Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  natglobalincr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem natglobalincr 46831
Description: Local monotonicity on half-open integer range implies global monotonicity. Inference form. (Contributed by Ender Ting, 23-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
natglobalincr.1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
natglobalincr.2 𝑇 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
natglobalincr 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑇,𝑘,𝑡
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem natglobalincr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13696 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
21peano2zd 12723 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
3 natglobalincr.2 . . . 4 𝑇 ∈ ℤ
4 elfz1 13549 . . . 4 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇) ↔ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡𝑡𝑇)))
52, 3, 4sylancl 586 . . 3 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇) ↔ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡𝑡𝑇)))
6 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
76breq2d 5160 . . . 4 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))))
8 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
98breq2d 5160 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)))
10 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵‘(𝑏 + 1)))
1110breq2d 5160 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
12 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑎 = 𝑡 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑡))
1312breq2d 5160 . . . 4 (𝑎 = 𝑡 → ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)))
14 natglobalincr.1 . . . . 5 𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1))
1514rspec 3248 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)))
16 df-br 5149 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) ↔ ⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ < )
17 ltrelxr 11320 . . . . . . . . 9 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1817sseli 3991 . . . . . . . 8 (⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ < → ⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
1916, 18sylbi 217 . . . . . . 7 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) → ⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
20 opelxp1 5731 . . . . . . 7 (⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
22213ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
23 opelxp2 5732 . . . . . . 7 (⟨(𝐵𝑘), (𝐵𝑏)⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ*)
2419, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝐵𝑘) < (𝐵𝑏) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ*)
25243ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ*)
26 0red 11262 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 0 ∈ ℝ)
27 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑇))
28 zre 12615 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
29 peano2re 11432 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3027, 1, 28, 294syl 19 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
31 simp21 1205 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
3231zred 12720 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
33 elfzole1 13704 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 0 ≤ 𝑘)
3428ltp1d 12196 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
351, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
36 0red 11262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
37 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
3836, 37, 293jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
39 leltletr 11350 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 0 ≤ (𝑘 + 1)))
401, 28, 38, 394syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → ((0 ≤ 𝑘𝑘 < (𝑘 + 1)) → 0 ≤ (𝑘 + 1)))
4133, 35, 40mp2and 699 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
42413ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
43 simp22 1206 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑏)
4426, 30, 32, 42, 43letrd 11416 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ 𝑏)
45 simp23 1207 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 < 𝑇)
46 0zd 12623 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
473a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ ℤ)
48 elfzo 13698 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0..^𝑇) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇)))
4946, 47, 48mpd3an23 1462 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ (0..^𝑇) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇)))
50 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑏 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑏))
51 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑏 → (𝐵‘(𝑘 + 1)) = (𝐵‘(𝑏 + 1)))
5250, 51breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑏 → ((𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
5352, 14vtoclri 3590 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0..^𝑇) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)))
5449, 53biimtrrdi 254 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
5531, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → ((0 ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1))))
5644, 45, 55mp2and 699 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)))
57 df-br 5149 . . . . . . 7 ((𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)) ↔ ⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ < )
5817sseli 3991 . . . . . . 7 (⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ < → ⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
5957, 58sylbi 217 . . . . . 6 ((𝐵𝑏) < (𝐵‘(𝑏 + 1)) → ⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
60 opelxp2 5732 . . . . . 6 (⟨(𝐵𝑏), (𝐵‘(𝑏 + 1))⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ ℝ*)
6156, 59, 603syl 18 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ ℝ*)
62 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏))
6322, 25, 61, 62, 56xrlttrd 13198 . . . 4 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵𝑘) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑘) < (𝐵‘(𝑏 + 1)))
64 elfzoel2 13695 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
65 elfzop1le2 13709 . . . 4 (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑇)
667, 9, 11, 13, 15, 63, 2, 64, 65fzindd 12718 . . 3 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡𝑡𝑇)) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
675, 66sylbida 592 . 2 ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇)) → (𝐵𝑘) < (𝐵𝑡))
6867rgen2 3197 1 𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑇)(𝐵𝑘) < (𝐵𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator