Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  natglobalincr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natglobalincr 46892
Description: Local monotonicity on half-open integer range implies global monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 23-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
natglobalincr.1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
natglobalincr.2 𝑇 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
natglobalincr 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑇,𝑘,𝑡
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem natglobalincr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13699 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
21peano2zd 12725 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
3 natglobalincr.2 . . . 4 𝑇 ∈ ℤ
4 elfz1 13552 . . . 4 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇) ↔ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡𝑡𝑇)))
52, 3, 4sylancl 586 . . 3 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇) ↔ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡𝑡𝑇)))
6 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
76breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
8 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
98breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)))
10 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵‘(𝑏 + 1)))
1110breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
12 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑎 = 𝑡 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑡))
1312breq2d 5155 . . . 4 (𝑎 = 𝑡 → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
14 natglobalincr.1 . . . . 5 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
1514rspec 3250 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
16 df-br 5144 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) ↔ ⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ < )
17 ltrelxr 11322 . . . . . . . . 9 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1817sseli 3979 . . . . . . . 8 (⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ < → ⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
1916, 18sylbi 217 . . . . . . 7 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) → ⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
20 opelxp1 5727 . . . . . . 7 (⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
22213ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
23 opelxp2 5728 . . . . . . 7 (⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ*)
2419, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ*)
25243ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ*)
26 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 0 ∈ ℝ)
27 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑇))
28 zre 12617 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
29 peano2re 11434 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3027, 1, 28, 294syl 19 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
31 simp21 1207 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
3231zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33 elfzole1 13707 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 0 ≤ 𝑘)
3428ltp1d 12198 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
351, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
36 0red 11264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
37 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
3836, 37, 293jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
39 leltletr 11352 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 0 ≤ (𝑘 + 1)))
401, 28, 38, 394syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 0 ≤ (𝑘 + 1)))
4133, 35, 40mp2and 699 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
42413ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
43 simp22 1208 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑏)
4426, 30, 32, 42, 43letrd 11418 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ 𝑏)
45 simp23 1209 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 < 𝑇)
46 0zd 12625 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
473a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ ℤ)
48 elfzo 13701 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0..^𝑇) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇)))
4946, 47, 48mpd3an23 1465 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ (0..^𝑇) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇)))
50 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑏 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑏))
51 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑏 → (𝐵‘(𝑘 + 1)) = (𝐵‘(𝑏 + 1)))
5250, 51breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
5352, 14vtoclri 3590 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)))
5449, 53biimtrrdi 254 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
5531, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → ((0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
5644, 45, 55mp2and 699 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)))
57 df-br 5144 . . . . . . 7 ((𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)) ↔ ⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ < )
5817sseli 3979 . . . . . . 7 (⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ < → ⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
5957, 58sylbi 217 . . . . . 6 ((𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)) → ⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
60 opelxp2 5728 . . . . . 6 (⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ ℝ*)
6156, 59, 603syl 18 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ ℝ*)
62 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏))
6322, 25, 61, 62, 56xrlttrd 13201 . . . 4 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑏 + 1)))
64 elfzoel2 13698 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
65 elfzop1le2 13712 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑇)
667, 9, 11, 13, 15, 63, 2, 64, 65fzindd 12720 . . 3 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡𝑡𝑇)) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
675, 66sylbida 592 . 2 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇)) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
6867rgen2 3199 1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator