Theorem fz1eqin 40591

Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1eqin	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nn0z 12343	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfz1 13244	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
6		ancom 461	. . . . . 6 ⊢ ((1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
7	6	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8		anandi 673	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
9	5, 7, 8	3bitri 297	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
10	4, 9	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11		elin 3903	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12		ellz1 40589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
14		elnnz1 12346	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
16	13, 15	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
17	11, 16	syl5bb 283	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
18	10, 17	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
19	18	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  diophin  40594