Theorem fz1eqin 40507

Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1eqin	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12280	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nn0z 12273	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfz1 13173	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1093	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
6		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ ((1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
7	6	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8		anandi 672	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
9	5, 7, 8	3bitri 296	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
10	4, 9	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11		elin 3899	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12		ellz1 40505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
14		elnnz1 12276	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
16	13, 15	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
17	11, 16	syl5bb 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
18	10, 17	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
19	18	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  diophin  40510