Theorem fzunt 43468

Description: Union of two adjacent finite sets of sequential integers that share a common endpoint. (Suggested by NM, 21-Jul-2005.) (Contributed by RP, 14-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzunt	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Proof of Theorem fzunt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12617	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		zre 12617	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3		zre 12617	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		zre 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
5		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
6		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑀)
10		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	5, 7, 8, 9, 11	letrd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
13	12	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 → 𝑗 ≤ 𝑁))
14	13	anim2d 612	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
15		simpll1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
18		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
20		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝑀 ≤ 𝑗)
21	15, 16, 17, 19, 20	letrd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗)) → 𝐾 ≤ 𝑗)
22	21	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑗 → 𝐾 ≤ 𝑗))
23	22	anim1d 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
24	14, 23	jaod 860	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
25		orc 868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
26		orc 868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
27	25, 26	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑗 → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
28	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
29		letric 11361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
31	6, 30	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗))
33		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑁)
34	33	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))
35	32, 34	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)))
36		orddi 1012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁)) ∧ ((𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 𝑗) ∧ (𝑗 ≤ 𝑀 ∨ 𝑗 ≤ 𝑁))))
37	28, 35, 36	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
38	37	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
39	24, 38	impbid 212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
40	4, 39	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) ↔ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
41	40	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
42	1, 2, 3, 41	syl3anl 1417	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
43		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		elfz1 13552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
46	43, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
47		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)))
48	46, 47	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀))))
49		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		elfz1 13552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
51	44, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
52		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
53	51, 52	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
54	48, 53	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
55		elun 4153	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (𝐾...𝑀) ∨ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
56		andi 1010	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀)) ∨ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
57	54, 55, 56	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑀) ∨ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))))
59		elfz1 13552	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
60	43, 49, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
61		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
62	60, 61	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))))
64	42, 58, 63	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑗 ∈ ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) ↔ 𝑗 ∈ (𝐾...𝑁)))
65	64	eqrdv 2735	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ((𝐾...𝑀) ∪ (𝑀...𝑁)) = (𝐾...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-fz 13548

This theorem is referenced by: (None)