Theorem phicl2 16736

Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 16735	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		fzfi 13932	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		ssrab2 4018	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
4		ssfi 9104	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
6		hashcl 14316	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 12550	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
10		1z 12555	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		hashsng 14329	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{1}) = 1
13		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
14	13	rabex 5274	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V
15		oveq1 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
16	15	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
17		eluzfz1 13483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
18		nnuz 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleq2s 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
20		nnz 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21		1gcd 16500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
23	16, 19, 22	elrabd 3638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
24	23	snssd 4725	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
25		ssdomg 8944	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
26	14, 24, 25	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
27		snfi 8987	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ Fin
28		hashdom 14339	. . . . . 6 ⊢ (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
29	27, 5, 28	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
30	26, 29	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{1}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
31	12, 30	eqbrtrrid 5115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
32		ssdomg 8944	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
33	13, 3, 32	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)
34		hashdom 14339	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
35	5, 2, 34	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
36	33, 35	mpbir 232	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...𝑁))
37		nnnn0 12442	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfz1 14306	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
40	36, 39	breqtrid 5116	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
41		elfz1 13464	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
42	10, 20, 41	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
43	9, 31, 40, 42	mpbir3and 1349	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
44	1, 43	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ≼ cdom 8888  Fincfn 8890  1c1 11037   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ♯chash 14290   gcd cgcd 16461  ϕcphi 16732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-phi 16734

This theorem is referenced by:  phicl  16737  phi1  16741