Theorem elfzuz2 12639

Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12629	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2		eqid 2825	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 11986	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 3	sylbi 209	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℤ_≥cuz 11968  ...cfz 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-neg 10588  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620

This theorem is referenced by:  elfzle3  12640  elfzubelfz  12646  fzn0  12648  fzopth  12671  elfzmlbm  12744  elfzom1elp1fzo  12830  elfzr  12876  elfzlmr  12877  bcm1k  13395  bcpasc  13401  seqcoll  13537  swrdccatin12lem2c  13827  pfxccatin12  13831  swrdccatin12OLD  13832  splid  13864  splidOLD  13865  spllen  13866  spllenOLD  13867  prmodvdslcmf  16122  gexcl3  18353  dvn2bss  24092  pserdvlem2  24581  ppinprm  25291  chtnprm  25293  chpval2  25356  chpchtsum  25357  lgsdir2lem2  25464  fzto1stfv1  30385  fzto1stinvn  30388  wrdsplex  31153  wrdsplexOLD  31154  monoords  40302