Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz1eqin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1eqin 39725
 Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1eqin (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12002 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 nn0z 11995 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 12892 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)))
41, 2, 3sylancr 590 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)))
5 3anass 1092 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)))
6 ancom 464 . . . . . 6 ((1 ≤ 𝑎𝑎𝑁) ↔ (𝑎𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
76anbi2i 625 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8 anandi 675 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
95, 7, 83bitri 300 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
104, 9syl6bb 290 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11 elin 3897 . . . 4 (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12 ellz1 39723 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)))
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)))
14 elnnz1 11998 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
1613, 15anbi12d 633 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
1711, 16syl5bb 286 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
1810, 17bitr4d 285 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
1918eqrdv 2796 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10529   + caddc 10531   ≤ cle 10667  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11887  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233  ...cfz 12887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888 This theorem is referenced by:  diophin  39728
 Copyright terms: Public domain W3C validator