Theorem elfzuz2 13468

Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13457	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12790	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤ_≥cuz 12771  ...cfz 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-neg 11386  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447

This theorem is referenced by:  elfzle3  13469  elfzubelfz  13475  fzn0  13477  fzopth  13500  fzne1  13543  elfzmlbm  13577  elfzom1elp1fzo  13671  elfzr  13719  elfzlmr  13720  bcm1k  14258  bcpasc  14264  seqcoll  14407  pfxccatin12lem2c  14672  splid  14695  spllen  14696  prmodvdslcmf  16995  gexcl3  19502  dvn2bss  25866  pserdvlem2  26372  ppinprm  27096  chtnprm  27098  chpval2  27163  chpchtsum  27164  lgsdir2lem2  27271  wrdsplex  32908  fzto1stfv1  33074  fzto1stinvn  33077  monoords  45289