Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzmul 36250
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 13438 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘)))
213adant3 1133 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘)))
3 zre 12511 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4 zre 12511 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
5 nnre 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
6 nngt0 12192 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐พ)
75, 6jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ))
8 lemul2 12016 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ)) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ)))
93, 4, 7, 8syl3an 1161 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ)))
1093expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ)))
1110biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ)))
1211adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ)))
13 zre 12511 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 lemul2 12016 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐พ)) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))
154, 13, 7, 14syl3an 1161 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))
16153expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))
1716ancom1s 652 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))
1817biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))
1918adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))
2012, 19anim12d 610 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘))))
21 zmulcl 12560 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2221ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
23 zmulcl 12560 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2423ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
25 zmulcl 12560 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
2625ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค))
2722, 24, 263anim123d 1444 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)))
28 elfz 13439 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘))))
29283coml 1128 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘))))
3027, 29syl6 35 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))))
31 nnz 12528 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
3230, 31syl11 33 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))))
33323expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘)))))
3433imp 408 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘)) โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค (๐พ ยท ๐ฝ) โˆง (๐พ ยท ๐ฝ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘))))
3520, 34sylibrd 259 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))
3635an32s 651 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))
3736exp4b 432 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โ†’ (๐ฝ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))))
38373impd 1349 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))
39383impa 1111 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐ฝ โˆง ๐ฝ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))
402, 39sylbid 239 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐พ ยท ๐ฝ) โˆˆ ((๐พ ยท ๐‘€)...(๐พ ยท ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  โ„•cn 12161  โ„คcz 12507  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-fz 13434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator