Theorem fzmul 37748

Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzmul	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

Proof of Theorem fzmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 13552	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
3		zre 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
5		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		nngt0 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾))
8		lemul2 12120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
9	3, 4, 7, 8	syl3an 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
10	9	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
11	10	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
12	11	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
13		zre 12617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lemul2 12120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
15	4, 13, 7, 14	syl3an 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
16	15	3expa 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
17	16	ancom1s 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
19	18	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
20	12, 19	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
21		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ))
23		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
25		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐽 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ))
27	22, 24, 26	3anim123d 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)))
28		elfz 13553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
29	28	3coml 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
30	27, 29	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
31		nnz 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
32	30, 31	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
33	32	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
34	33	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
35	20, 34	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
36	35	an32s 652	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
37	36	exp4b 430	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐽 → (𝐽 ≤ 𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))))
38	37	3impd 1349	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
39	38	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
40	2, 39	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-fz 13548

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