Theorem phicl2 16826

Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 16825	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		fzfi 14008	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
4		ssfi 9156	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
6		hashcl 14392	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12618	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
10		1z 12623	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		hashsng 14405	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{1}) = 1
13		ovex 7443	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
14	13	rabex 5309	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V
15		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
16	15	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
17		eluzfz1 13558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
18		nnuz 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleq2s 2879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
20		nnz 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21		1gcd 16590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
23	16, 19, 22	elrabd 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
24	23	snssd 4751	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
25		ssdomg 8996	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
26	14, 24, 25	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
27		snfi 9039	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ Fin
28		hashdom 14415	. . . . . 6 ⊢ (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
29	27, 5, 28	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
30	26, 29	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
31	12, 30	eqbrtrrid 5146	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
32		ssdomg 8996	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
33	13, 3, 32	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)
34		hashdom 14415	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
35	5, 2, 34	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
36	33, 35	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁))
37		nnnn0 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfz1 14382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
40	36, 39	breqtrid 5147	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
41		elfz1 13539	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
42	10, 20, 41	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
43	9, 31, 40, 42	mpbir3and 1359	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
44	1, 43	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≼ cdom 8940  Fincfn 8942  1c1 11100   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ♯chash 14366   gcd cgcd 16551  ϕcphi 16822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-phi 16824

This theorem is referenced by:  phicl  16827  phi1  16831