MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzm11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzm11 13466
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elfzm11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))

Proof of Theorem elfzm11
StepHypRef Expression
1 peano2zm 12504 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 elfz1 13383 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
31, 2sylan2 593 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
4 zltlem1 12514 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
54anbi2d 629 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
65expcom 414 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))))
76pm5.32d 577 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))))
8 3anass 1095 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
9 3anass 1095 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
107, 8, 93bitr4g 313 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
1110adantl 482 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
123, 11bitr4d 281 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  1c1 11010   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343  cz 12457  ...cfz 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-fz 13379
This theorem is referenced by:  uzsplit  13467  uznfz  13478  zmodfz  13752  zmodid2  13758  seqf1olem2  13902  seqcoll  14317  rpnnen2lem10  16065  divalglem6  16240  divalglem7  16241  divalglem8  16242  4sqlem12  16788  4sqlem13  16789  dfod2  19305  ovolicc2lem4  24836  mersenne  26527  ostth2lem2  26934  prmdvdsbc  31538  ballotlem2  32900  acongrep  41213
  Copyright terms: Public domain W3C validator