MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzuz2 12911
Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem elfzuz2
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 12901 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2 eqid 2821 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12261 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
41, 3sylbi 219 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  cuz 12242  ...cfz 12891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-neg 10872  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892
This theorem is referenced by:  elfzle3  12912  elfzubelfz  12918  fzn0  12920  fzopth  12943  elfzmlbm  13016  elfzom1elp1fzo  13103  elfzr  13149  elfzlmr  13150  bcm1k  13674  bcpasc  13680  seqcoll  13821  pfxccatin12lem2c  14091  splid  14114  spllen  14115  prmodvdslcmf  16382  gexcl3  18711  dvn2bss  24526  pserdvlem2  25015  ppinprm  25728  chtnprm  25730  chpval2  25793  chpchtsum  25794  lgsdir2lem2  25901  fzne1  30510  wrdsplex  30614  fzto1stfv1  30743  fzto1stinvn  30746  monoords  41564
  Copyright terms: Public domain W3C validator