MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzm11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzm11 13183
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elfzm11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))

Proof of Theorem elfzm11
StepHypRef Expression
1 peano2zm 12220 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 elfz1 13100 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
31, 2sylan2 596 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
4 zltlem1 12230 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
54anbi2d 632 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
65expcom 417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))))
76pm5.32d 580 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))))
8 3anass 1097 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
9 3anass 1097 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
107, 8, 93bitr4g 317 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
1110adantl 485 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑁 − 1))))
123, 11bitr4d 285 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089  wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  1c1 10730   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  cz 12176  ...cfz 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-fz 13096
This theorem is referenced by:  uzsplit  13184  uznfz  13195  zmodfz  13466  zmodid2  13472  seqf1olem2  13616  seqcoll  14030  rpnnen2lem10  15784  divalglem6  15959  divalglem7  15960  divalglem8  15961  4sqlem12  16509  4sqlem13  16510  dfod2  18955  ovolicc2lem4  24417  mersenne  26108  ostth2lem2  26515  prmdvdsbc  30850  ballotlem2  32167  acongrep  40505
  Copyright terms: Public domain W3C validator