Theorem fzunt 44646

Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Suggested by NM, 21-Jul-2005.) (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzunt	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12721	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		zre 12721	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3		zre 12721	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		zre 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
5		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
6		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpll3 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑀)
10		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	5, 7, 8, 9, 11	letrd 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		simpll1 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
18		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
20		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ≤ 𝑗)
21	15, 16, 17, 19, 20	letrd 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑗)
22	21	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
23	22	anim1d 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
24	14, 23	jaod 873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
25		orc 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
26		orc 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
27	25, 26	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	27	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		letric 11434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30	29	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31	6, 30	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
33		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
34	33	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
35	32, 34	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
36		orddi 1027	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
37	28, 35, 36	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
38	37	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
39	24, 38	impbid 215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
40	4, 39	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
41	40	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
42	1, 2, 3, 41	syl3anl 1443	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
43		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		elfz1 13668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
46	43, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
47		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
48	46, 47	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀))))
49		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		elfz1 13668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
51	44, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
53	51, 52	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
54	48, 53	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
55		elun 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
56		andi 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
57	54, 55, 56	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
58	57	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
59		elfz1 13668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
60	43, 49, 59	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
62	60, 61	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	42, 58, 63	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
65	64	eqrdv 2761	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-fz 13664

This theorem is used by: (None)