Theorem elfzuz2 13686

Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13674	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 13008	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 3	sylbi 220	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  elfzle3  13687  elfzubelfz  13693  fzn0  13695  fzopth  13719  fzne1  13762  elfzmlbm  13796  elfzom1elp1fzo  13891  elfzr  13940  elfzlmr  13941  bcm1k  14483  bcpasc  14489  seqcoll  14633  pfxccatin12lem2c  14904  splid  14927  spllen  14928  prmodvdslcmf  17251  gexcl3  19828  dvn2bss  26277  pserdvlem2  26782  ppinprm  27506  chtnprm  27508  chpval2  27572  chpchtsum  27573  lgsdir2lem2  27680  wrdsplex  33570  fzto1stfv1  33729  fzto1stinvn  33732  monoords  46516