Theorem bccl2d 41466

Description: Closure of the binomial coefficient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccl2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
bccl2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
bccl2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
bccl2d	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Proof of Theorem bccl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccl2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1	nn0ge0d 12571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
4		bccl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	2, 3, 4	3jca 1125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6		bccl2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		0z 12605	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		elfz1 13527	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
12	5, 11	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
13		bccl2 14320	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  0cc0 11144   ≤ cle 11285  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594  ...cfz 13522  Ccbc 14299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-fac 14271  df-bc 14300

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  41514  lcmineqlem15  41518  lcmineqlem16  41519  lcmineqlem19  41522  lcmineqlem20  41523