Theorem phicl2 16817

Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 16816	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		fzfi 13999	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		ssrab2 4036	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
4		ssfi 9145	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
6		hashcl 14383	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12610	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
10		1z 12615	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		hashsng 14396	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{1}) = 1
13		ovex 7433	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
14	13	rabex 5300	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V
15		oveq1 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
16	15	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
17		eluzfz1 13550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
18		nnuz 12892	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleq2s 2883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
20		nnz 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21		1gcd 16581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
23	16, 19, 22	elrabd 3655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
24	23	snssd 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
25		ssdomg 8985	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
26	14, 24, 25	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
27		snfi 9028	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ Fin
28		hashdom 14406	. . . . . 6 ⊢ (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
29	27, 5, 28	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
30	26, 29	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
31	12, 30	eqbrtrrid 5141	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
32		ssdomg 8985	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
33	13, 3, 32	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)
34		hashdom 14406	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
35	5, 2, 34	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
36	33, 35	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁))
37		nnnn0 12502	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfz1 14373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
40	36, 39	breqtrid 5142	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
41		elfz1 13531	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
42	10, 20, 41	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
43	9, 31, 40, 42	mpbir3and 1359	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
44	1, 43	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ≼ cdom 8929  Fincfn 8931  1c1 11089   ≤ cle 11232  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  ♯chash 14357   gcd cgcd 16542  ϕcphi 16813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-phi 16815

This theorem is referenced by:  phicl  16818  phi1  16822