Theorem fz1eqin 43355

Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1eqin	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12603	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nn0z 12594	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfz1 13519	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1107	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
6		ancom 464	. . . . . 6 ⊢ ((1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
7	6	anbi2i 632	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8		anandi 686	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
9	5, 7, 8	3bitri 299	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
10	4, 9	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11		elin 3922	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12		ellz1 43353	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
14		elnnz1 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
16	13, 15	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
17	11, 16	bitrid 285	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
18	10, 17	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
19	18	eqrdv 2762	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  diophin  43358