MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz 12586
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz
StepHypRef Expression
1 elfz1 12585 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
2 3anass 1117 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
32baib 532 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
41, 3sylan9bb 506 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543impa 1137 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
653comr 1156 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108  wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  cle 10364  cz 11666  ...cfz 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-neg 10559  df-z 11667  df-fz 12581
This theorem is referenced by:  elfz5  12588  fzadd2  12630  fznatpl1  12649  fzrev  12657  fzctr  12706  elfzo  12727  seqf1olem1  13094  bcval5  13358  pfxccat3a  13803  isprm3  15730  hashdvds  15813  eulerthlem2  15820  prmreclem5  15957  aannenlem1  24424  basellem3  25161  chtub  25289  bcmono  25354  bposlem1  25361  lgseisenlem1  25452  lgsquadlem1  25457  2lgslem1a  25468  axlowdimlem3  26181  axlowdimlem7  26185  axlowdimlem16  26194  axlowdimlem17  26195  axlowdim  26198  submateqlem1  30389  lmatfvlem  30397  bcneg1  32136  poimirlem15  33913  poimirlem24  33922  poimirlem28  33926  mblfinlem2  33936  itg2addnclem2  33950  fzmul  34024  cntotbnd  34082  fzsplit1nn0  38103  irrapxlem3  38174  pellexlem5  38183  acongrep  38332  fzneg  38334  jm2.23  38348  fmul01  40556  fmuldfeq  40559  stoweidlem26  40986  fourierdlem11  41078  fourierdlem12  41079  fourierdlem15  41082  fourierdlem79  41145  smfmullem4  41747
  Copyright terms: Public domain W3C validator