Theorem fzunt 44036

Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Suggested by NM, 21-Jul-2005.) (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzunt	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		zre 12574	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
5		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
6		simpl2 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpll3 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑀)
10		simprr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	5, 7, 8, 9, 11	letrd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 621	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		simpll1 1227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	6	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
18		simprl 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
20		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ≤ 𝑗)
21	15, 16, 17, 19, 20	letrd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑗)
22	21	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
23	22	anim1d 620	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
24	14, 23	jaod 870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
25		orc 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
26		orc 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
27	25, 26	jca 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	27	ad2antrl 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		letric 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30	29	ancoms 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31	6, 30	sylan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
33		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
34	33	olcd 885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
35	32, 34	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
36		orddi 1023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
37	28, 35, 36	sylanbrc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
38	37	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
39	24, 38	impbid 214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
40	4, 39	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
41	40	pm5.32da 587	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
42	1, 2, 3, 41	syl3anl 1436	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
43		simp1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		simp2 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		elfz1 13519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
46	43, 44, 45	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
47		3anass 1107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
48	46, 47	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀))))
49		simp3 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		elfz1 13519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
51	44, 49, 50	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		3anass 1107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
53	51, 52	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
54	48, 53	orbi12d 929	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
55		elun 4108	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
56		andi 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
57	54, 55, 56	3bitr4g 316	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
58	57	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
59		elfz1 13519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
60	43, 49, 59	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		3anass 1107	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
62	60, 61	bitrdi 289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
63	62	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	42, 58, 63	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
65	64	eqrdv 2762	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074   ≤ cle 11219  ℤcz 12570  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-neg 11419  df-z 12571  df-fz 13515

This theorem is referenced by: (None)