Theorem fz1eqin 40294

Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1eqin	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12207	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nn0z 12200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfz1 13100	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
6		ancom 464	. . . . . 6 ⊢ ((1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
7	6	anbi2i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8		anandi 676	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
9	5, 7, 8	3bitri 300	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
10	4, 9	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11		elin 3882	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12		ellz1 40292	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
14		elnnz1 12203	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
16	13, 15	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
17	11, 16	syl5bb 286	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
18	10, 17	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
19	18	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3863   ∩ cin 3865   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730   + caddc 10732   ≤ cle 10868  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  diophin  40297