Theorem phicl2 16974

Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 16973	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		fzfi 14142	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		ssrab2 4008	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
4		ssfi 9216	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
6		hashcl 14527	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12748	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
10		1z 12753	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		hashsng 14540	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{1}) = 1
13		ovex 7476	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
14	13	rabex 5304	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V
15		oveq1 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
16	15	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
17		eluzfz1 13691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
18		nnuz 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleq2s 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
20		nnz 12741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21		1gcd 16735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
23	16, 19, 22	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
24	23	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
25		ssdomg 9055	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
26	14, 24, 25	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
27		snfi 9099	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ Fin
28		hashdom 14550	. . . . . 6 ⊢ (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
29	27, 5, 28	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
30	26, 29	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
31	12, 30	eqbrtrrid 5144	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
32		ssdomg 9055	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
33	13, 3, 32	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)
34		hashdom 14550	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
35	5, 2, 34	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
36	33, 35	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁))
37		nnnn0 12640	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfz1 14517	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
40	36, 39	breqtrid 5145	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
41		elfz1 13671	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
42	10, 20, 41	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
43	9, 31, 40, 42	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
44	1, 43	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ≼ cdom 8999  Fincfn 9001  1c1 11228   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  ♯chash 14501   gcd cgcd 16693  ϕcphi 16970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-phi 16972

This theorem is used by:  phicl  16975  phi1  16979