Theorem fzmul 37742

Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzmul	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

Proof of Theorem fzmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 13480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
3		zre 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
5		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		nngt0 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾))
8		lemul2 12042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
9	3, 4, 7, 8	syl3an 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
10	9	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
11	10	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
12	11	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
13		zre 12540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lemul2 12042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
15	4, 13, 7, 14	syl3an 1160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
16	15	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
17	16	ancom1s 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
19	18	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
20	12, 19	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
21		zmulcl 12589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ))
23		zmulcl 12589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
25		zmulcl 12589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐽 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ))
27	22, 24, 26	3anim123d 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)))
28		elfz 13481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
29	28	3coml 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
30	27, 29	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
31		nnz 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
32	30, 31	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
33	32	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
34	33	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
35	20, 34	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
36	35	an32s 652	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
37	36	exp4b 430	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))))
38	37	3impd 1349	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
39	38	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
40	2, 39	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-fz 13476

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