Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzunt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzunt 42206
Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Suggested by NM, 21-Jul-2005.) (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
fzunt (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12562 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 zre 12562 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3 zre 12562 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 zre 12562 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
5 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
6 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗𝑀)
10 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → 𝑀𝑁)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑀𝑁)
125, 7, 8, 9, 11letrd 11371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗𝑁)
1312expr 458 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑗𝑁))
1413anim2d 613 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
15 simpll1 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
166adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
18 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → 𝐾𝑀)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾𝑀)
20 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑀𝑗)
2115, 16, 17, 19, 20letrd 11371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾𝑗)
2221expr 458 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀𝑗𝐾𝑗))
2322anim1d 612 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2414, 23jaod 858 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
25 orc 866 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑀𝑗))
26 orc 866 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑗𝑁))
2725, 26jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝑗 → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
29 letric 11314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
3029ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
316, 30sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
3231adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
33 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
3433olcd 873 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝑀𝑗𝑁))
3532, 34jca 513 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝑀𝑗𝑁)))
36 orddi 1009 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) ∧ ((𝑗𝑀𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝑀𝑗𝑁))))
3728, 35, 36sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
3837ex 414 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑁) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
3924, 38impbid 211 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
404, 39sylan2 594 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
4140pm5.32da 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
421, 2, 3, 41syl3anl 1416 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
43 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
44 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45 elfz1 13489 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀)))
4643, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀)))
47 3anass 1096 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)))
4846, 47bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀))))
49 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 elfz1 13489 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
5144, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
52 3anass 1096 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
5351, 52bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
5448, 53orbi12d 918 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
55 elun 4149 . . . . 5 (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
56 andi 1007 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
5754, 55, 563bitr4g 314 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
5857adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
59 elfz1 13489 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6043, 49, 59syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
61 3anass 1096 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6260, 61bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
6362adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
6442, 58, 633bitr4d 311 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
6564eqrdv 2731 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3947   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  cle 11249  cz 12558  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-fz 13485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator