Theorem fzmul 38934

Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzmul	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

Proof of Theorem fzmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 13682	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
3		zre 12735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
5		nnre 12380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		nngt0 12407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7	5, 6	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾))
8		lemul2 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
9	3, 4, 7, 8	syl3an 1178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
10	9	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
11	10	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
12	11	adantllr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
13		zre 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lemul2 12208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
15	4, 13, 7, 14	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
16	15	3expa 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
17	16	ancom1s 666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
18	17	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
19	18	adantlll 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
20	12, 19	anim12d 621	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
21		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ))
23		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
24	23	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
25		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)
26	25	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐽 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ))
27	22, 24, 26	3anim123d 1472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)))
28		elfz 13683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
29	28	3coml 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
30	27, 29	syl6 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
31		nnz 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
32	30, 31	syl11 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
33	32	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
34	33	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
35	20, 34	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
36	35	an32s 665	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
37	36	exp4b 436	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))))
38	37	3impd 1367	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
39	38	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
40	2, 39	sylbid 243	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237   · cmul 11242   < clt 11380   ≤ cle 11381  ℕcn 12373  ℤcz 12731  ...cfz 13677

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-fz 13678

This theorem is used by: (None)