MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz 13553
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz
StepHypRef Expression
1 elfz1 13552 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
2 3anass 1095 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
32baib 535 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
41, 3sylan9bb 509 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543impa 1110 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
653comr 1126 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cle 11296  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-neg 11495  df-z 12614  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  elfz5  13556  fzadd2  13599  fznatpl1  13618  fzrev  13627  fzctr  13680  elfzo  13701  pfxccat3a  14776  isprm3  16720  eulerthlem2  16819  aannenlem1  26370  chtub  27256  bposlem1  27328  2lgslem1a  27435  axlowdimlem3  28959  axlowdimlem7  28963  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973  axlowdim  28976  lmatfvlem  33814  bcneg1  35736  poimirlem15  37642  poimirlem24  37651  poimirlem28  37655  mblfinlem2  37665  fzmul  37748  cntotbnd  37803  sticksstones12  42159  pellexlem5  42844  acongrep  42992  fzneg  42994  stoweidlem26  46041  smfmullem4  46809
  Copyright terms: Public domain W3C validator