Theorem elfz 13474

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 13473	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
3	2	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
4	1, 3	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	4	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	3comr 1125	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-neg 11408  df-z 12530  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  elfz5  13477  fzadd2  13520  fznatpl1  13539  fzrev  13548  fzctr  13601  elfzo  13622  pfxccat3a  14703  isprm3  16653  eulerthlem2  16752  aannenlem1  26236  chtub  27123  bposlem1  27195  2lgslem1a  27302  axlowdimlem3  28871  axlowdimlem7  28875  axlowdimlem16  28884  axlowdimlem17  28885  axlowdim  28888  lmatfvlem  33805  bcneg1  35723  poimirlem15  37629  poimirlem24  37638  poimirlem28  37642  mblfinlem2  37652  fzmul  37735  cntotbnd  37790  sticksstones12  42146  pellexlem5  42821  acongrep  42969  fzneg  42971  stoweidlem26  46024  smfmullem4  46792