Theorem elfz 12891

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 12890	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
3	2	baib 539	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
4	1, 3	sylan9bb 513	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	4	3impa 1107	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	3comr 1122	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-neg 10862  df-z 11970  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  elfz5  12894  fzadd2  12937  fznatpl1  12956  fzrev  12965  fzctr  13014  elfzo  13035  seqf1olem1  13405  bcval5  13674  pfxccat3a  14091  isprm3  16017  hashdvds  16102  eulerthlem2  16109  prmreclem5  16246  aannenlem1  24924  basellem3  25668  chtub  25796  bcmono  25861  bposlem1  25868  lgseisenlem1  25959  lgsquadlem1  25964  2lgslem1a  25975  axlowdimlem3  26738  axlowdimlem7  26742  axlowdimlem16  26751  axlowdimlem17  26752  axlowdim  26755  submateqlem1  31160  lmatfvlem  31168  bcneg1  33081  poimirlem15  35072  poimirlem24  35081  poimirlem28  35085  mblfinlem2  35095  itg2addnclem2  35109  fzmul  35179  cntotbnd  35234  fzsplit1nn0  39695  irrapxlem3  39765  pellexlem5  39774  acongrep  39921  fzneg  39923  jm2.23  39937  fmul01  42222  fmuldfeq  42225  stoweidlem26  42668  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem15  42764  fourierdlem79  42827  smfmullem4  43426