cj 14309 df-re 14310 df-im 14311 df-sqrt 14445 df-abs 14446 df-clim 14696 df-sum 14894 df-rest 16542 df-topgen 16563 df-psmet 20229 df-xmet 20230 df-met 20231 df-bl 20232 df-mopn 20233 df-top 21196 df-topon 21213 df-bases 21248 df-cmp 21689 df-ovol 23758 df-vol 23759 df-mbf 23913 df-itg1 23914 df-itg2 23915 df-ibl 23916

This theorem is referenced by: itgspltprt 41640 fourierdlem69 41837

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