Theorem bccl2d 42865

Description: Closure of the binomial coefficient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccl2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
bccl2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
bccl2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
bccl2d	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Proof of Theorem bccl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccl2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1	nn0ge0d 12596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
4		bccl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	2, 3, 4	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6		bccl2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		0z 12630	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		elfz1 13570	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
12	5, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
13		bccl2 14391	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  0cc0 11128   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ...cfz 13565  Ccbc 14370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-fac 14342  df-bc 14371

This theorem is used by:  lcmineqlem11  42913  lcmineqlem15  42917  lcmineqlem16  42918  lcmineqlem19  42921  lcmineqlem20  42922