Theorem fzunt 43914

Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Suggested by NM, 21-Jul-2005.) (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzunt	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		zre 12523	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
5		simprl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
6		simpl2 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpll3 1222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simprr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑀)
10		simprr 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
11	10	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	5, 7, 8, 9, 11	letrd 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 619	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		simpll1 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	6	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17		simprl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
18		simprl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
19	18	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
20		simprr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ≤ 𝑗)
21	15, 16, 17, 19, 20	letrd 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑗)
22	21	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
23	22	anim1d 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
24	14, 23	jaod 866	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
25		orc 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
26		orc 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
27	25, 26	jca 517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	27	ad2antrl 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		letric 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30	29	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31	6, 30	sylan 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
32	31	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
33		simprr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
34	33	olcd 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
35	32, 34	jca 517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
36		orddi 1018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
37	28, 35, 36	sylanbrc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
38	37	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
39	24, 38	impbid 214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
40	4, 39	sylan2 600	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
41	40	pm5.32da 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
42	1, 2, 3, 41	syl3anl 1424	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
43		simp1 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		simp2 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		elfz1 13461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
46	43, 44, 45	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
47		3anass 1101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
48	46, 47	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀))))
49		simp3 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		elfz1 13461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
51	44, 49, 50	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		3anass 1101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
53	51, 52	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
54	48, 53	orbi12d 925	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
55		elun 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
56		andi 1016	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
57	54, 55, 56	3bitr4g 316	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
58	57	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
59		elfz1 13461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
60	43, 49, 59	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		3anass 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
62	60, 61	bitrdi 289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
63	62	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	42, 58, 63	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
65	64	eqrdv 2739	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∪ cun 3883   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-fz 13457

This theorem is referenced by: (None)