MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzle3 12893
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the bounds are comparable. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem elfzle3
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 12892 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzle 12231 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114   class class class wbr 5038  cfv 6327  (class class class)co 7129  cle 10650  cuz 12218  ...cfz 12872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-neg 10847  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  26145
  Copyright terms: Public domain W3C validator