Theorem fz1eqin 43231

Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1eqin	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12552	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nn0z 12543	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfz1 13461	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 594	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
6		ancom 462	. . . . . 6 ⊢ ((1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
7	6	anbi2i 630	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8		anandi 683	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
9	5, 7, 8	3bitri 299	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
10	4, 9	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11		elin 3900	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12		ellz1 43229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
14		elnnz1 12548	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
16	13, 15	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
17	11, 16	bitrid 285	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
18	10, 17	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
19	18	eqrdv 2739	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1c1 11035   + caddc 11037   ≤ cle 11176  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  diophin  43234