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Theorem iblspltprt 45594
Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblspltprt.1 𝑡𝜑
iblspltprt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iblspltprt.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
iblspltprt.4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
iblspltprt.5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
iblspltprt.6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
iblspltprt.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblspltprt (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑖,𝑀,𝑡   𝑖,𝑁,𝑡   𝑃,𝑖,𝑡   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem iblspltprt
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblspltprt.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21peano2zd 12721 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3 iblspltprt.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
4 eluzelz 12884 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6 eluzle 12887 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
73, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
85zred 12718 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
98leidd 11830 . . 3 (𝜑𝑁𝑁)
102, 5, 5, 7, 9elfzd 13546 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
11 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑀 + 1)))
1211oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))))
1312mpteq1d 5248 . . . . 5 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴))
1413eleq1d 2811 . . . 4 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
1514imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
16 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑘))
1716oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)))
1817mpteq1d 5248 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴))
1918eleq1d 2811 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
2019imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
21 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2221oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
2322mpteq1d 5248 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴))
2423eleq1d 2811 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
2524imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
26 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑁))
2726oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)))
2827mpteq1d 5248 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴))
2928eleq1d 2811 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
3029imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
31 uzid 12889 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
321, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
331zred 12718 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
34 1red 11265 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 11293 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3633ltp1d 12196 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
3733, 35, 8, 36, 7ltletrd 11424 . . . . . 6 (𝜑𝑀 < 𝑁)
38 elfzo2 13689 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
3932, 5, 37, 38syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
40 fveq2 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
41 fvoveq1 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑀 + 1)))
4240, 41oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))))
4342mpteq1d 5248 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴))
4443eleq1d 2811 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
4544imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
46 iblspltprt.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
4746expcom 412 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
4845, 47vtoclga 3558 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
4939, 48mpcom 38 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
5049a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
51 nfv 1910 . . . . . 6 𝑡 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
52 iblspltprt.1 . . . . . . 7 𝑡𝜑
53 nfmpt1 5261 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴)
5453nfel1 2909 . . . . . . 7 𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1
5552, 54nfim 1892 . . . . . 6 𝑡(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
5651, 55, 52nf3an 1897 . . . . 5 𝑡(𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑)
57 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → 𝜑)
58 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
5933leidd 11830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑀)
6033, 8, 37ltled 11412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑁)
611, 5, 1, 59, 60elfzd 13546 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6261ancli 547 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
63 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
6463anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))))
6540eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑀) ∈ ℝ))
6664, 65imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑀 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)))
67 iblspltprt.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
6866, 67vtoclg 3534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ))
6961, 62, 68sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
7069adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
7170rexrd 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
72 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝜑)
73 elfzoelz 13686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7533adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7674zred 12718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7735adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7836adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
79 elfzole1 13694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
8079adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
8175, 77, 76, 78, 80ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < 𝑘)
8275, 76, 81ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
838adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
84 elfzolt2 13695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 < 𝑁)
8676, 83, 85ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘𝑁)
871, 5jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8887adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
89 elfz1 13543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9174, 82, 86, 90mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
92 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9392anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))))
94 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑘))
9594eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
9693, 95imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
9796, 67chvarvv 1995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
9872, 91, 97syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
9998rexrd 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ*)
10074peano2zd 12721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
101100zred 12718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
102 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
10375, 76, 102, 81ltadd1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) < (𝑘 + 1))
10475, 77, 101, 78, 103lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑘 + 1))
10575, 101, 104ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
106 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
10773, 5, 106syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
10885, 107mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
109 elfz1 13543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
11088, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
111100, 105, 108, 110mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
11272, 111jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
113 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
114113anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
115 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
116115eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
117114, 116imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
118117, 67vtoclg 3534 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
119111, 112, 118sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
120119rexrd 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
121 eluz 12888 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑘))
1221, 73, 121syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑘))
12382, 122mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
124 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝜑)
125 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
126125adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
127 elfzle1 13558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑀𝑖)
128127adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑀𝑖)
129126zred 12718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℝ)
130124, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
13176adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
132 elfzle2 13559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖𝑘)
133132adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑘)
13485adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 < 𝑁)
135129, 131, 130, 133, 134lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 < 𝑁)
136129, 130, 135ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑁)
137 elfz1 13543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
138124, 87, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
139126, 128, 136, 138mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
140124, 139, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
141 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
142 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
143142adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
144 elfzle1 13558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀𝑖)
145144adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀𝑖)
146143zred 12718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
147141, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
14876adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
149 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
150148, 149resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
151 elfzle2 13559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1))
152151adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1))
15373zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
154 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
155153, 154resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
156 elfzoel2 13685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
157156zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
158153ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
159155, 153, 157, 158, 84lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑁)
160159ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) < 𝑁)
161146, 150, 147, 152, 160lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
162146, 147, 161ltled 11412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖𝑁)
163141, 87, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
164143, 145, 162, 163mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
165141, 164, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
166143peano2zd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
167 elfzel1 13554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
168167zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
169142zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
170 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
171169, 170readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
172169ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
173168, 169, 171, 144, 172lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 < (𝑖 + 1))
174168, 171, 173ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
175174adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
176141, 3, 43syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
177 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
178143, 176, 177syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
179161, 178mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
180 elfz1 13543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
181141, 87, 1803syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
182166, 175, 179, 181mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
183141, 182jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
184 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
185184anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
186 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
187186eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))
188185, 187imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)))
189188, 97vtoclg 3534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))
190182, 183, 189sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
191 elfzuz 13551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
192191adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
193 elfzo2 13689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
194192, 176, 161, 193syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁))
195 iblspltprt.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
196141, 194, 195syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
197165, 190, 196ltled 11412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
198123, 140, 197monoord 14052 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑘))
199156adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
200 elfzo2 13689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 < 𝑁))
201123, 199, 85, 200syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
202 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
203202anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))))
204 fvoveq1 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
20594, 204breq12d 5166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
206203, 205imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
207206, 195chvarvv 1995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
20872, 201, 207syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
20998, 119, 208ltled 11412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
210 iccintsng 45141 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑘) ∧ (𝑃𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃𝑘)})
21171, 99, 120, 198, 209, 210syl32anc 1375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃𝑘)})
212211fveq2d 6905 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = (vol*‘{(𝑃𝑘)}))
213 ovolsn 25515 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘) ∈ ℝ → (vol*‘{(𝑃𝑘)}) = 0)
21498, 213syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘{(𝑃𝑘)}) = 0)
215212, 214eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0)
21657, 58, 215syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (vol*‘(((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0)
21770, 119, 98, 198, 209eliccd 45122 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
21870, 119, 2173jca 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
21957, 58, 218syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
220 iccsplit 13516 . . . . . 6 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∪ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
221219, 220syl 17 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∪ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
222 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
223 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
224 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
225 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
226 eliccxr 13466 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ*)
2272263ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ*)
22869rexrd 11314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2292283ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2301203adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
231 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
232 iccgelb 13434 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑀) ≤ 𝑡)
233229, 230, 231, 232syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑀) ≤ 𝑡)
23470, 119jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
2352343adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
236 iccssre 13460 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
237236sseld 3978 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ))
238235, 231, 237sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
2391193adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
2401, 5, 5, 60, 9elfzd 13546 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
241240ancli 547 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
242 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
243242anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))))
244 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑁 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑁))
245244eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑁) ∈ ℝ))
246243, 245imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)))
247246, 67vtoclg 3534 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ))
2485, 241, 247sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
2492483ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
250 elicc1 13422 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
251229, 230, 250syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
252231, 251mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
253252simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
254 elfzop1le2 13699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
25573peano2zd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
256 eluz 12888 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
257255, 156, 256syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
258254, 257mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
259258adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
260 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝜑)
261 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
262261adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
263260, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
264262zred 12718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
26576adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
26681adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑘)
267153adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
268 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
269267, 268readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
270261zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
271270adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
272267ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
273 elfzle1 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
274273adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
275267, 269, 271, 272, 274ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖)
276275adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖)
277263, 265, 264, 266, 276lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑖)
278263, 264, 277ltled 11412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑖)
279 elfzle2 13559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖𝑁)
280279adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖𝑁)
281260, 87, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
282262, 278, 280, 281mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
283260, 282, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
284 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
285 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
286285adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
287284, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
288286zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
28976adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29081adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
291153adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
292 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
293291, 292readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
294285zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
295294adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
296291ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
297 elfzle1 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
298297adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
299291, 293, 295, 296, 298ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖)
300299adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖)
301287, 289, 288, 290, 300lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑖)
302287, 288, 301ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀𝑖)
303294adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
3048adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
305 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
306304, 305resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
307 elfzle2 13559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1))
308307adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1))
309304ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
310303, 306, 304, 308, 309lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
311303, 304, 310ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖𝑁)
312311adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖𝑁)
313284, 87, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
314286, 302, 312, 313mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
315284, 314, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
316286peano2zd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
317316zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
318295, 292readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
319291, 295, 299ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘𝑖)
320291, 295, 292, 319leadd1dd 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
321291, 293, 318, 296, 320ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
322321adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
323287, 289, 317, 290, 322lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < (𝑖 + 1))
324287, 317, 323ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
325285, 5, 177syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
326310, 325mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
327326adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
328284, 87, 1803syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
329316, 324, 327, 328mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
330284, 329jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
331329, 330, 189sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
332284, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
333 eluz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
334332, 286, 333syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
335302, 334mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
336284, 3, 43syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
337310adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
338335, 336, 337, 193syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁))
339284, 338, 195syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
340315, 331, 339ltled 11412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
341259, 283, 340monoord 14052 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃𝑁))
3423413adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃𝑁))
343238, 239, 249, 253, 342letrd 11421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃𝑁))
344249rexrd 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ*)
345 elicc1 13422 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃𝑁))))
346229, 344, 345syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃𝑁))))
347227, 233, 343, 346mpbir3and 1339 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)))
348 iblspltprt.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
349225, 347, 348syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
350222, 223, 224, 349syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
351 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
35257, 351mpd 15 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
35357, 58jca 510 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
35472, 201jca 510 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
35594, 204oveq12d 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
356355mpteq1d 5248 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴))
357356eleq1d 2811 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
358203, 357imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
359358, 46chvarvv 1995 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
360353, 354, 3593syl 18 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
36156, 216, 221, 350, 352, 360iblsplitf 45591 . . . 4 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
3623613exp 1116 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
36315, 20, 25, 30, 50, 362fzind2 13805 . 2 (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
36410, 363mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  cun 3945  cin 3946  {csn 4633   class class class wbr 5153  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cz 12610  cuz 12874  [,]cicc 13381  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  vol*covol 25482  𝐿1cibl 25637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cmp 23382  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642
This theorem is referenced by:  itgspltprt  45600  fourierdlem69  45796
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