Theorem bccl2d 41951

Description: Closure of the binomial coefficient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccl2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
bccl2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
bccl2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
bccl2d	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Proof of Theorem bccl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccl2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1	nn0ge0d 12573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
4		bccl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
5	2, 3, 4	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6		bccl2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		0z 12607	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		elfz1 13534	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	8, 9	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
12	5, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
13		bccl2 14344	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  0cc0 11137   ≤ cle 11278  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ...cfz 13529  Ccbc 14323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-seq 14025  df-fac 14295  df-bc 14324

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  41999  lcmineqlem15  42003  lcmineqlem16  42004  lcmineqlem19  42007  lcmineqlem20  42008