Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzunt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzunt 41717
Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Suggested by NM, 21-Jul-2005.) (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
fzunt (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12503 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 zre 12503 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3 zre 12503 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 zre 12503 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
5 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
6 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 simpll3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗𝑀)
10 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → 𝑀𝑁)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑀𝑁)
125, 7, 8, 9, 11letrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗𝑀)) → 𝑗𝑁)
1312expr 457 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑗𝑁))
1413anim2d 612 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
15 simpll1 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
166adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
18 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → 𝐾𝑀)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾𝑀)
20 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝑀𝑗)
2115, 16, 17, 19, 20letrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑗)) → 𝐾𝑗)
2221expr 457 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀𝑗𝐾𝑗))
2322anim1d 611 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2414, 23jaod 857 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) → (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
25 orc 865 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑀𝑗))
26 orc 865 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑗 → (𝐾𝑗𝑗𝑁))
2725, 26jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝑗 → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
2827ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
29 letric 11255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
3029ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
316, 30sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝑀𝑀𝑗))
33 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
3433olcd 872 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → (𝑗𝑀𝑗𝑁))
3532, 34jca 512 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝑀𝑗𝑁)))
36 orddi 1008 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (((𝐾𝑗𝑀𝑗) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) ∧ ((𝑗𝑀𝑀𝑗) ∧ (𝑗𝑀𝑗𝑁))))
3728, 35, 36sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
3837ex 413 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑗𝑗𝑁) → ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
3924, 38impbid 211 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
404, 39sylan2 593 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)) ↔ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
4140pm5.32da 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
421, 2, 3, 41syl3anl 1415 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
43 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
44 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45 elfz1 13429 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀)))
4643, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀)))
47 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)))
4846, 47bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀))))
49 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 elfz1 13429 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
5144, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁)))
52 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))
5351, 52bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
5448, 53orbi12d 917 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
55 elun 4108 . . . . 5 (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
56 andi 1006 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑗𝑗𝑁))))
5754, 55, 563bitr4g 313 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
5857adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾𝑗𝑗𝑀) ∨ (𝑀𝑗𝑗𝑁)))))
59 elfz1 13429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6043, 49, 59syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁)))
61 3anass 1095 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁)))
6260, 61bitrdi 286 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
6362adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑗𝑗𝑁))))
6442, 58, 633bitr4d 310 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
6564eqrdv 2734 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝑀𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3908   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  cle 11190  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-neg 11388  df-z 12500  df-fz 13425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator